第26章 二次函数 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十六章综合评价 PXTREE (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 宝 1.抛物线y=一3(x十2)2一3的顶点坐标是 进 A.(2,-3) B.(-2,-3)C.(2,3) D.(-2,3) 2.如果将抛物线y=x2十3先向左平移1个单位长度，再向下平 北 移1个单位长度，那么所得新抛物线的函数解析式是( A.y=(x+1)2+2 B.y=(x-1)+2 C.y=x2+2 D.y=(x+1)2-1 3.二次函数y=ax2+bx一1(a≠0)的图象经过点(1,1)，则代数 式1-a-b的值为 ( ) 甜 A.2 B.5 C.-3 D.-1 1 4.已知抛物线y=2x2一x十1，下列说法正确的是 ) A.开口向下 B.对称轴是直线x=一1 C.点(2,3)在抛物线上 D.与x轴没有交点 5.二次函数y=a.x2十x十c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对 应值如下表，则关于x的方程ax2十x十c=0的一个根的近似 值是 1.1 1.2 1.3 1.4 -1 0.49 0.04 0.59 1.16 A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38 6.飞机着陆后滑行的距离s(m)与滑行的时间t(s)的函数关系式是 s=一1.8+72t.飞机着陆后滑行 s才能停止 ( ) A.18 B.20 C.40 D.72 7.二次函数y=ax2十bx的图象如图所示，当一1<x<m时，y随 x的增大而增大，则m的取值范围是 ( A.m>1 B.-1<m≤1C.m>0 D.-1<m<2 (第7题图) (第8题图) 8.如图，抛物线y=ax2十c与直线y=mx十n交于A(一1，p), B(3,gq)两点，则不等式ax2一mx十c>n的解集为 A.x>-1 B.x<3 C.x<-1或x>3 D.-1<x<3 9.某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①， 将滑动变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出滑动变阻器 R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图②所示，该图 象是经过原点的一条抛物线的一部分，则滑动变阻器R消耗的 电功率P最大为 A.180W B.220W C.240W D.320W ↑P/W 165 4 A 220 Vo 图① 图② (第9题图) (第10题图) 10.如图，正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=一x2+3上，点 D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下 列结论正确的是 A.m=1 B.m=n C.m+n=1 D.m-n=1 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.抛物线y=一（x+2)2+6与y轴的交点坐标是 12.若y=(a-3)x-a1-2是二次函数，则a的值是 13.若已知抛物线y=x2一2x十t上有两点A(1,y1),B(2,y2),则 y1 y2.(填“>”“<”或“=”) 14.已知抛物线y=ax2十bx十c的顶点在y轴正半轴上，且其对称 轴左侧的部分是上升的，那么这个抛物线的函数解析式可以是 .(写出一个即可) 15.已知二次函数y=3x2十2x十a的图象与x轴没有交点，则a 的取值范围是 16.已知一个直角三角形的两直角边之和为10cm,则这个直角 三角形的面积最大为 cm2. 17.如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为 10m,拱高为5m的单行抛物线形隧道（从正 中通过)，抛物线满足解析式y=一号2+5， 为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.8m的距离，则 货车的限高应是m. 18.二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)图象上部分点的坐标满足下表. -20 3 35 y … 7 0 -8-9-57 下列四个结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直 -8 线x=2;③当-2<x<4时，y<0;④x=一1是关于x的一元 二次方程ax2十bx十c十5=0(a≠0)的一个根.其中正确的结 论是 .(填序号) 三、解答题（共66分） 19.(8分)用配方法将二次函数y=一2x2+4x一1的解析式化为 y=a(x十m)2十k的形式，并指出该函数图象的开口方向和对 称轴. 20.(8分)已知二次函数y=ax2+bx十c的自变量x与函数y的 部分对应值如下表， 2 -1 0 2 3 5 0 -3 一4 -3 0 (1)二次函数图象的顶点坐标为 ,m的值为 (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)关于x的一元二次方程ax2十bx十c=5的解为 21.(8分)如图，抛物线y=ax2+2x十c经过点A(0,3),B(一1， 0).请解答下列问题： (1)求抛物线的函数解析式； (2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD, 求BD的长 E C 0 22.(10分)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足 够长)和24m长的围栏围成矩形场地，设矩形场地垂直于墙 的一边长AB=xm. (1)当矩形场地的面积为40m时，求x的值； (2)求所围成的矩形场地面积的最大值 23.(10分)网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网 络平台上直播销售荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg,销售价格 不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相 关费用.经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y(kg)与 销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系. (1)求y关于x的函数解析式. (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日 获利最大？最大利润为多少元？ ty/kg 2200 1600 814x/(元/kg) 10 24.（10分)已知关于x的二次函数y=a.x2十bx十c的图象如图所示. (1)方程ax2+bx十c=0的两个根为 (2)观察图象，当一2≤x≤1时，y的取值范围为 (3)将该二次函数的图象向上平移m(m>0)个单位长度后恰 好经过点（一2,0），记此时二次函数图象与x轴的交点为 A,B(,点A在点B左侧)，顶点为C,请写出m的值，并求 △ABC的面积. 25.(12分)【问题背景】第十五届全国运动会首次由粤港澳三地 联合举办，多座城市携手承办赛事，留下了许多精彩的瞬间， 也掀起全民健身热潮.某校以“迎全运，展风采”为主题，举办 校园篮球联赛， 学校组织九年级5个班级进行篮球联赛，采用单循环赛制（每 素材1 两个班级之间比赛1场) 如图，某次比赛中，以某同学初次投篮时的起跳点O为坐标 原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标 系，篮球的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分 C 素材2 D 篮球(P)出手时离地面的高度为2.2m,篮筐中心离地面的高 度AB=3m(国际标准高度为3.05m,为了计算方便取3m), 篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB=6m,篮球距地面 的最大高度CD=4m,此时离篮球出手位置的水平距离 OD=3 m. 11 续表 投篮后，当篮球(P)不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过 篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球” 已知篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮 素材3筐中心的水平位置时，篮球的高度(nm)满足2.95≤n≤ 3.10时，篮球即可命中篮筐. 篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决 定，某同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变 【问题解决】 (1)九年级篮球联赛共需比赛 场 (2)该同学初次投篮时能否命中篮筐？请说明理由， (3)该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研 究后，让该同学在原来位置向前走了dm后再次投篮，发 现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）. 12综合评价答案 第二十五章综合评价 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.A9.B10.A11.x1=5,x2=-5 12.x2-2x=0(答案不唯-)13.6014.-乞15.1216，=-2，m=317.7或 818.-4048【解析】：方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是1，n,∴.m2- 2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0,m+n=2024,mn=-2025..∴.m2=2024m +2025,n=2024n+2025...(m2-2023m-2026)(n2-2023n-2026)=(2024m十 2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+ 1=-2025-2024十1=一4048.19.解：移项，得x2十6x=2.配方，得x2十6x十32= 2十32，(x十3)2=11.由此可得x十3=士√1，即x1=-3十√11，x2=-3-√11. 20.解：她们的解法都不正确.正确的解答过程如下：移项，得3(x一3)一(x一3)2=0.左 边分解因式，得(x-3)(3-x十3)=0.于是x-3=0,或3-x十3=0，即x1=3,x2=6. 21.解：设右边宽为xcm.根据题意，得(60十2×5x)(24十2x)=2240.解得x1=2,x2= -20(不符合题意，舍去).答：右边宽为2cm,22.(1)证明：：a=1,b=-(k十3)，c= 2k十2，∴.△=B-4ac=[-(k十3)]2-4×1×(2k十2)=(k-1)≥0..此方程总有两 个实数根.(2)解：由(1)，得△=(k-1),x=十3-卫，即1=k+1,x,=2. 2×1 ,方程有一个根小于2，∴.k+1<2,解得k<1.23.解：(1)当AB=AD时，四边形 ABCD是菱形，即方程r一mr十受-子=0有两个相等的实数根.△=m 4(受-寻)=0，解得m=m:=1.六当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系 数的关系，得4十=m=受-子：(-3)(。-3)=-3十)十9 5m受-子-3m十9=5m,解得m=名.24解：1y=150-2x(2)根据题意，得 (x-40)(150-2x)-300=200.解得x1=65,x2=50.:要尽快减少库存，∴x=50.答： 该益智玩具的售价应定为50元/个.25.解：(1)倍根方程(2)由方程x一6x十c=0 是“倍根方程”，设x1=3x2,由根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=c,3x2十x2=6, 3x=c,解得=号，一头∴c的值为架(3)：方程r十x十c=0慨是“信根方程 又是“方根方程”，x1=3x2,x=x1或x=x2,由根与系数的关系，得x1十x2=一b, x1x2=C,分两种情况讨论：①当x1=3x2,x=x1时，x=3.x2,解得x2=3,或x2=0(舍 去).x1=9.∴.b=-12,c=27..2b十c=2×(-12)十27=3.②当x1=3x2,x1=x2 时4=3，解得=号，或n=0(含去).=号b=-号，c=72b十c=2 ×(号)十7=一器综上所述26十的值为3或-器 第二十六章综合评价 1.B2.A3.D4.D5.B6.B7.B8.C9.B10.D11.(0,2)12.-1 1 25 13.<14.y=-x+1(答案不唯-)15.a>316.分 17.418.①③④ 19.解：：y=一2x2+4x-1=一2(x-1)2十1，.该函数图象的开口向下，对称轴为直 线x=1.20.解：(1)(1，-4)5(2)如图所示. (3)x1=4,x2=-2 21.解：)将A(0,3),B(-1,0)代人抛物线y=ar+2x十c,得3=， 解得 0=a-2十c. 。3,抛物线的函数解析式为y=一2+2x+3,(2):y=一2十2x+ 一（x一1)十4，.抛物线顶点D的坐标为(1,4)..对称轴与x轴相交于点E,.DE= 4,OE=1.B(-1,0),.OB=1,∴BE=OB十OE=1十1=2.在Rt△BED中，根据勾 股定理，得BD=√BE+DE区=2√5.22.解：(1)根据题意，得(24-2x)x=40.整理， 76 得x2-12x十20=0.解得x1=10,x2=2.(2)设矩形ABCD的面积为S.根据题意，得S =x(24-2x)=-2(x-6)2十72.，x>0,24-2x>0,.0<x<12.-2<0,.抛物线 开口向下，函数有最大值，∴.当x=6时，S取得最大值72.∴.所围成的矩形场地ABCD 的面积最大是72m.23.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b.将(8,2200) 和(14,1600)代入，得 8062200解得二100y关于工的函数解析式为 14k+b=1600, b=3000. y=一100x十3000.(2)设销售这种荔枝日获利为w元.根据题意，得= (x-6-2)(-100.x十3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2十12100. :-100<0,x≤18，∴.当x=18时，w有最大值，最大值为-100×(18-19)2十12100= 12000.答：当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利 润为12000元.24.解：(1)x1=-3,x2=1(2)一4≤y≤0(3)由图可设二次函数 的解析式为y=a(x十1)2-4，将(1,0)代入，得0=a×(1十1)2-4，解得a=1.∴.二次 函数的解析式为y=(x十1)2一4.将二次函数图象向上平移m个单位长度后，所得图 象的函数解析式为y=(x十1)2-4十m.将点(-2,0)代入，得0=(-2十1)2-4十m,解 得m=3.此时二次函数的解析式为y=(x十1)2-1=x2十2x.令y=0,则x2十2x=0, 解得x1=-2,x2=0..A(-2,0),B(0,0),AB=0-(-2)=2.:顶点C的坐标为 (-1,-1D∴△ABC的面积为号·AB·C=号×2X1=1.25,解：1)10(2) 该同学初次投篮时不能命中篮筐.理由如下：由题意，得点P(0,2.2),抛物线顶点 C(3,4).设抛物线的函数解析式为y=a(x-3)2十4.把P(0,2.2)代入，得2.2=a× (0-3)2十4，解得a=一0.2..抛物线的函数解析式为y=-0.2(x-3)2十4.当x=6 时，y=-0.2×(6-3)2十4=2.2.：2.95≤n≤3.10时，篮球可命中篮筐，而2.2< 2.95,∴该同学初次投篮时不能命中篮筐.(3)新的抛物线的函数解析式为y= -0.2(x-3-d)2十4.该抛物线过点(6,3)，.3=-0.2(6-3-d)2十4，解得d1= 3-√5，d2=3十√5.当d=3十√5时，抛物线的顶点坐标为(6十√5,4).此时6十√5>6，不 符合题意，舍去，∴.d的值为3-√5. 第二十七章综合评价 1.B2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.B9.B10.D11.2(答案不唯-) 12.-313.414.1215.316.-617.-318.-619.解：点A(1,2)在函数 y一兰的图象上k=1X2=2∴反比例函数的解析式为y一是“点B(2,6)在函数 y=是的图象上，∴6=号=1.20.解：1)由题意，得友十3<0，解得<-3.(2)：反 比例函数y=十3的图象位于第二、四象限，“当x<0时，y随x的增大而增大 :-4<一1，∴.y<y2.21.解：(1)根据题意，得时间t(h)与汽车速度(km/h)之间 的西数关系式为：=06-4g9.(2)当=120mh时4贸=4h.当=60ka 时，t=480=8(h).返程时间的范围是4h≤≤8h.22,解：1)将A(3,m)代入y= 60 x一2，得m=1.“点A的坐标为3,1).将(3,1D代入y=冬，得=3X1=3.反比例 函数的解析式为y=是.2)将=n代入y=是得y一是点M的坐标为(：是)厂 将=n代人y=一2，得y=n一2点N的坐标为(m,n一2).由MN=4,得号 (n-2)=4,解得n=1或n=-3.又：0<n<3,.n=1.23.(1)证明：由题意知 E(个4）F(-4,冬)DE=-令BF=-车∴DE=BR.(2)解：由I知DE BF=-令CE=CF=4+年：Saer=SEum-Sag-Saus-S4 合(4+冬)-2×号×4×(-冬)=6，解得=士8：<0，k=-824,解：1)函 数图象如图所示.g4 (2)①观察图象可知M与x成反比例. 30H 25引 20 10H y 5 051015202530x/cm 77 设n=兰（≠0）.把(30,10)代人，得10=奇解得=300%关于x的函数解折式为% =30.②观察图象可知，2十5与x成反比例.设y十5=(m≠0).把(30,5)代入，得 =5十5，解得m=30.∴关于x的函数解析式为y=300-5.③减小减小 30 25,解：(1)(1,4)(4,1)(2)y=-x十受 画出直线y=一x如图. 8(3)当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图 y=4(x>0) 432X 2345678x -x y=4 x 象有交点，联立 =-x+受 整理，得x2-受x十4=0.·4=（-罗)-4×1X4 0,解得m≥8或m-8(舍去).故周长m的取值范围为m≥8. 期中综合评价 1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.D8.B9.D10.D11.x1=0,x2=-2 卫.mn1824415=1,=-316,157.218-专 19.解：a =2,b=3,c=-1,.△=b2-4ac=32-4×2×(-1)=17>0..方程有两个不相等的 实数根.x=3,志匠=二3±厘.即1=二3士匝，x,=二3二应 2×2 4 20.解： (1)由题意，得二次函数的解析式为y=a(x十1)2-2.把(1,2)代入，得4a-2=2,解得 a=1.∴.二次函数的解析式为y=(x十1)2-2.(2)当x=3时，y=16-2=14,∴.点 3,10在此函数图象上.21.解：1)F=pS,F=70p=7g(2):70>0当 S>0时，p随S的增大面减小.当力=2500时，790=2500，解得S=0.28.:p≤ 2500,.S≥0.28.答：“木海马”底面面积至少需要0.28m2.22.解：(1)关于x的 一元二次方程x2-2(a-1)x十a-a-2=0有两个不相等的实数根，∴.△= [-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得a<3.a为正整数，.a=1或a=2.(2)r1十 x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,.x1十x-x1x2=(x1十x2)2-3x1x2=16. .[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,解得a1=-1,a2=6.由(1)知a<3,.a=-1. 23.解：(1)函数y=x十1的图象经过点A(2,m),.m=3.∴.A(2,3).点A(2,3)在 反比例函数的图象上，“a=2×3=6.“反比例函数的解析式为y=。,联立 =6,解得一3 y=x十1， 或二2：B(-3,-2.(2)x的取值范围为r≤-3或0< Hy=-2y=3. x≤2.(3)由题意，设点P的坐标为(n,0).在y=x十1中，令y=0,则x=一1， ∴D(-1,0).:San=Sa十Sam=5,号Xn十1X3十号×n+1X2=5,解 得n=1或n=-3.∴.点P的坐标为(-3,0)或(1,0).24.解：(1)由题意，得 (40-x)(22-x)=544.解得x1=6,x2=56(不符合题意，舍去).：5.5<6<6.5，.车 道宽度符合标准.(2)设每个车位的月租金上涨y元.由题意，得(200十)(50一5y)） =10125.解得y=y2=25.答：当每个车位的月租金上涨25元时，该区域停车场的月 租金收入为10125元.(3)设该区域的月租金收入为W元.由题意，得W=(200十y) (50-号）=-号(y一25)+10125.：-号<0当5≤<15时，w随y的增大而 增大.当)y=15时，W有最大值，最大值为-号×(15-25)+10125=10105，答：当E区 域每个车位月租金上涨15元时，该区域的月租金收入最大，最大值是10105元. 25.解：(1)设直线1的函数解析式为y=m.x十n(m≠0)，把A(6,0),B(0,一6)代入，得 78