第25章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程单元测试卷，90分钟120分，覆盖全章核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，落实数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、解法、根的判别式|结合深圳用电量增长等现实情境，设置概念辨析（如方程定义判断）| |填空题|5/15|根与系数关系、三角形边长、新定义问题|融入行程问题（甲乙相向而行）、等腰三角形分类讨论| |解答题|8/75|解方程、利润问题、几何动态问题|设计矩形运动点面积计算（P、Q运动求时间）、无盖纸盒制作等探究题，强化模型意识与运算能力|

绝密★启用前 一元二次方程单元测试卷 (人教版) 考试范围：九年级上册第25章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 一 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程：①x2-5x=2026,②ax+bx+c=0,③3x2+若=1，④(x-2)(x+6)=x2+1,其中一定 是关于x的一元二次方程的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.一元二次方程2x2=x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是() A.2,-1,9 B.2,0,-9 C.2,-1,-9D.2,1,-9 3.如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是() 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方，然 后加上它的3倍，运算结果与这个数的相 反数减4相同。 A.-2 B.±2 C.±1 D.1 4.将一元二次方程x2-x=0配方后变形为(x+a)2=b,则a的值为( A.-1 B.1 D.- 5.一元二次方程x2+3x=- 的根的情况是〈) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个互为相反数的实数根 第1页（共7页） D.没有实数根 口±4-4×(-1) 6.用公式法解方程x2-1=2x时，得x= 则“口”处应填() 2 A.1 B.-1 C.2 D.-2 7.由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量 累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量 的月平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是() A.78.44(1-x)2=253.45 B.78.44（1+x)2=253.45 C.78.44(1+2x)=253.45 D.78.44+78.44(1+x)+78.44(1+x)2=253.45 8.某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2=3x,解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x,得x=3. 移项，得x2-3x=0 x（x-3)=0. x-3=0或x=0,解得x1=3,x2=0. 其中完全正确的是() A.甲 B.都正确 c.乙 D.都不正确 9.已知实数x满足x4-4x2-12=0,则代数式x2+1的值是（) A.7 B.4 C.7或-1 D.-5或3 10.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以2cI/s的速度向点B运动： 同时，点Q从点B出发沿BC以1cms的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当 △PQC的面积等于16cm2时，运动时间为()s. Q →P A.2 B.4 C.10 D.2或10 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1.已知一元二次方程2+m-2=0的根为1,3，若+二=2，则b的值为 X1 X2 第2页（共7页） 12.甲、乙二人分别由A、B两地同时出发，相向骑车匀速行进.当甲行到AB中点时，乙距离A地12千 米；当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米.则A、B两地的距离是千米 13.方程x2-7x+12=0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为一 14.设方程x2-2x-4=0的正根介于整数m与叶1之间，则m=3, 15.定义符号ax{a,b}的含义为：当a≥b时，ax{a,b}=a;当a<b时，c{a,b}=b,如：ax{4, 2}=4,m{-2,5}=5,则方程m{x,-x}=x2-12的解是x=4或x=-4_· 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(7分)解方程： (1)(x+1)2=4: (2)x2-7x+2=0. 17.(7分)对于解方程3(x-2)2=x2-4,小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3(x-2)2=(x+2)(x-2),…步骤① 等号两边同时除以(x-2),得3(x-2)=(x+2),…步骤② 去括号，得3x-6=x+2,…步骤③ 移项、合并同类项，得2x=8,…步骤④ 系数化为1.得x=4.…步骤⑤ (1)已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是（填序号）. (2)请给出正确的解答过程. 第3页（共7页） 18.（8分)己知关于x的一元二次方程x2+(+2)x+叶1=0. (1)若方程有一实数根为3，求的值： (2)求证：无论取何值，方程总有实数根. 19.(9分)某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷.已知一箱贵妃白枇杷的 售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元. (1)求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ (2)当贵妃白枇杷按(1)问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市 场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加 3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该 降低多少元 第4页（共7页） 20.(10分)公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的冬季销售 量，其中10月份售出200个，12月份售出242个。 (1)求该品牌头盔11,12两个月销售量的月均增长率。 (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售 价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实 惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 21.(10分)配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大 值和最小值等.例如，我们用此方法求代数式x+6x+18的最小值的过程如下： 解：x2+6x+18=x2+6x+9叶9=(x+3)2+9. ,(x+3)2≥0， .(x+3)2+9≥9， x2+6r+18的最小值是9. 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8,当x=一时，代数式-2x2+4x+6有最一值（填“大” 或“小”)，这个值是： (2)比较代数式3x2-x+1与2x2+3x-6的大小，并说明理由. 第5页（共7页） 22.(12分)根据以下素材，完成探索任务， 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD,图1是 A D 2x 果园的平面图，其中AB=200米，BC=300 米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向 种植园区 道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽 度都为x米，中间部分种植水果.出于货车通 2x 行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且B C 不小于5米， 图1 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草 莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平 均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓： 受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定 降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每 月可多销售500mm2草莓.果园每月的承包费为 图2 2万元 (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响.若中间种植的面积是44800m?,求道路宽度x的 值. (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润=销售利润-承包费）.若农户预期一个月该草莓的总利润 为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 第6页（共7页） 23.(12分)综合实践一一用矩形硬纸片制作无盖纸盒. 如图1，有一张长30c,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2 所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计） 底面 图1 图2 图3 (1)若纸盒的底面积为176c2,请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他 发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表 面积为412cm,请计算剪去的正方形的边长. 第7页（共7页） 绝密★启用前 一元二次方程单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①x2﹣5x＝2026，②ax2+bx+c＝0，③，④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①x2﹣5x＝2026，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，当a＝0时方程不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，整理方程得：4x﹣13＝0，不是一元二次方程； 故选：B． 2．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 【答案】C 【解析】解：由题意，∵2x2＝x+9， ∴2x2﹣x﹣9＝0， ∴二次项系数为2，一次项系数为﹣1，常数项为﹣9． 故选：C． 3．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 【答案】A 【解析】解：设这个数为x，则x2+3x＝﹣x﹣4， 整理得（x+2）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣2， 故选：A． 4．将一元二次方程x2﹣x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】解：x2﹣x＝0， ， ， ∵一元二次方程x2﹣x＝0配方后变形为（x+a）2＝b， ∴． 故选：D． 5．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解析】解：∵原方程整理得， ∴a＝1，b＝3，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】C 【解析】解：原方程移项得x2﹣2x﹣1＝0， ， 对比题干给出的式子，可知□处应填2． 故选：C． 7．由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．78.44（1﹣x）2＝253.45 B．78.44（1+x）2＝253.45 C．78.44（1+2x）＝253.45 D．78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45 【答案】D 【解析】解：由题意得：78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45， 故选：D． 8．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 【答案】C 【解析】解：∵甲同学两边同时除以x时，未考虑x＝0的情况，导致漏解； 乙同学移项得x2﹣3x＝0， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或x＝0， 解得x1＝3，x2＝0， ∴完全正确的是乙． 故选：C． 9．已知实数x满足x4﹣4x2﹣12＝0，则代数式x2+1的值是（　　） A．7 B．4 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解析】解：令y＝x2，由平方数的非负性得y≥0， 原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 因式分解得（y﹣6）（y+2）＝0， ∴y﹣6＝0或y+2＝0， 解得y＝6或y＝﹣2， ∵y≥0， ∴y＝﹣2不符合题意舍去，得x2＝6， ∴x2+1＝6+1＝7． 故选：A． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴， 设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，2x2﹣24x+56＝0， 整理得：x2﹣12x+20＝0， 解得x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 即当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为2s． 故选：A． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　4　 ． 【答案】4． 【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵， ∴2， ∴2， 解得b＝4． 故答案为：4． 12．甲、乙二人分别由A、B两地同时出发，相向骑车匀速行进．当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米；当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米．则A、B两地的距离是　20　 千米． 【答案】20． 【解析】解：设A、B两地的距离是x千米，甲的速度为V甲千米/时，乙的速度为V乙千米/时， 根据当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米得， 根据当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米得， 所以， 整理得x2﹣26x+120＝0， 解得x1＝20，x2＝6， 当x＝6时，x﹣12＝﹣6＜0，不适合题意，舍去，只取x＝20， 即A、B两地的距离是20千米， 故答案为：20． 13．方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　10或11　 ． 【答案】10或11． 