3.2探索规律（一）（同步练习）2026-2027学年北师大版数学六年级上册

**基本信息** 本同步练习聚焦“探索规律”，通过选择、填空、解答三级分层设计，实现从图形规律识别到数学模型构建的渐进式巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一图形规律识别|选择题1-6题通过小圆点、正方形等直观图形，考查规律初步感知，培养几何直观| |规律应用|多情境规律迁移|填空题7-15题涉及周期问题、公式推导（如第8题小棒根数），发展符号意识与推理能力| |综合建模|复杂问题模型构建|解答题16-20题（如团体操队形、直线交点）需建立数学模型，体现应用意识与创新思维|

3.2探索规律（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．将小圆点如图摆放，第6幅图有（    ）个小圆点。 A．30 B．42 C．36 D．48 2．按下图规律摆放圆，第⑤堆圆的个数为（    ）个。 A．18 B．17 C．16 D．15 3．观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（    ）根。 A．60 B．61 C．80 D．90 4．如图，一张桌子可以坐6人，像这样拼接，n张同样的桌子拼好后可以坐（    ）人。 A．6n B．6n＋2 C．6n－2 D．4n＋2 5．某学校特色验收中，同学们要向客人展示社团的活动场景。桌子摆放如图。220个学生进行展示，一共需要摆放（    ）张桌子。 A．44 B．54 C．29 D．18 6．如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（    ）。 A．671 B．672 C．673 D．674 二、填空题 7．白色与黑色棋子按照下图的规律一层层叠放排成等边三角形。 当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多m颗时，这个等边三角形一共排了( )层。 8． 根据如图的排列规律，摆第6个图形需要用( )根同样长的小棒。继续摆下去，第100个图形用( )根同样长的小棒。 9． 10．如下图，依次连接正方形四边的中点可以组成一个新的正方形。 （1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形个数 1 2 3 4 直角三角形个数 0 （2）照这样接着画下去，画20个正方形能得到（    ）个直角三角形，画n个正方形能得到（    ）个直角三角形。 11．现有三角形“▲”和“△”共40个，按照一定规律排列如下： ▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲…… 则黑色三角形有( )个，白色三角形有( )个。 12．观察图形，填一填。                 （1）按上面的规律加下去，得数越来越接近（    ）。 （2）按上面的规律加下去，得数越来越接近（    ）。 （3）这些算式的第一个加数都是（    ），从第二个加数起，每个加数都是前一个加数的（    ）。 （4）根据上面的规律受到的启发算一算。 13．手工课上，老师先将一张大纸对折后沿折痕剪开，再将剪开的纸叠在一起对折再次剪开……像这样连续剪了5次后，一共剪成了( )张纸片。 14．按下面的方式摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆20个正方形需要( )根小棒。 15．如下图，用同样大小的白色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第30个图案需棋子( )枚。 三、解答题 16．学校一年一度的艺术节即将开幕，五（2）班的节目是一个团体操表演。在排练时，同学们排成了下面的队形。廖老师觉得阵容不够大，所以她决定再增加一些人参加团体操表演，但是要保持队伍形状不变，至少应该增加多少人？ 17．从上表中，你发现了什么？ 18． (1)按照图形的变化规律补充表格。 正方形个数（个） 1 2 3 4 5 … 直角三角形个数（个） 0 4 8 12 （    ） … (2)按照表中的规律，第n个图形中直角三角形的个数是（    ）个。 A．