2.4应用一元二次方程 导学案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的实际应用，通过“温故”环节系统回顾配方法、公式法、因式分解法及根的判别式、根与系数关系等旧知，搭建学习支架，自然衔接“知新”中运用方程解决实际问题的六步流程，形成完整知识脉络。 融入花拉子米解题标准化贡献等数学史内容激发兴趣，课前自检涵盖古代田亩、利润计算、几何图形等真实情境，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过规范步骤培养数学思维，以方程模型表达现实问题提升数学语言能力，助力自主学习与应用意识养成。

2.4应用一元二次方程 1.回顾配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系的相关知识，结合新课内容，探究一元二次方程的实际应用。 2.阅读课本P50—P52内容，自主探究一元二次方程的实际应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点。 温故——课前知识链接 1.通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为 . 2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是： . 这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为 . 3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac>0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有 的实数根； 当b2-4ac<时，方程 实数根. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b2-4ac来判定.把 叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示. 4.当一元二次方程的一边是0，而另一边能够分解成 时，我们就可以用因式分解的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为 . 5.如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，那么= ， . 知新——课本研习梳理 1.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 步骤 内容摘要 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系. ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法. ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程. ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值. ⑤检 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义. ⑥答 写出实际问题的答案. 课前自检 1.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. B. C. D.2 2.某商城计划销售一种玩具，该玩具每个进货价为30元.调查发现，当销售价为50元时，平均每天能售出40个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.商城要想使这种玩具的销售利润平均每天达到900元，设每个玩具降价x元时，则可列方程为( ) A. B. C. D. 3.某超市销售一种饮料,平均每天可售出100箱,每箱利润12元,为了扩大销售,增加利润,超市准备适当降价,据测算,每箱每降价1元平均每天可多售出20箱,若要使每天销售饮料获利1440元,则每箱应降价______元. 4.如图，某校有一块长、宽的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度. 5.某海产店销售一种成本为40元/千克的水产品,若按50元/千克销售,则每月可售出500千克.经过市场调查发现：销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.若海产店想要使这种水产品的月销售利润达到8000元,则销售单价应定为多少元？ 数学家花拉子米的应用题标准化贡献 9世纪阿拉伯数学家花拉子米，是首个统一二次方程实际应用解题流程的数学家.在此之前，各国求解实际问题方法杂乱、没有统一步骤.花拉子米在著作《代数学》中，首次规范了“分析题意、设定未知量、列式求解、验证结果”的标准化流程，和我们如今的六步解题法基本一致.他的研究让二次方程应用从零散经验，变成系统、规范的数学解题体系. 一元二次方程应用题的千年发展史 一元二次方程是人类用于解决生产生活问题的代数模型，距今已有四千多年应用历史.古巴比伦的数学家最早用二次方程测算土地面积、粮仓容积，古埃及人用其规划农田尺寸.我国古代数学名著《九章算术》中，少广章记载了开平方算法.古代没有完善的方程体系，古人依靠文字推演求解实际问题，为现代一元二次方程建模解题奠定了原始基础. 把预习中发现的问题记录一下吧 ... 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 1.配方法 2. 公式法 3.两个不相等 两个相等 没有 b2-4ac ∆ 4.两个一次因式的乘积 因式分解法 5. 基础过关·课前自测 1.答案：A 解析：设宽为x步，则长为步 由题意，得：，故选：A. 2.答案：A 解析：∵每个玩具降价x元， ∴单件利润为元， ∵销售价每降低1元，平均每天多售出5个， ∴降价x元后，每天销售量为个， 又∵总利润要达到900元，且总利润=单件利润×销售量， ∴可列方程为，故选：A. 3.答案：3或4 解析：设每箱降价x元,则每天多售出箱, ∴, 整理得：, 解得：或, 答：每箱降价3或4元. 4.答案：小路的宽度为 解析：设小路的宽度为. 由题意得，整理得，解得或（舍去）. 答：小路的宽度为. 5.答案：要使月销售利润达到元,销售单价应定为元或元 解析：设销售单价定为每千克x元,则每千克销售利润为元, 月销售量为千克, 依题意得：, 整理得：, 解得：,, 答：要使月销售利润达到元,销售单价应定为元或元. 学科网（北京）股份有限公司 $