2.4 应用一元二次方程 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学“应用一元二次方程”新授课同步练，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一建模到动态问题解决的知识进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|比赛场次、图形面积等直接建模|选择题1-3、填空题1-2，考查列方程基本技能，强化符号意识| |发展层|增长率、传染问题、复杂几何情境|选择题4-7、填空题3-4，结合实际情境（如降价促销、APP注册），发展数据观念| |提高层|动点问题、动态几何综合应用|选择题8-10、解答题3-5，涉及运动变化（如三角形动点），培养推理能力与几何直观|

2.4 应用一元二次方程 一．选择题 1．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝110 B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110 2．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝32 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A．7m B．8m C．9m D．10m 5．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　） A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝540 D．（32﹣x）（20﹣x）＝540 8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　） A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16 C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16 9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm2时，则点P运动的时间是（　　） A．3s B．3s或5s C．4s D．5s 二．填空题 1．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　 　 ． 2．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为 　 　 ． 3．疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是　 　 ． 4．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 　 　 人． 5．超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：　 　 ． 三．解答题 1．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 2．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 3．如图，我区荷兰花海景区东北角有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此扩建一个新品种花卉观光区，其中阴影部分为观览通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将种植新品种花卉． （1）设观览通道的宽度为x米，则a＝　 　 （用含x的代数式表示）； （2）若新品种花卉总占地面积为2430平方米．请求出观览通道的宽度为多少米？ 4．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP＝　 　 cm，BQ＝　 　 cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 答案 一．选择题 1．【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 2．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm， 根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32． 故选：B． 3．【解答】解：设这种植物主干长出x个枝干，则枝干上共长出x2个小分支， 依题意，得：1+x+x2＝43， 解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6． 故选：C． 4．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 （x﹣3）（x﹣2）＝20， 解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去） 即：原正方形的边长7m． 故选：A． 5．【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b）， 而a＝1， ∴b2﹣b﹣1＝0， ∴b，而b不能为负， ∴b． 故选：B． 6．【解答】解：设BC长为xm，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 7．【解答】解：设道路的宽x米，则余下部分可合成长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m的矩形， 依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选：D． 8．【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴23（1﹣x）2＝16． 故选：B． 9．【解答】解：根据题意得：1+x+x（1+x）＝49， 解得：x＝6或x＝﹣8（舍去）， 则x的值为6． 故选：B． 10．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使四边形APQC的面积为9cm2， 则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， （8﹣t）×2t＝（24﹣9）， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使四边形APQC的面积为9cm2． 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm， 依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12， 故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）＝12． 2．【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝55， 整理，得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 3．【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x， 依题意，得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）． 故答案为：30%． 4．【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包， 依题意，得：x（x﹣1）＝90， 解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）． 故答案为：10． 5．【解答】解：∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱， ∴平均每天可售出（100+20x）箱． 依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400． 故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400． 三．解答题 1．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350（1+x）2＝504， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 2．【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 3．【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a； （2）根据题意得，（50﹣2x）（60﹣3x）﹣x•2430， 解得x1＝2，x2＝38（不合题意，舍去）． 答：中间通道的宽度为2米． 故答案为：． 4．【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得5（1﹣x）2＝3.2． 解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x1＝0.2＝20%． 答：平均每次下调的百分率是20%． （2）小华选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400（元）， 方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5＝15000（元）． ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠． 5．【解答】解：（1）由题意，得 AP＝6cm，BQ＝12cm． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm， ∴BP＝12﹣6＝6cm． 故答案为：6、12． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°， 设BD＝x， 当∠PQB＝90°时， ∴∠BPQ＝30°， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝12﹣x，BQ＝2x， ∴12﹣x＝2×2x， ∴x， 当∠QPB＝90°时， ∴∠PQB＝30°， ∴BQ＝2PB， ∴2x＝2（12﹣x）， x＝6 答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形； （3）作QD⊥AB于D， ∴∠QDB＝90°， ∴∠DQB＝30°， ∴DBBQ＝x， 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得 DQx， ∴， 解得；x1＝10，x2＝2， ∵x＝10时，2x＞12，故舍去 ∴x＝2． 答：经过2秒△BPQ的面积等于cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $