第二章 一元二次方程【章末复习】（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，通过知识框架图将定义、一般形式、四种解法（按简便优先级排序）、根的关系与实际问题串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-拓展提升”的分层练习设计，如通过判别式判断根的情况、韦达定理求代数式值等题目，培养学生的运算能力和推理意识，实际应用题强调根的检验，发展模型意识。这种设计让学生巩固知识，教师也能精准复习，提升效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第二章 一元二次方程 章末复习 2026年8月2日 第二章 一元二次方程 综合同步练习题 第二章 一元二次方程 综合同步练习 （排版、分值、题型和前后所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 一、一元二次方程基础概念 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ ① $$ax^2$$：二次项，$$a$$为二次项系数（$$a eq0$$是核心前提）； ② $$bx$$：一次项，$$b$$为一次项系数； ③ $$c$$：常数项。 3. 方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。 二、一元二次方程四种解法（按简便优先级排序） 1. 直接开平方法 适用形式：$$(x+m)^2=n(n\geq0)$$ 解法：直接开平方得 $$x+m=\pm\sqrt{n}$$，进而求解未知数。 2. 因式分解法（最快、考试首选） 适用形式：方程可整理为 $$A\cdot B=0$$ 核心口诀：若乘积为0，至少一项为0 常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式。 3. 配方法（基础必考） 核心步骤：二次项系数化为1→移常数项→两边加一次项系数一半的平方→配方成完全平方式→开方求解。 核心作用：推导求根公式、求代数式最值。 4. 公式法（万能解法） 求根公式：$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(a eq0)$$ 适用于所有有解的一元二次方程，无特殊形式时通用。 三、根的判别式（高频考点） 对于方程 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 1. $$\Delta>0$$：方程有两个不相等的实数根； 2. $$\Delta=0$$：方程有两个相等的实数根； 3. $$\Delta<0$$：方程无实数根。 四、根与系数的关系（韦达定理） 若 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，则： $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 适用：不解方程，求两根和、两根积、代数式变形求值。 五、一元二次方程实际应用 常见题型：增长率问题、面积问题、利润问题、动点问题，核心步骤：设未知数→列方程→解方程→检验根的合理性（舍去负数、不合题意的根）。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（） A. $$x+2=0$$ B. $$x^2-3x=0$$ C. $$xy+1=0$$ D. $$\dfrac{1}{x}+x=2$$ 2. 一元二次方程 $$2x^2-5x+1=0$$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 2、-5、1 B. 2、5、1 C. -2、-5、1 D. 2、-5、-1 3. 方程 $$x^2-4=0$$ 的根是（） A. $$x=2$$ B. $$x=-2$$ C. $$x_1=2,x_2=-2$$ D. 无实数根 4. 方程 $$x^2-2x+1=0$$ 的根的判别式的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 5. 已知方程 $$x^2-3x+2=0$$ 的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1+x_2=$$（） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 6. 关于一元二次方程解法说法正确的是（） A. 所有方程都只能用公式法求解 B. 因式分解法适用于所有一元二次方程 C. 配方法可推导一元二次方程求根公式 D. $$\Delta<0$$ 方程有两个相等实数根 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程的一般形式是________。 2. 方程 $$(x-1)^2=4$$ 用________法求解最简便。 3. 若一元二次方程 $$x^2+2x+m=0$$ 有两个相等实数根，则$$m=$$________。 4. 已知方程 $$2x^2-6x+3=0$$ 的两根为$$x_1、x_2$$，则$$x_1x_2=$$________。 5. 解一元二次方程实际问题时，必须对根进行________，舍去不符合题意的根。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）选用合适方法解方程： （1）$$x^2-9=0$$ （2）$$x^2-4x+3=0$$ 2. （14分）用配方法解方程：$$x^2-6x+5=0$$ 3. （14分）用公式法解方程：$$2x^2-3x-2=0$$ 4. （16分）韦达定理综合应用： 已知一元二次方程 $$x^2-5x+4=0$$ 的两根为$$x_1、x_2$$， 求：（1）$$x_1+x_2$$；（2）$$x_1x_2$$；（3）$$x_1^2+x_2^2$$。 