【解析】解：x2﹣7x+12＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∵方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长， ∴若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4＝11； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4＝10． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 14．设方程x2﹣2x﹣4＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　3　 ． 【答案】3． 【解析】解：x2﹣2x﹣4＝0， 移项得：x2﹣2x＝4， 配方得：x2﹣2x+1＝4+1， 即（x﹣1）2＝5， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1． ∵4＜5＜9， ∴23， ∴3＜14，则m＝3， 故答案为：3． 15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是x＝4或x＝﹣4　 ． 【答案】x＝4或x＝﹣4． 【解析】解：①当x≥﹣x，即x≥0时，max{x，﹣x}＝x， ∴x＝x2﹣12， 解得x1＝4，x2＝﹣3（舍去）； ②当x＜﹣x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣12， 解得x3＝﹣4，x4＝3（舍去）； 故答案为：x＝4或x＝﹣4． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）解方程： （1）（x+1）2＝4； （2）x2﹣7x+2＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3； （2）x1，x2． 【解析】解：（1）（x+1）2＝4， x+1＝±2， x+1＝2或x+1＝﹣2， x1＝1，x2＝﹣3； （2）x2﹣7x+2＝0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×1×2＝49﹣8＝41＞0， ∴x， ∴x1，x2． 17．（7分）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　　（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 【答案】（1）②； （2）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣8）＝0， x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 【解析】解：（1）根据题意，可知步骤②两边同时除以（x﹣2）， 未考虑（x﹣2）可能为0的情况，会导致丢失方程的一个根， 故出错的步骤为②， 故答案为：②； （2）3（x﹣2）2＝x2﹣4， 3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0， （x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣8）＝0， x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1）m＝﹣4； （2）证明：∵关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+4m+4﹣4m﹣4 ＝m2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【解析】（1）解：由条件可知：32+3（m+2）+m+1＝0， 解得m＝﹣4； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+4m+4﹣4m﹣4 ＝m2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 19．（9分）某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 【答案】（1）每箱贵妃白枇杷的售价不高于140元． （2）每箱贵妃白枇杷的售价应该降低40元． 【解析】解：（1）设每箱贵妃白枇杷的售价为x元，则每箱五星枇杷的售价为（x﹣50）元， 依题意得：3x+2（x﹣50）≤600， 解得：x≤140． 答：每箱贵妃白枇杷的售价不高于140元． （2）设每箱贵妃白枇杷的售价应该降低m元，则每周可售出（12+3）箱， 依题意得：（140﹣m）（12+3）＝1800， 整理得：m2﹣60m+800＝0， 解得：m1＝20，m2＝40， 又∵要尽可能减少库存， ∴m＝40． 答：每箱贵妃白枇杷的售价应该降低40元． 20．（10分）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月均增长率为10%； （2）该品牌头盔的销售价应定为55元． 【解析】解：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得：200（1+x）2＝242， 解这个方程，得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为10%； （2）设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得： （y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝11250， 解这个方程，得y1＝55，y2＝75， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y取55， 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 21．（10分）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式x2+6x+18的最小值的过程如下： 解：x2+6x+18＝x2+6x+9+9＝（x+3）2+9． ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2+9≥9， ∴x2+6x+18的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，当x＝　　 时，代数式﹣2x2+4x+6有最　　 值（填“大”或“小”），这个值是　　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+1与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；大；8； （2）3x2﹣x+1＞2x2+3x﹣6，理由如下： ∵3x2﹣x+1﹣（2x2+3x﹣6）＝（x﹣2）2+3＞0， ∴3x2﹣x+1＞2x2+3x﹣6． 【解析】解：（1）∵﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， ∴当x＝1时，代数式﹣2x2+4x+6有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）3x2﹣x+1＞2x2+3x﹣6， 理由如下：作差可得： 3x2﹣x+1﹣（2x2+3x﹣6）＝（x﹣2）2+3＞0， ∴3x2﹣x+1＞2x2+3x﹣6． 22．（12分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）10； （2）每平方米草莓平均利润下调40元． 【解析】解：（1）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（意，舍去）， ∴道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， ， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵从客户的角度考虑，要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 声明：试题解析著作权属68421423.（12分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）答：剪去的正方形的边长为4cm． （2）答：剪去的正方形的边长为2cm． 【解析】解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则纸盒底面长方形的边长为（30﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm． 由题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝176， 整理，得 （x﹣4）（x﹣19）＝0． 解得x1＝4，x2＝19． 因为16﹣2x＞0，所以x＝19不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为4cm． （2）设剪去的正方形的边长为acm，根据题意，剪去的矩形的长为15cm，宽为acm，则剪去部分的面积为： 2a2+15×a×2＝30×16﹣412， 2a2+30a﹣68＝0， a2+15a﹣34＝0， （a﹣2）（a+17）＝0， 解得a＝2或a＝﹣17，（a＝﹣17不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为2cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 一元二次方程单元测试卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程：①x2﹣5x＝2026，②ax2+bx+c＝0，③，④（x﹣2）（x+6）＝x2+1，其中一定是关于x的一元二次方程的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一元二次方程2x2＝x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，﹣1，9 B．2，0，﹣9 C．2，﹣1，﹣9 D．2，1，﹣9 3．如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（　　） A．﹣2 B．±2 C．±1 D．1 4．将一元二次方程x2﹣x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个互为相反数的实数根 D．没有实数根 6．用公式法解方程x2﹣1＝2x时，得，则“□”处应填（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．78.44（1﹣x）2＝253.45 B．78.44（1+x）2＝253.45 C．78.44（1+2x）＝253.45 D．78.44+78.44（1+x）+78.44（1+x）2＝253.45 8．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝3x，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以x，得x＝3． 移项，得x2﹣3x＝0 ∴x（x﹣3）＝0． ∴x﹣3＝0或x＝0，解得x1＝3，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确 9．已知实数x满足x4﹣4x2﹣12＝0，则代数式x2+1的值是（　　） A．7 B．4 C．7或﹣1 D．﹣5或3 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　 　． 12．甲、乙二人分别由A、B两地同时出发，相向骑车匀速行进．当甲行到AB中点时，乙距离A地12千米；当乙行到AB中点时，甲距离B地还有7.5千米．则A、B两地的距离是　 　千米． 13．方程x2﹣7x+12＝0的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个三角形的周长为　 　． 14．设方程x2﹣2x﹣4＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝　3　 ． 15．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{4，2}＝4，max{﹣2，5}＝5，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣12的解是x＝4或x＝﹣4　 ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）解方程： （1）（x+1）2＝4； （2）x2﹣7x+2＝0． 17．（7分）对于解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4，小刚的做法如下： 解：等号右边因式分解，得3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2），…步骤① 等号两边同时除以（x﹣2），得3（x﹣2）＝（x+2），…步骤② 去括号，得3x﹣6＝x+2，…步骤③ 移项、合并同类项，得2x＝8，…步骤④ 系数化为1．得x＝4．…步骤⑤ （1）已知小刚的解答是错误的，开始出现错误的步骤是　　（填序号）． （2）请给出正确的解答过程． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m+1＝0． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 19．（9分）某水果店销售两种品牌的枇杷，一种是五星枇杷，一种是贵妃白枇杷．已知一箱贵妃白枇杷的售价比一箱五星枇杷的售价高50元，购买3箱贵妃白枇杷，2箱五星枇杷的总价不超过600元． （1）求每箱贵妃白枇杷的售价不高于多少元？ （2）当贵妃白枇杷按（1）问中的最高售价销售时，该水果店平均每周可销售贵妃白枇杷12箱，因市场不景气，水果店决定降价销售，经调查发现，一箱贵妃白枇杷的售价每降低20元，销量每周可增加3箱，若保证贵妃白枇杷每周的销售额为1800元，且尽可能减少库存，求每箱贵妃白枇杷的售价应该降低多少元． 20．（10分）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． （1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． （2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 21．（10分）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式x2+6x+18的最小值的过程如下： 解：x2+6x+18＝x2+6x+9+9＝（x+3）2+9． ∵（x+3）2≥0， ∴（x+3）2+9≥9， ∴x2+6x+18的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： （1）代数式﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，当x＝　　 时，代数式﹣2x2+4x+6有最　　 值（填“大”或“小”），这个值是　　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+1与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由． 22．（12分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000m2的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500m2草莓．果园每月的承包费为2万元． （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是44800m2，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润＝销售利润﹣承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 声明：试题解析著作权属68421423.（12分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为176cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $