2026-2027学年高二上学期数学开学模拟卷一（山东潍坊适用）

**基本信息** 潍坊市高二开学数学模拟卷，聚焦复数、解三角形、立体几何核心内容，通过基础与综合题梯度设计，考查空间观念、推理运算能力，适配学段衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|复数纯虚数、正弦定理、正方体动点轨迹|基础巩固，如第4题结合轨迹考查线面平行充分条件| |多选题|3题/15分|复数几何意义、三角形性质判断|能力提升，如第10题综合正弦定理与三角形形状判断| |填空题|3题/15分|正四棱锥内切球、直观图还原|创新应用，如第13题通过直观图还原平面图形周长| |解答题|3题/30分|解三角形、复数几何意义、立体几何证明与体积|综合应用，如第17题结合面面垂直证明与三棱锥体积计算|

2026-2027学年潍坊市高二数学开学模拟测试卷一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）在中，已知，，，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（本题5分）已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ）    A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 5．（本题5分）在中，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题5分）如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知球的直径，是该球球面上的两点，，则三棱锥的体积最大值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（本题5分）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，AB是底面圆O的直径，，，，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C．3 D． 评卷人 得分 二、多选题（共15分） 9．（本题5分）已知复数z满足，则下列说法中正确的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限 C．复数z的共轭复数为 D． 10．（本题5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形 11．（本题5分）在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 评卷人 得分 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在正四棱锥中，，侧面与底面所成二面角的正切值为，则此正四棱锥的内切球的半径为________． 13．（本题5分）如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 14．（本题5分）已知是实系数一元二次方程的一个根，则的值为______. 评卷人 得分 四、解答题（共30分） 15．（本题10分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（本题10分）已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 17．（本题10分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，，． (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年潍坊市高二数学开学模拟测试卷一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A D A C AD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 2．C 【分析】运用正弦定理可得代入已知可得，再由余弦定理可得角，再结合求出从而得到. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得， 又因为，所以， 由余弦定理可得， 由，可得， 所以，， 由可得或，而， 所以，可得. 故选：C. 3．C 【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案. 【详解】由正弦定理，可得，则，由，则， 由，则或. 故选：C. 4．D 【分析】取中点、中点，证得平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件.    5．A 【分析】利用余弦定理求出，，即可得出结论． 【详解】解：中，，，， ，， ，， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．D 【分析】根据异面直线所成角的定义，转化为相交直线所成角，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】连结，交于点，取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 设，则，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 7．A 【分析】把三棱锥体积等价转化，当平面平面时，达到最大值，求出最大高度后代入体积公式计算最大值. 【详解】线段是球的直径且 ，， 由直径所对圆周角为直角得， ， 三棱锥体积 ，其中为点到平面 的距离， 因此当取得最大值时，三棱锥体积最大， 当平面平面时，达到最大值， 在内，利用等面积法得即，解得 ， 所以, 此时，所以三棱锥的体积最大值为2. 8．C 【分析】将异面直线所成的角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成角为或其补角， 因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， ,, 所以 所以异面直线与所成角的正切值为3. 9．AD 【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， ， 有，故A正确； 复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误； 复数的共轭复数为，故C错误； 因为，故D正确， 故选:AD. 10．ABD 【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A选项，根据大角对大边，， 根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 于是，A选项正确； B选项，根据余弦定理结合选项可知，， 由，进而，B选项正确； C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出， 故这样的三角形不存在，C选项错误； D选项，若，由正弦定理，， 则，而,则或者， 即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】结合直三棱柱的几何性质，利用线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理逐一分析选项即可得解. 【详解】对于A，若平面，则必有， 在矩形中，若对角线互相垂直，则矩形为正方形，即，与已知条件矛盾，故A错误； 对于B，分别是的中点，故是的中位线，可得， 又平面，平面，因此平面； 连接交于点，连接，同理可得，平面，平面， 故平面，和是平面内两条相交直线，均平行于平面， 因此平面平面，故B正确； 对于C，直三棱柱中平面，平面，故； 又，为中点，等腰三角形三线合一得， 由于，且平面，因此平面，平面，故，C正确； 对于D，由选项B的推导可知，结合选项C中平面，得平面， 又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，故D正确. 12． 【分析】求内切球半径的关键是先利用二面角条件确定棱锥的高和斜高，分别计算体积和表面积，再利用等体积法将棱锥分割成若干个以内切球球心为顶点的小棱锥，建立体积等于表面积与半径乘积的关系，最后整理即得内切球半径的表达式． 【详解】连接交于点O，所以是正方形ABCD的中心，取 AB的中点，连接， 所以，所以平面与平面所成二面角的平面角为， 设，在截面中，，且，． 故棱锥的高与斜高分别为，． 所以，正四棱锥的表面积为． 设内切球半径为r，内切球球心为，连接以内切球球心为顶点、各面为底面分割棱锥， 所以到四个侧面及底面的距离均为内切球半径， 所以，即， 所以． 13．/ 【分析】根据直观图还原平面图形，根据长度关系和角度关系计算周长． 【详解】 如图所示，为还原的平面图形，其中， 在直观图中，，，， 故，则， 则在中，，则 在中，，，则； 故周长为． 14． 【分析】将代入一元二次方程求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，化简得：， 则， 故答案为：. 15．(1)； (2)6. 【分析】（1）应用余弦定理的边角关系及已知可得，即可求，进而确定其大小； （2）由三角形面积公式得，再由及已知求得，即可求周长. 【详解】（1）由题设，整理可得， 所以，又，故. （2）由题意，又， 所以，故的周长为. 16．(1) (2)． 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解， （2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解. 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 17．(1)证明：∵，∴， ∵平面平面，且平面平面， 平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. (2) 【分析】（1）由已知可得，结合面面垂直可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）先求解点到平面的距离，再求解的面积，利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，∵，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵，平面，平面， ