第25章 一元二次方程 单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第25章一元二次方程单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合社会热点（如“哭哭马”玩偶销售）与文化传承（《九章算术》古题）情境，适配单元复习，培养数学抽象、运算、模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10题|方程定义、解法选择、根的判别式等|第4题以新运算形式考根的判别式，体现创新思维| |填空|8题|系数确定、实际问题建模（握手、增长率）等|第18题引用《九章算术》行程问题，渗透文化传承| |计算|5题|四种解法（因式分解、配方法等）|覆盖不同解法，强化运算能力| |解答|4题|换元法、几何与方程结合、利润问题等|第23题结合“哭哭马”销售热点，第22题果园规划问题，突出模型意识与应用能力|

2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 单元试卷 一、选择题 1.若关于的一元二次方程的常数项是，则一次项是(    ) A. B. C. D. 2.解下列方程：用较简便的方法依次是     ． A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，，因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，，公式法，因式分解法 3.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 4.定义计算：，例如，则关于的方程的根的情况是． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： ，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 小明的解答过程中开始出错的步骤是  (    ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 6.若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为，，而小华看错常数项，解得两根为，，那么原方程为(    ) A. B. C. D. 8.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了份合同，设有家公司参加了这次交易会，则下列说法正确的是． A. 由题意可列方程为 B. 由题意可列方程为 C. D. 9.如图，在一个长为，宽为的矩形地面上修等宽的三条互相垂直的小路，余下部分种草，草地面积为设小路的宽为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 10.对于一元二次方程，下列说法： 若，则 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根 若是方程的一个根，则一定有成立 若是一元二次方程的根，则． 其中正确的． A. 只有 B. 只有 C. 有 D. 只有 二、填空题 11.已知关于的一元二次方程的一次项系数为，则的值为          ． 12.关于的方程是一元二次方程，则          ． 13.某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为          ． 14.某班同学毕业时都与全班其他同学握手一次，全班共握手次如果全班有名同学，根据题意，列出方程为          ． 15.若一元二次方程的两根为，，则方程的两根为          ． 16.在一元二次方程中，若，，满足关系，则这个方程必有一个根为          ． 17.若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则          ． 18.九章算术中有这样一道题：“今有二人同所立甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会问：甲、乙行各几何”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，然后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了          步 三、计算题 19.用适当的方法解一元二次方程： ． ． ． ． ． 四、解答题 20.阅读下面的材料，回答问题： 方程是一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为， 解得，． 当时，， 当时，，． 原方程的解为，，，． 在由原方程得到方程的过程中，是利用换元法达到          的目的填“降次”或“消元”，体现了数学的转化思想 仿照上面的方法，解方程． 21.已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 当为何值时，四边形是菱形求出这时菱形的边长． 若的长为，那么平行四边形的周长是多少 如果这个方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22.根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于米． 素材 该农户发现某种草莓销售前景比较不错，经市场调查发现，草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的平均销售利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓的平均销售利润下调元，每月可多销售平方米草莓．果园每月的承包费为万元． 问题解决 任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围； 若中间的种植面积是平方米，则路面设置的宽度是否符合要求？ 任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，则从让利于顾客的角度考虑，每平方米草莓的平均销售利润应该下调多少元？ 23.年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． 求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． 从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经尝试，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元 答案和解析 1.【答案】  【解析】关于的一元二次方程的常数项是， ，，解得，把代入原方程可得， 一次项是故选A． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】根据题意，得 解得且故选D． 4.【答案】  【解析】，． ，，即． ，方程有两个相等的实数根故选B． 5.【答案】  【解析】解：小明解方程过程开始出错的步骤是第三步，求根公式用错． 故选：． 观察小明解方程过程，找出出错的步骤即可． 此题考查了解一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  【解析】设有家公司参加了这次交易会，根据题意，得， 即，解得，不符合题意，舍去， 可列方程为，故选D． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，，故正确 方程有两个不相等的实根， ，， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故正确 是方程的一个根， ，， 当时，等式一定成立， 则不一定成立，故不正确 若是一元二次方程的根， 则由求根公式，可得或， 或， 故正确． 综上所述，正确的只有故选B． 11.【答案】  【解析】由题意，得且，解得． 12.【答案】  【解析】关于的方程是一元二次方程， 且． 将整理得， 因式分解，得，解得，， 由得，综上所述，． 13.【答案】  【解析】设初始价格为，平均每个月降低的百分率为，则根据题意，得，即，解得，．为下降率，，，即每个月降低的百分率为． 14.【答案】  15.【答案】  ，  【解析】，，，，，，． 16.【答案】  17.【答案】  【解析】关于的一元二次方程有两个不同的实数根，， ，，． ， ， ， ， 解得，． 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 综上，． 18.【答案】  19.【答案】【小题】 解：原方程整理，得． 或， 解得，． 【小题】 【解法一：配方法】移项，得． 二次项系数化为，得． 配方，得． ， 解得，． 【解法二：公式法】，，， ． ． ，． 【小题】 移项，得左边分解因式， 得． 于是或， 即，． 【小题】 ， ， ． 或． ，． 【小题】 ， 或． ，．   20.【答案】【小题】 降次 【小题】 设，则原方程可化为，解得，． 当时，，， 方程无实数根 当时，，解得，． 原方程的解为，．   21.【答案】【小题】 解：当时，四边形是菱形，即方程的两个实数根相等， ， 解得， 此时方程为， 解得． 当时，四边形是菱形， 这时菱形的边长为． 【小题】 根据题意知， 解得， 平行四边形的周长是． 【小题】 方程的两个实数根分别为，， ，， 代入到，可得， 解得．   22.【答案】解：根据题意，得 根据题意，得， 整理，得， 解得，不符合题意，舍去． ， 路面设置的宽度符合要求 设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓． 根据题意，得． 整理，得， 解得，． 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元．  23.【答案】【小题】 解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为根据题意，得，解得，不合题意，舍去答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 【小题】 设该组合套装的售价为元，则月销售量为套根据题意，得，解得，不合题意，舍去答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 学科网（北京）股份有限公司 $