2n＋2 B．4（n－1） C．n＋4 19．如图，摆一个梯形需要5根小棒，摆2个、3个、4个呢？n个呢？ 梯形个数 1 2 3 4 …… n 小棒根数 5 …… 20．“化繁为简、由易到难”是我们研究问题的基本思考方法。海海向一道思考题发起了挑战：20条直线两两相交，最多有几个交点？海海决定从最简单的情况开始研究。 （1）填一填。 图形 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （2）算一算：当6条直线两两相交时，最多有几个交点？ （3）推一推：当n（n为整数且n≥2）条直线两两相交时，最多有几个交点？（用含有n的式子表示） 《3.2探索规律（一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B D B C 1．B 【分析】观察图可发现，第1幅图有个小圆点，第2幅图有个小圆点，第3幅图有个小圆点，第4幅图有个小圆点，……，第n幅图有个小圆点，据此解答即可。 【详解】根据分析可得，第6幅图有个小圆点。 故答案为：B 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。 2．C 【分析】第①堆圆的个数为（3×1＋1＝4）个；第②堆圆的个数为（3×2＋1＝7）个；第③堆圆的个数为（3×3＋1＝10）个；即第n堆圆的个数为（3n＋1）个。可知第⑤堆圆的个数为（3×5＋1）个。据此解答。 【详解】3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 即第⑤堆圆的个数为16个。 故答案为：C 3．B 【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。 【详解】根据分析可知，摆n个正方形需要小棒： 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝（3n＋1）根 当n＝20时， 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（根） 摆20个这样的正方形需要火柴棒61根。 故答案为：B 4．D 【分析】由题可知，不管几张桌子拼在一起，左右始终都是坐2人，而每张桌子的前后共坐4人，有n张桌子，就坐了n个4人，即4n人，将桌子前后和左右的人数相加，所以n张同样的桌子拼好后，共可以坐（4n＋2）人。 【详解】n张同样的桌子拼好后，共可以坐（4n＋2）人。 故答案为：D 5．B 【分析】1张桌子可以坐8人，可以写成：4＝4×1＋4； 2张桌子可以坐12人，可以写成：12＝4×2＋4； 3张桌子可以坐16人，可以写成：16＝4×3＋4； …… n张桌子可以坐：（4n＋4）人，求220个学校需要多少张桌子，即220＝4n＋4，即可求出需要桌子的数量。 【详解】根据分析可知，n张桌子可以坐：（4n＋4）人。 220人需要桌子： （220－4）÷4 ＝216÷4 ＝54（张） 某学校特色验收中，同学们要向客人展示社团的活动场景。桌子摆放如图。220个学生进行展示，一共需要摆放54张桌子。 故答案为：B 6．C 【分析】观察可知，第1个图案中有张白色张片，第2个图案中有张白色张片，第3个图案中有张白色张片第n个图案中有张白色张片，即，据此解方程即可。 【详解】 解： 用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为673。 故答案为：C 7．2m 【分析】通过观察可以发现：排2层时，白棋子比黑棋子多1颗；排4层时，白棋子比黑棋子多2颗；排6层时，白棋子比黑棋子多3颗……当白棋子比黑棋子多1颗时，一共排了2层。也可以把每2层当作一组，每组中白棋子会比黑棋子多1颗，要想白棋子比黑棋子多m颗，就需要摆放这样的m组，每组中有2层，因此一共排了（2m）层。 【详解】按照图中的排列规律，当某个等边三角形中白棋子比黑棋子多m颗时，这个等边三角形一共排了（2m）层。 8． 13 201 【分析】根据图意，第1个图形需要3根小棒；第2个图形需要3＋2＝5（根）小棒；第3个图形需要3＋2＋2＝7（根）小棒；第4个图形需要3＋2＋2＋2＝9（根）小棒……由此可见，每增加1个三角形就增加2根小棒，小棒的总根数可以用3加若干个2，2的个数比图形个数少1；由此可以计算6个图形的小棒根数是3＋（6－1）×2；100个图形的小棒根数是3＋（100－1）×2，最后根据四则运算顺序进行计算。据此解答。 【详解】根据分析可知： 3＋（6－1）×2 ＝3＋5×2 ＝3＋10 ＝13（根） 3＋（100－1）×2 ＝3＋99×2 ＝3＋198 ＝201（根） 所以，摆第6个图形需要用13根同样长的小棒。继续摆下去，第100个图形用201同样长的小棒。 9． 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；据此根据分数的分母和分子涂色。通过观察可知，每个分数的分子比前面多2，第1个分数的分母是2的平方，第2个分数的分母是3的平方，第3个分数的分母是4的平方，依次类推，第4个分数的分母是5的平方，据此可知，第4个分数是。 【详解】 10．（1）4；8；12 （2）76；4n－4 【分析】（1）看图数一数，画1个正方形得到0个直角三角形，画2个正方形得到4个直角三角形，画3个正方形得到8个直角三角形，画4个正方形得到12个直角三角形。把数据填入表格中即可。 （2）观察表格，直角三角形的个数比正方形个数的4倍少4个，则正方形有n个，直角三角形的个数就是个。 【详解】（1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形个数 1 2 3 4 直角三角形个数 0 4 8 12 （2）当n=20时 所以画20个正方形能得到76个直角三角形，画n个正方形能得到个直角三角形。 11． 20 20 【分析】通过观察可知，三角形以“▲▲△△▲△”这个的方式进行排序，以6个为一个周期，每个周期有3个“▲”和“△”，先用40÷6求出商和余数，商是几就有几个这样完整的周期，余数是几就是还有一个周期里面前面的几个，据此求出黑白三角形各自的数量。 【详解】40÷6＝6……4 有6个完整的周期以及一个周期的前4个三角形。 前4个有2个黑三角形和2个白三角形， “▲”：6×3＋2 ＝18＋2 ＝20（个） “△”：6×3＋2 ＝18＋2 ＝20（个） 黑色三角形有20个，白色三角形有20个。 12．；； ； （1）1 （2）1 （3）； （4） 【分析】（1）分数加法运算：同分母分数相加，分母不变，分子相加；异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法的法则进行计算。 （2）找规律：通过观察分数加法的结果，发现随着加数的不断增加，和越来越接近1，分母为最后一个分数的分母，分子比分母小1，并且从第二个加数起，每个加数都是前一个加数的。 （3）减法的性质（连减）：一个数连续减去几个数，等于这个数减去这几个数的和，利用前面找到的分数加法的规律来进行连减运算。 【详解】 （1）按上面的规律加下去，得数越来越接近1。 （2）按上面的规律加下去，得数越来越接近1。 （3）这些算式的第一个加数都是，从第二个加数起，每个加数都是前一个加数的。 （4） 13．32 【分析】先将一张大纸对折后沿折痕剪开，剪成了2张纸片；再将剪开的纸叠在一起对折再次剪开，剪成了2×2＝4（张）纸片；像这样连续剪3次后，一共剪成了2×2×2＝8（张）纸片……由此可知：像这样连续剪几次，一共剪成的纸片张数就等于几个2相乘的积。据此解答。 【详解】通过分析可得： 2×2×2×2×2＝32（张），一共剪成了32张纸片。 14．61 【分析】观察图形可知，摆1个正方形需要4＝1×3＋1根小棒，摆2个正方形需要7＝2×3＋1根小棒，摆3个正方形需要10＝3×3＋1根小棒，由此可知摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。据此解答即可。 【详解】3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（根） 则摆20个正方形需要61根小棒。 15．92 【分析】观察图形可知，第1个图案有2＋3×1＝5枚，第2个图案有2＋3×2＝8枚，第3个图案有2＋3×3＝11枚，则第n个图形需要棋子（2＋3n）枚。 【详解】由分析可知： 第30个图案需棋子： 2＋3n ＝2＋3×30 ＝2＋90 ＝92（枚） 则第30个图案需棋子92枚。 16．9人 【分析】观察队形可知，原来的队形第一排有1人，第二排有2人，……，总人数是1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝4×4＝16（人），要保持队形不变，人数增加最少，第五排应有5人，总人数可以变成1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝5×5＝25（人），增加人数就是25－16＝9（人）。 【详解】1＋2＋3＋4＋3＋2＋1 ＝4×4 ＝16（人） 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1 ＝5×5 ＝25（人） 25－16＝9（人） 答：至少应该增加9人。 17．小男孩发现的规律是：多一个三角形，多2根小棒，多两个三角形，多4根小棒……当有n个三角形时，有3＋（n－1）×2根小棒即（2n＋1）根小棒。 小女孩发现的规律是：两个三角形连接在一起就有一条边重合即少了一根小棒，三个三角形连接在一起就有两条边重合即少了两根小棒……当有n个三角形时，有3n－（n－1）根小棒即（2n＋1）根小棒。 【分析】当三角形个数是1时，有3根小棒；当三角形个数是2时，每多一个三角形，多2根小棒，有3＋2＝5根小棒；当三角形个数是3时，多两个三角形，多4根小棒，有3＋2×2＝7根小棒；以此类推是小男孩发现的规律。当三角形个数是1时，有3根小棒；当三角形个数是2时，每两边重合，少1根小棒，有3×2－1＝5根小棒；当三角形个数是3时，有两边重合，少2根小棒，有3×3－2＝7根小棒；以此类推是小女孩发现的规律。据此解答。 【详解】根据分析，小男孩发现的规律是，多一个三角形，多2根小棒，多两个三角形，多4根小棒…… 当有n个三角形时，有小棒 3＋（n－1）×2 ＝3＋（2n－2） ＝3＋2n－2 ＝（2n＋1）根 小女孩发现的规律是，两个三角形连接在一起就有一条边重合即少了一根小棒，三个三角形连接在一起就有两条边重合即少了两根小棒…… 当有n个三角形时，小棒有 3n－（n－1） ＝3n－n＋1 ＝（2n＋1）根 18．(1)16 (2)B 【分析】（1）当正方形个数为1时，直角三角形个数是0； 当正方形个数为2时，直角三角形个数是4； 当正方形个数为3时，直角三角形个数是8； 当正方形个数为4时，直角三角形个数是12； 可以发现规律：直角三角形个数依次增加4。 那么当正方形个数为5时，直角三角形个数应为12＋4＝16。 （2）把n＝1代入各选项的关系式，关系式的结果等于0的符合要求，即直角三角形的个数是0个时符合要求。 【详解】（1）（1） 正方形个数（个） 1 2 3 4 5 … 直角三角形个数（个） 0 4 8 12 （  16  ） … （2）把n＝1代入2n＋2，得： 2×1＋2 ＝2＋2 ＝4（个） 4≠0 所以A选项的关系式错误； 把n＝1代入4（n－1），得： 4×（1－1） ＝4×0 ＝0 0＝0 所以B选项符合规律； 把n＝1代入n＋4，得： 1＋4＝5 5不等于0，所以C选项不符合要求。 故答案为：B 19．9；13；17；1＋4n 【分析】根据题意，摆一个梯形需要5根小棒，从第二个开始，每多摆1个梯形就需要多用4根小棒，依此解答即可。 【详解】摆2个梯形需要：5＋4＝9（根）； 摆3个梯形需要：5＋4×2＝13（根）； 摆4个梯形需要：5＋4×3＝17（根）； 摆n个梯形需要：5＋4×（n－1）＝1＋4n（根）。 答：摆一个梯形需要5根小棒，摆2个需要9根、摆3个需要13根、摆4个需要17根、摆n个需要1＋4n根。 20．（1）1；3；6；10； （2）6×（6－1）÷2＝15（个）； （3）个 【分析】（1）对于2条直线，它们最多只能有1个交点。对于 3条直线，每条直线都可以与另外两条相交，共有3个交点。对于4条直线，交点总数为（个）。对于5条直线，交点总数为（个）； （2）（3） 根据（1）所述规律，6条直线两两相交时的交点个数（个）；对于任意n条直线，它们最多可以有的交点个数为。据此解答。 【详解】根据分析得： （1）对于2条直线，它们最多只能有1个交点。对于 3条直线，每条直线都可以与另外两条相交，共有3个交点。对于4条直线，交点的总数为6个。对于5条直线，交点总数为10个。 图形 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 1 3 6 10 （2）（个） 答：当6条直线两两相交时，最多有15个交点。 （3）个 学科网（北京）股份有限公司 $