第27章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级反比例函数单元卷，以生活科技情境为载体，覆盖定义、图象性质及综合应用，适配单元复习，提升数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数定义（第1题）、图象性质（第3题增减性）|结合图象辨析k值（第2题），基础巩固| |填空题|5/15|实际应用（第12题拉面长度与粗细）、几何面积（第13题△PAB面积）|联系生活情境，渗透模型意识| |解答题|8/75|一次函数综合（第16题求表达式与点P坐标）、实际问题（第21题机器狗速度、23题排箫频率）|分层设计，从运算能力到创新应用，体现数学思维与表达|

绝密★启用前 反比例函数单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第27章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．yx B．y C．y＝5x+6 D． 2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．6 B．10 C．﹣5 D．﹣1 3．关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（　　） A．点（1，﹣1）在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 4．已知正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象交于A（﹣2，3）、B两点，则点B的坐标是（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B．函数的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为18，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 6．在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系．经测定，当S＝0.5m2时，P＝20Pa，则P与S之间的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形ABOC的面积为10，则反比例函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为（m，﹣1），则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 10．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流I1，I2（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（　　） A．经过用电器的电流的差值为20A B．两款蓄电池的电压的差值为20V C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为20Ω D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为20A 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　　 ． 12.生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式为（写出自变量的取值范围）　　 ． 12． 13．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，AB∥x轴，点P在x轴上，连接PA、PB，则△PAB的面积为　　 ． 14．若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2026＝ 　　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象相交于A（1，n），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标． 17．（7分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数的解析式及△AOB的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 18．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＞5时，试比较y1与y2的大小，直接写出答案； （3）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，将线段AP平移，使点A与点B重合，点P的对应点Q恰好落在反比例函数图象上，求n的值． 19．（9分）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（OA最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为y＝2，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOP的顶点P在y轴的正半轴上，顶点A落在反比例函数上，且AP⊥OP，S△AOP＝3．点Q是x轴的正半轴上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作∠AOQ的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线PA于点B，C，当OP＝3时，求点C的坐标． 21．（10分）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度v（米/秒）与总质量m（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如下表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量m（千克） 60 80 90 100 120 … 最快速度v（米/秒） 6 4.5 4 3.6 3 … 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 经探究发现v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断v是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 22．（12分）如图，一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1），与y轴交于点B． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y＝ax﹣2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连接AC．当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 23．（12分）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为300mm的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表（表1）： 长度x（mm） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（Hz） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越　高　 （填“高”或“低”）． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． （3）已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（Hz） 低音区 中音区 高音区 Do 262 523 1046 Re 294 587 1175 Mi 330 659 1318 Fa 349 698 1397 So 392 784 1568 La 440 880 1760 Si 494 988 1976 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 反比例函数单元测试卷 (人教版) 考试范围：九年级上册第27章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得 分 一。 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是() A.x=-3 B.=是 C.y=5x+6 D.反= 2.反比例函数=k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是() A.6 B.10 C.-5 D.-1 3.关于反比例函数y=-的图象，下列说法中错误的是（) A.点(1，-1)在它的图象上 B.图象位于第二、四象限 C.y随x的增大而增大 D.图象的两个分支关于原点对称 4.已知正比例函数y=x(m为常数，且m≠0)与反比例函数y=是n为常数，且n ≠0)的图象交于A(-2,3)、B两点，则点B的坐标是() A.（2,3) B.(2,-3) C.(-2,-3)D.(3,-2) 5.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB1y轴于点B.函数y=(c>0) 的图象与线段AB交于点C,且AB=3BC.若△AOB的面积为18，则k的值为() B A.4 B.6 C.8 D.12 6.在综合实践课上，小明利用恒定的压力F()测定压强P(Pa)与受力面积S() 的关系.经测定，当S=0.5mP时，P=20Pa,则P与S之间的函数图象可能是() 个P/Pa P/Pa 100-- 100--- A. 00.1 S/m2 B. 00.1 S/m2 P/Pa ◆P/Pa 100- 100--- C. 00.1 S/m2 D. 00.2 S 7.如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形ABOC的面积为10，则反 比例函数的表达式是() Ay-月 5 B.y-x C.y=10 D.y=-9 8.如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其 中反比例函数y是(k≠0，x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点MN在格点上， 设点M的坐标为(m,-1),则k=() 2 A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 9.若点A(-1,),B(2,2),C(6,g)都在反比例函数y=的图象上，则1， 2,y3的大小关系是() A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 10.现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流 1,2(单位：A)与电阻R（单位：Ω)是反比例函数关系，它们的图象如图所示， 平行于R轴的直线I分别交两图象于点A,B,过点A,B分别作R轴的垂线，垂足 为C,D,图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是() I/A个 CD R/2 A.经过用电器的电流的差值为204 B.两款蓄电池的电压的差值为20V C.当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为202 D.当用电器的电阻相同时的电流的差值为20A 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=的图象交于M、N两点，观察 图象知，不等式ax+b<的解集为 N(-4.1) N(n,-2) 12.生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(cm) 是面条粗细（横截面面积）x(c)反比例函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数 关系式为（写出自变量的取值范围） 个yCm) P(0.04,3200) 3200--- 12. 0 0.04 x(cm㎡) 13.如图，点4，B分别为反比例函数y=(>0)与y=-(x<0)图象上的点，ABx 轴，点P在x轴上，连接A、PB,则△PAB的面积为· y↑ 9 y= 14.若关于x的方程a一之=-2的解为非负整数，且反比例函数y=+3的图象 x-22-x 在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是 15.如图，在平面直角坐标系中，已知直线=x+1和双曲线y= ,在直线上取一点， 记为A1,过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交直线于点A2, 过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交直线于点A3,…,依次 进行下去，记点An的横坐标为a,若a1=2,则a2026=一· A B 42 4 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x4的图象与反比例函数=货 的图象相交于A(1,),B两点. (1)求反比例函数的表达式： (2)P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标. 17.(7分)如图，反比例函数y1=的图象与一次函数归=+b的图象交于A(,3), B(-3,n)两点. (1)求一次函数的解析式及△AOB的面积； 、3 (2)根据图象直接写出不等式°>kx+b的解集； 18.(8分)如图，一次函数y1=x+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A(-1, X 4),B(a,-1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式： （2)当x>5时，试比较y1与y2的大小，直接写出答案： (3)点P(,O)在x轴负半轴上，连接AP,将线段AP平移，使点A与点B重合， 点P的对应点Q恰好落在反比例函数图象上，求n的值. 19.(9分)如图，利用秤杆研究杠杆原理.用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来， 在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A(OA最长为 80厘米)，在点A处用一个弹簧秤向下拉.当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤 的示数y(单位：N)与OA的长度x(单位：厘米)的五组对应值如表所示， x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式： (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为y=2,淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇 淇说明理由， 秤杆 A 秤钩 一物体 6 20.