四、拓展应用题（附加10分） 某商品原价每件100元，经过两次降价后售价为81元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 二、填空题 1. $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$ 2. 直接开平方法 3. $$1$$ 4. $$\dfrac{3}{2}$$ 5. 检验 三、解答题 1. 解： （1）因式分解法 $$x^2-9=0$$，$$(x+3)(x-3)=0$$ 解得：$$x_1=3，x_2=-3$$ （2）因式分解法 $$x^2-4x+3=0$$，$$(x-1)(x-3)=0$$ 解得：$$x_1=1，x_2=3$$ 2. 解：配方法 $$x^2-6x+5=0$$ 移项：$$x^2-6x=-5$$ 配方：两边加$$3^2=9$$$$x^2-6x+9=-5+9$$$$(x-3)^2=4$$开方：$$x-3=\pm2$$ 解得：$$x_1=5，x_2=1$$ 3. 解：公式法 $$2x^2-3x-2=0$$$$a=2，b=-3，c=-2$$$$\Delta=b^2-4ac=9+16=25>0$$$$x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}=\dfrac{3\pm5}{4}$$ 解得：$$x_1=2，x_2=-\dfrac{1}{2}$$ 4. 解： 由方程 $$x^2-5x+4=0$$ 得：$$a=1，b=-5，c=4$$ （1）$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=5$$ （2）$$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=4$$ （3）$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=5^2-2\times4=25-8=17$$ 答：两根和为5，两根积为4，平方和为17。 拓展题答案 解：设每次降价的百分率为$$x$$ 列方程：$$100(1-x)^2=81$$$$(1-x)^2=0.81$$ 开方得：$$1-x=\pm0.9$$ 解得：$$x_1=0.1=10\%$$，$$x_2=1.9$$（降价百分率不能大于1，舍去） 答：每次降价的百分率为10%。 章节易错点总结 1. 定义易错：必须满足$$a eq0$$，否则不是一元二次方程；未知数最高次数为2，且是整式方程。 2. 判别式易错：使用判别式、韦达定理前，必须先保证方程为一元二次方程（$$a eq0$$）。 3. 解法易错：配方法务必先将二次项系数化为1；公式法代入$$b$$时注意符号。 4. 应用题易错：增长率、降价问题牢记$$(1\pm x)^2$$，必须检验根的实际意义，舍去不合理的根。 5. 韦达定理易错：两根和公式是$$-\dfrac{b}{a}$$，容易遗漏负号。 知识梳理 2 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 的形式，这样的方程叫作一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 3. 项数和系数： ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0) 中， 一次项：ax2 一次项系数：a 二次项：bx 二次项系数：b 常数项：c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2； (3) 二次项系数不为 0； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的各种解法及适用类型 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 三、一元二次方程的实际应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 (1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系； (2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法； (3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系，列方程这一环节至关重要，决定着能否顺利解决实际问题； (4)解方程：用适当的方法求出方程的根； (5)检验：一验所得根是否为方程的根，二验是否符合题意和实际； (6)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 核心考点巩固 考点1 一元二次方程的有关概念 1.下列方程中：；； ； ； ，是一 元二次方程的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 考试考法 7 2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二 次方程可能是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 8 3.将方程 化成一般形式是______________ ______。 返回 考试考法 9 4.已知是关于的一元二次方程 的解，则 ____。 返回 考试考法 10 考点2 一元二次方程的解法 5.一元二次方程 的解是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 11 6.[陕西师大附中期中] 若一个三角形两边长分别等于一元二次方程 的两个实数根，则该三角形的第三边的长可以为 ( ) D A.18 B.17 C.16 D.15 返回 考试考法 12 7.用适当的方法解下列方程： （1） ； 解：移项，得 。 配方，得 ， 即 。 两边开平方，得 。 所以， 。 考试考法 13 （2） ； 解：原方程可化为 。 这里，， 。 因为 , 所以 。 所以, 。 考试考法 14 （3） ； 解：原方程可变形为 ， 所以或 。 所以， 。 （4） 。 解：两边开平方，得 ， 所以，或。所以, 。 返回 考试考法 15 考点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系 8.[安徽中考] 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 9.[河北中考] 若一元二次方程 的两根之和与两根之积 分别为，，则点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 考试考法 17 10.[西安交大附中期中] 已知是关于 的一元二次 方程。 （1）证明：不论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； 解：证明：依题意，得 ， 所以不论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 考试考法 18 （2）设该方程的两个根为，，当时，求 的值。 解：当时，方程化为 ， 因为该方程的两个根为， ， 所以， 。 所以 。 返回 考试考法 19 11.已知关于的一元二次方程 有两个实数 根， 。 （1）求实数 的取值范围； 解：因为原方程有两个实数根， 所以 ， 所以 ， 所以实数的取值范围是 。 考试考法 20 （2）是否存在实数，使得成立?若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。 解：不存在实数，使得 成立。 理由：假设存在实数，使得 成立。 因为， 是原方程的两个实数根， 所以， ， 由 ， 得 ， 考试考法 21 所以 ， 整理得 ， 所以只有当 时，等式才能成立。 又因为 ， 所以不存在实数，使得 成立。 返回 考试考法 考点4 一元二次方程的应用 12.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 500个，并按计划逐月增 长，预计八月份将提供岗位1 815个。设七、八两个月提供就业岗位数 量的月平均增长率为 ，根据题意，可列方程为_____________________ ______。 返回 考试考法 23 13. 中国是世界上最大的茶叶种植国，发展出独具民族特 色的茶文化。某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，当销售价为120元/ 盒时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现， 如果每盒茶叶每降价1元，那么平均每天可多售出2盒。在最大让利于顾 客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1 050元？ 考试考法 24 解：设每盒茶叶降价元，则每盒的销售利润为 元，平 均每天的销售量为 盒， 依题意得，解得， 。 因为需要让利于顾客，所以 。 所以在最大让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价25元时，商家平均每天 能盈利1050元。 返回 考试考法 25 14.如图，在矩形中，，，点从点 开始沿 边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边 向终点以的速度移动。如果，分别从， 同时出发，当点 运动到点时，两点停止运动。设运动时间为 。 （1）当___时，的长度等于 ； 2 考试考法 26 （2）连接，是否存在的值，使得的面积等于 ？若存在， 请求出此时 的值；若不存在，请说明理由。 考试考法 27 解：存在。理由如下：由题意得 ， 。 易得 。 因为的面积等于 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以或 （舍去）， 所以当时，的面积等于 。 返回 考试考法 28 15.某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点。如图，墙面 ， 公园管理者计划用总长为 的栅栏围建一个“日”字形的精品花售卖 区（细线表示栅栏，栅栏厚度忽略不计， 段不用栅栏，售卖区 中间用栅栏分成两个矩形区域，点，分别在边， 上）。 考试考法 29 （1）如图①，点在线段上，若围成的售卖区的面积为 ，求 售卖区的宽 ； 解：设，则 。 因为围成的售卖区的面积为 ， 所以 ， 解得， ， 当时， ，不合题意，舍去， 所以 ， 所以的长为 。 考试考法 30 （2）如图②，由于公园人流量剧增，需要增加售卖区的面积，现要使 点在线段的延长线上，并在边和上分别开一扇宽 的门 （门不用栅栏），用现有的栅栏所围成的售卖区的面积能否达到 ，若能达到，求出售卖区的宽 ；若不能，请说明理由。 考试考法 31 解：设， ， 因为， ， 所以 ， 所以 。 因为点在线段 的延长线上， 所以 ， 考试考法 32 所以 ， 即 。 因为售卖区的面积达到 ， 所以 ， 整理得 ， 解得, （舍去）。 所以宽 。 返回 考试考法 谢谢观看 THANKS $