第25章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册《一元二次方程》单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式与应用，融合文化传承（杨辉几何解法）与实际情境（利润计算、矩形车棚），适配单元复习，发展数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、系数识别、配方法|基础概念辨析，如第1题考一元二次方程定义| |填空题|6/18|一般式转化、参数取值、根的情况|如第14题考方程有实根的参数范围| |解答题|6/52|解法应用（因式分解）、实际问题（利润计算）、根与系数关系探究|第20题水果销售问题培养模型意识，第22题根与系数关系体现推理能力|

人教版（新教材）2026年九年级上册第25章《一元二次方程》单元测试卷 满分100分 时间90分钟 一、选择题（共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 3．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 5．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 9．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 10．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二、填空题（共18分） 11．将一元二次方程化为一般式为______． 12．若关于的方程是一元二次方程，则________． 13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 15．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 16．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 三、解答题（共52分） 17．（8分）解方程： (1)． (2)． 18．（8分）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 19．（8分）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 20．（8分）某水果商店销售一种进价为40元的优质水果．若售价为50元，则一个月可售出；若售价在50元的基础上每上涨1元，则月销售量就减少．已知这种水果的售价不得超过70元． (1)当售价为55元时，每月可以销售该种水果多少千克？ (2)当月利润为8750元时，每千克该种水果的售价为多少元？ 21．（10分）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 22．（10分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C D A A D C D 二、填空题 11． 12．2 13．2 14． 15． 16． 三、解答题 17．（1）解：， 因式分解得， ∴， 解得：． （2）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 18．证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 19．解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 20．（1）解：当售价为55元时， 根据题意，每月销售量为（千克）， 答：每月可以销售该种水果450千克； （2）解：设每千克该种水果的售价为元，由题意得，每千克销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意列方程得， 整理得， 解得，， ，不符合售价不得超过70元的要求，舍去， ， 答：每千克该种水果的售价为65元． 21．(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． 22．（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 学科网（北京）股份有限公司 $