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△AOP的顶点P在y轴的正半轴上，顶点A 落在反比例函数=c>0)上，且4P1OP,S40p=3.点Q是x轴的正半轴上一 点 (1)求反比例函数的解析式： (2)请用无刻度的直尺和圆规作∠AOQ的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3)若(2)中所作的角平分线分别交y=x>0)的图象，射线A于点B,C,当 OP=3时，求点C的坐标. y 0 Q 21.(10分)综合与实践：探索机器狗的速度问题. 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度v（米/秒)与总质量m(千克)（包括所 载物体的质量)的部分数据如下表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连 起来（图2）. 总质量（千 60 80 90 100 120 … 克) 最快速度v 6 4.5 4 3.6 3 (米/秒) 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点 出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回.（装卸设备时间忽略不 计) 经探究发现v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种. 任务1：判断v是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式. 任务2：求机器狗所用的最短时间. (米/秒) 6 60120 m(千克) 图1 图2 22.(12分)如图，一次函数=m-2的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点 A(4,1),与y轴交于点B. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)过点A作x轴的垂线1，将一次函数y=x-2的图象向上平移，交y轴于点C, 交直线l于点D,连接AC.当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，求平移的距离. D 8 23.(12分)【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成.如图1，现要利用若干长为300m 的相同吸管制作简易排箫. 个振动频率y(Hz) 1800 1600 1400 1200 1000 800 60 04 5060708090100110120130140150160170180190200长度x(mm) 图2 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振 动频率，部分数据如表（表1） 长度x() 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y(Hz) 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高（填“高”或“低”） (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线，小帆发现：振动频率y与吸管长度 x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式， (3)已知频率越高，音调越高：频率越低，音调越低.表2是C调音符与频率对照表， 根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率(Hz) 低音区 中音区 高音区 Do 262 523 1046 Re 294 587 1175 Mi 330 659 1318 Fa 349 698 1397 So 392 784 1568 La 440 880 1760 SE 494 988 1976 9 绝密★启用前 反比例函数单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第27章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．yx B．y C．y＝5x+6 D． 【答案】A 【解析】解：A、是反比例函数，故此选项正确；B、不是反比例函数，故此选项错误； C、是一次函数，故此选项错误；D、不是反比例函数，故此选项错误． 2．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．6 B．10 C．﹣5 D．﹣1 【答案】A 【解析】解：根据题意得2×2＝4，﹣3×（﹣3）＝9，∴4＜k＜9，只有A选项在此范围内，故选：A． 3．关于反比例函数的图象，下列说法中错误的是（　　） A．点（1，﹣1）在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 【答案】C 【解析】解：A、在中，当x＝1时，y＝﹣1，则点（1，﹣1）在反比例函数的图象上，原说法正确，不符合题意； B、∵﹣1＜0， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意； C、∵﹣1＜0， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意； D、由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．已知正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象交于A（﹣2，3）、B两点，则点B的坐标是（　　） A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，﹣3） D．（3，﹣2） 【答案】B 【解析】解：∵正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与反比例函数（n为常数，且n≠0）的图象交于A（﹣2，3），B两点， ∴点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标为（2，﹣3）， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B．函数的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为18，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】解：在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B． ∴可设点B的坐标为B（0，m）（m＞0），则OB＝m， ∴， ∴， ∵AB＝3BC， ∴， 又∵BC⊥y轴， ∴， 将点代入函数得：． 故选：D． 6．在综合实践课上，小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系．经测定，当S＝0.5m2时，P＝20Pa，则P与S之间的函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：小明利用恒定的压力F（N）测定压强P（Pa）与受力面积S（m2）的关系． 根据压强公式，可知当S＝0.5m2，P＝20Pa时， ，即F＝10， ∴P与S的函数关系式为， 当S＝0.1时，P＝100， ∴P与S之间的函数图象可能是选项A中的图象． 故选：A． 7．如图，A是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形ABOC的面积为10，则反比例函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设反比例函数的表达式为y， ∵矩形ABOC的面积为10， ∴根据k的几何意义得：|k|＝10， 又∵点A为第二象限反比例函数y的图象上的点， ∴k＝﹣10． ∴反比例函数的表达式是y， 故选：D． 8．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，设点M的坐标为（m，﹣1），则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【答案】C 【解析】解：∵点M（m，﹣1）， ∴N（m﹣2，﹣2）， ∴k＝﹣m＝﹣2（m﹣2）， 解得m＝4，k＝﹣4． 故选：C． 9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】B 【解析】解：将各点横坐标代入解析式，得，，， ∵﹣6＜1＜3， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 10．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流I1，I2（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的图象如图所示，平行于R轴的直线l分别交两图象于点A，B，过点A，B分别作R轴的垂线，垂足为C，D，图中阴影部分的面积是20，则下列说法正确的是（　　） A．经过用电器的电流的差值为20A B．两款蓄电池的电压的差值为20V C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值为20Ω D．当用电器的电阻相同时的电流的差值为20A 【答案】B 【解析】解：∵，，∴S矩形ABCD＝V1﹣V2＝20，∴两款蓄电池的电压的差值为20V，故B选项正确，A选项错误，不符合题意；当用电器的电阻都为R时，则有，，电流的差值为，故D选项错误，不符合题意；假设经过用电器的电流都为I，则有，则有，故C选项错误，不符合题意；故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为　　 ． 【答案】﹣4＜x＜0或x＞2． 【解析】解：一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点， 由题意可得﹣2n＝﹣4×1， 解得n＝2， ∴N（2，﹣2）， 观察图象可得，当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为﹣4＜x＜0或x＞2， 故答案为：﹣4＜x＜0或x＞2． 12． 生活中做拉面的过程就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）是面条粗细（横截面面积）x（cm2）反比例函数，其图象如图所示，则y与x之间的函数关系式为（写出自变量的取值范围）　　 ． 13． 【答案】（x＞0 ） 【解析】解：根据题意得：y，过（0.04，3200）． k＝xy＝0.04×3200＝128． ∴y（x＞0）． 故答案为：y（x＞0）． 13．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，AB∥x轴，点P在x轴上，连接PA、PB，则△PAB的面积为　　 ． 【答案】6.5． 【解析】解：如图，连接OA，OB，设AB与y轴交于点C， 由条件可知S△PAB＝S△OAB，AB⊥y轴， ∵点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ∴，， ∴S△PAB＝S△OAB＝2+4.5＝6.5． 故答案为：6.5． 14．若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　　 ． 【答案】5． 【解析】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴a+3＞0， ∴a＞﹣3， ， 去分母得，a+x＝﹣2（x﹣2）， 去括号得，a+x＝﹣2x+4， 移项、合并得，3x＝4﹣a， 解得，x， ∵关于x的方程的解为非负整数，且，a＞﹣3， ∴a＝1或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5． 故答案为：5． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+1和双曲线，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3，…，依次进行下去，记点An的横坐标为an，若a1＝2，则a2026＝ 　　 ． 【答案】2． 【解析】解：∵直线y＝x+1和双曲线，在直线上取一点，记为A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交直线于点A2，过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交直线于点A3， ∴当a1＝2时，B1的横坐标与A1的横坐标相等为a1＝2， A2的纵坐标和B1的纵坐标相同为， B2的横坐标和A2的横坐标相同为， A3的纵坐标和B2的纵坐标相同为， B3的横坐标和A3的横坐标相同为， A4的纵坐标和B3的纵坐标相同为， B4的横坐标和A4的横坐标相同为a4＝3﹣1＝2＝a1， …， 由上可知，a1，a2，a3，a4，a5，…，3个为一组依次循环， ∵2026÷3＝675……1， ∴a2026＝a1＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数的图象相交于A（1，n），B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）P（10，0）或P（﹣2，0）． 【解析】解：（1）由条件可知A（1，3）． 将点A（1，3）代入，得k＝1×3＝3， ∴反比例函数的表达式为． （2）联立方程组，解得或， ∴B（3，1）， 在y＝﹣x+4中，令y＝0，解得x＝4， ∴C（4，0）． 设P（x，0），如图， ∵S△ABP＝S△APC﹣S△BPC， 即， ∴|4﹣x|＝6， ∴x＝10或x＝﹣2， ∴P（10，0）或P（﹣2，0）． 17．（7分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点． （1）求一次函数的解析式及△AOB的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】（1）y2＝x+2，4； （2）x＜﹣3或0＜x＜1． 【解析】解：（1）由题意可得： ∴， 解得：m＝1，n＝﹣1， ∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴， 解得：， ∴一次函数为y2＝x+2． 如图，记AB与y轴的交点为C， ∴C（0，2）， ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴△AOB的面积为． （2）解：∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）， 结合图象可得不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜1． 18．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x＞5时，试比较y1与y2的大小，直接写出答案； （3）点P（n，0）在x轴负半轴上，连接AP，将线段AP平移，使点A与点B重合，点P的对应点Q恰好落在反比例函数图象上，求n的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为y1＝﹣x+3； （2）y1＜y2； （3）． 【解析】解：（1）把点A（﹣1，4）代入得：m＝﹣1×4＝﹣4， ∴， 把点B（a，﹣1）代入得：， ∴点B（4，﹣1）， 把点A（﹣1，4），B（4，﹣1）代入y1＝kx+b得： ， 解得：， ∴y1＝﹣x+3； （2）观察图象得：当x＞5时，反比例函数的图象在一次函数的图象的上方， 即y1＜y2； （3）一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（﹣1，4），B（a，﹣1）两点． ∵将线段AP平移，使点A与点B重合，且点A（﹣1，4），B（4，﹣1）， ∴线段AP向右平移5个单位，再向下平移5个单位到达线段PQ， ∵P（n，0）， ∴点Q（n+5，﹣5）， 把点Q（n+5，﹣5）代入得： ， 解得：． 19．（9分）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（OA最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与OA的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 （1）由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为y＝2，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】（1）反比例函数，； （2）将y＝2代入中，得， 解得x＝120． ∵x≤80， ∴y不可能等于2． 【解析】解：（1）观察表格数据可得：10×24＝20×12＝30×8＝40×6＝50×4.8＝240，即xy为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将（10，24）代入上式，得， 解得k＝240， ∴y关于x的函数表达式为； （2）嘉嘉在做实验时记录一个数据为y＝2， y＝2代入中，得， 解得x＝120． ∵x≤80， ∴y不可能等于2． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△AOP的顶点P在y轴的正半轴上，顶点A落在反比例函数上，且AP⊥OP，S△AOP＝3．点Q是x轴的正半轴上一点． （1）求反比例函数的解析式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作∠AOQ的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的角平分线分别交的图象，射线PA于点B，C，当OP＝3时，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）∠AOQ的平分线，如图1即为所求； （3）点C的坐标为． 【解析】解：（1）∵顶点A落在反比例函数上，且AP⊥OP，S△AOP＝3， ∴， 解得：k＝6， ∴反比例函数的解析式为； （2）∠AOQ的平分线，如图1即为所求； （3）如图2， ∵PA∥x轴，OP＝3， ∴点A的纵坐标为3， 将y＝3代入， 得x＝2， ∴A（2，3）， 在Rt△APO中，PA＝2，OP＝3， 由勾股定理得：， ∵OC平分∠AOQ， ∴∠AOC＝∠QOC， ∵PA∥x轴， ∴∠ACO＝∠QOC， ∴∠AOC＝∠ACO， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 21．（10分）综合与实践：探索机器狗的速度问题． 素材1：图1是某款机器狗，它的最快速度v（米/秒）与总质量m（千克）（包括所载物体的质量）的部分数据如下表，在直角坐标系中画出对应点，并用光滑曲线连起来（图2）． 总质量m（千克） 60 80 90 100 120 … 最快速度v（米/秒） 6 4.5 4 3.6 3 … 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点540米，机器狗需从试验点出发，送12千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 经探究发现v是m的正比例函数、一次函数、反比例函数中的一种． 任务1：判断v是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务2：求机器狗所用的最短时间． 【答案】（1）反比例函数，v； （2）198秒． 【解析】解：任务1：根据表格，mv＝360， ∴v是m的反比例函数，该函数表达式为v． 任务2：当m＝60+12＝72时，v5， 540÷5＝108（秒）， 当m＝60时，v6， 540÷6＝90（秒）， 108+90＝198（秒）， ∴机器狗所用的最短时间为198秒． 22．（12分）如图，一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1），与y轴交于点B． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点A作x轴的垂线l，将一次函数y＝ax﹣2的图象向上平移，交y轴于点C，交直线l于点D，连接AC．当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 【答案】（1），； （2）5或6． 【解析】解：（1）一次函数y＝ax﹣2的图象与反比例函数的图象交于点A（4，1），将点A的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）设平移后的函数解析式为（h＞0）， 当x＝0时，y＝h﹣2； 当x＝4时，得：y＝1+h， ∴C（0，h﹣2），D（4，1+h）， 当△ACD是以CD为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论： 当AD＝CD时，得：， 解得：h＝5； 当AC＝CD时，得：， 解得：h＝6或h＝0（不合题意，舍去）， 综上所述，平移的距离5或6． 23．（12分）【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为300mm的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表（表1）： 长度x（mm） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（Hz） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越　高　 （填“高”或“低”）． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． （3）已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（Hz） 低音区 中音区 高音区 Do 262 523 1046 Re 294 587 1175 Mi 330 659 1318 Fa 349 698 1397 So 392 784 1568 La 440 880 1760 Si 494 988 1976 【答案】（1）高； （2）图象如下： ； （3）这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的Re，理由如下： 根据题意，得当x＝300时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的Re． 【解析】解：（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高； （2）设，由条件可知， 解得k＝87000，故； 图象如下： （3）这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的Re，理由如下： 根据题意，得当x＝300时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的Re． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $