2.4《应用一元二次方程》第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，通过“数学文化节穿越之旅”导入，串联《九章算术》古算题、现代梯子滑动及海军补给问题，以问题链为支架，引导学生回顾方程应用步骤，衔接一元一次方程等旧知。 其亮点是融入数学文化与跨情境建模，借古算题培养数学眼光，问题链驱动数学思维，多场景应用发展数学语言。如用《九章算术》题抽象数量关系，梯子滑动问题设问链训练推理，助力学生提升建模能力，教师可依托结构化流程高效教学。

第二章 一元二次方程 第4课 应用一元二次方程 新版北师大数学九年级上册数学 第1课时 学习目标 1.通过解决《九章算术》古算题,经历将实际问题转化为一元二次方程的过程,感受列方程解应用题的基本步骤. 2.通过分析梯子滑动问题和行程相遇问题,学会用勾股定理建立一元二次方程模型解决几何与运动类实际问题. 3.通过对比不同情境下的方程解法,体会数学建模思想,提高分析和解决实际问题的能力,了解古代数学成就和现代军事应用,感受数学的文化价值和实用价值. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 同学们，今天我们学校的数学文化节正式开幕了！本次文化节的主题是 "古今数学智慧碰撞“.我们将乘坐 "时光穿梭机"，先回到两千多年前的中国古代，解决《九章算术》中的经典问题；再回到现代生活，解决我们身边的安全问题；最后走进海军基地，体验数学在国防建设中的重要作用.让我们一起开启这场精彩的数学之旅吧！ 数学文化节的 "穿越之旅" 问题构建 问题1:借助方程解决应用题，我们已有丰富的学习经验，回顾一下你学习过运用哪些方程解决问题？ 一元一次方程、二元一次方程组、分式方程，不等式及不等式组 问题2：借助以上知识解决实际问题，会经历哪些步骤？核心步骤是什么？你还记得哪些具体的方法？ 审、找、设、列、解、验、答 寻找等量关系是最核心的步骤，常用的方法有：表格法、线段图、文字式转化等. 问题构建 第一站：穿越古代 ——《九章算术》古算题探秘 今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲单位时间内走7步,乙单位时间内走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.相遇时，甲、乙各走了多远？ 问题3:为了解决上述问题，请大家独立思考，找到解决问题需要相关联的内容，并尝试设计成问题，集中交流. ①题目中甲乙两人的速度比是多少？ 甲的速度比乙的速度等于7:3 问题构建 ②甲的行走路线分为几段？分别是什么方向? 两段，先向南走，再沿北偏东方向走 ③乙的行走路线是什么方向？ 一直向东走 ④相遇时,甲乙两人行走的时间有什么关系？ 两人行走的时间相同 ⑤如果设相遇时乙走了3x步,那么甲一共走了多少步？ 7x步 ⑥甲沿北偏东方向走了多少步？ (7x-10)步 ⑦相遇时,乙向东走的距离、甲向南走的距离和甲北偏东走的距离构成了什么图形？ 直角三角形，如右图所示 问题构建 ⑧根据什么定理可以列出关于x的方程？ 勾股定理 ⑨解出方程后,需要对根进行什么操作？为什么？ 检验,因为实际问题中距离不能为负数 解:设相遇时乙走了3x步,则甲一共走了7x步 (3x)²+10²=(7x-10)² 整理:40x²-140x=0 化简:2x²-7x=0 =3.5（ =0不符合实际,舍去） 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步. 设乙走了x和乙走了3x，哪个设法更好？你的理由是什么？ 问题构建 第二站：现代生活安全馆——梯子滑动问题 还记得本章开始时的梯子滑动问题吗？ （1）​ 在这个问题中（如图2-5）,梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m,那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ （2）​ 如果梯子的长度是13m,梯子顶端到地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ ①梯子的长度是多少米？ 10米 ②梯子原来顶端距离地面多少米？ 8米 ③梯子原来底端距离墙根多少米？根据什么计算的？ 6米,勾股定理 ④设梯子顶端下滑了x米,那么现在梯子顶端距离地面多少米？ (8-x)米 ⑤此时梯子底端滑动了多少米？ x米 协作破冰 ⑥现在梯子底端距离墙根多少米？ (x+6)米 ⑦梯子滑动前后,什么量是不变的？ 梯子的长度 ⑧根据什么定理可以列出关于x的方程？ 勾股定理 ⑨解这个方程,得到的两个根都符合实际意义吗？为什么？ 解:设梯子顶端下滑x米时,底端滑动的距离也为x米 方程:(8-x)²+(6+x)²=10² 整理:2x²-4x=0 化简为:x² -2x=0 =2（ =0不符合实际,舍去） 答：梯子顶端下滑2米时,底端滑动距离与顶端相等. 协作破冰 （2）​ 如果梯子的长度是13m,梯子顶端到地面的垂直距离为12m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 解:设梯子顶端下滑x米时,底端滑动的距离也为x米 方程:(12-x)²+(5+x)²=13² 整理:2x²-14x=0 化简:x²-7x=0 =7（=0不符合实际,舍去） 答：梯子顶端下滑7米时,底端滑动距离与顶端相等. 协作破冰 第三站：未来海洋馆——海军补给任务 例1 如图2-6,某海军基地位于A处,在其正南方向200nmile处有一重要目标B,在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发.经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发.沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里（结果精确到0.1nmile）？ 教师示范 ①海军基地A在目标B的什么方向？距离是多少海里？ ②目标C在目标B的什么方向？距离是多少海里？ ③三角形ABC是什么形状的三角形？ ④小岛D是AC的中点,小岛F是BC的中点,连接 DF,DF是三角形ABC的什么线？ ⑤根据三角形中位线定理,DF和AB有什么关系？ ⑥所以DF的长度是多少海里？DF和BC是什么位置关系？ ⑦BF的长度是多少海里？ ⑧军舰的速度是补给船的2倍,相遇时它们行驶的时间相同,那么军舰行驶的路程和补给船行驶的路程有什么关系？ 正北方向,200海里 正东方向,200海里 等腰直角三角形 中位线 DF平行于AB,且DF的长度 等于AB长度的一半 100海里,DF垂直于BC 100海里 军舰行驶的路程是补给船的2倍 教师示范 ⑨设相遇时补给船航行了x海里,那么军舰一共航行了多少海里？ ⑩军舰从A出发,经B到C,那么BE的长度是多少海里？ ⑪EF的长度是多少海里？ ⑫在直角三角形DEF中,根据什么定理可以列出关于x的方程？ ⑬解这个方程,得到的两个根都符合实际意义吗？为什么？ 2x海里 (2x-200)海里 (300-2x)海里 勾股定理 巩固拓展 解:设相遇时补给船航行了x海里,则军舰一共航行了2x海里 方程： x²=100²+(300-2x)² 整理： 3x²-1200x+100000=0 解得： x₁=≈118.4， x₂= （不符合实际,舍去） 答:相遇时补给船大约航行了118.4海里. 同学们,今天我们穿越了时空,用一元二次方程解决了从古代到现代再到未来的三个实际问题.我们发现,无论在哪个时代,哪个场景,数学都是我们认识世界、解决问题的有力工具.希望同学们在今后的生活中,能够善于发现数学问题,运用数学知识解决实际问题,真正做到学以致用. 当堂检测 1.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有这样一个问题："今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何？" 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺,1尺=10寸）如果设门的宽为 x尺,那么可列方程为（ ） x²+(x+6.8)²=10² B. x²+(x-6.8)²=10² C. x²+(x+6.8)²=1² D. x²+(x-6.8)²=1² A 当堂检测 2.一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子底端距离墙6m.如果梯子底端向外滑动2m,那么梯子顶端下滑______m 解:设梯子顶端下滑x米.滑动后,梯子顶端距离地面的高度为(8-x)m,梯子底端向外滑动 2m后,距离墙的距离为6+2=8m,梯子长度不变，仍为10m， 因此:(8-x)²+8²=10², 展开并整理方程:64-16x+x²+64=100 x²-16x+28=0 因式分解得：(x-2)(x-14)=0解得：x₁=2，x₂=14,x₂=14不符合实际意义.因此,梯子顶端下滑2m 2m 当堂检测 3.甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度是6m/s,乙的速度是4m/s.乙一直向北走，甲先向东走了8m,后又斜向北偏西方向走了一段后与乙相遇.求相遇时甲、乙各走了多少米？ 解:设从出发到相遇用了t秒,则乙走了4t米，甲一共走了6t米,甲斜向北偏西方向走了 (6t-8)米.根据勾股定理得： 8²+(4t)²=(6t-8)² 整理得：20t²-96t=0 解得：t₁=4.8，t₂=0（不合题意，舍去） 所以甲走了6×4.8=28.8米，乙走了 4×4.8=19.2米 答：相遇时甲走了28.8米，乙走了19.2米 当堂检测 4.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5m,BC=7m.点P从点A开始沿 AB边向点B以1m/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以 2m/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后PQ的长度等于5m？ 解：设t秒后PQ的长度等于5m 则AP=tm，BP=(5-t)m，BQ=2tm 在Rt△BPQ中，根据勾股定理得： (5-t)²+(2t)²=5² 整理得：5t²-10t=0 解得：t₁=2，t₂=0（不合题意，舍去） 答：2秒后PQ的长度等于5m. 反思总结 1.本节课我们解决了哪几类实际问题？它们在列方程时有什么共同特点？ 2.用一元二次方程解决实际问题时,你认为最容易出错的环节是什么？如何避免？ 3.除了本节课的例子,你还能想到生活中哪些问题可以用一元二次方程来解决？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第53页 第1、2、3题 二、素养类作业 课本第53页 第8题(增长率问题) 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $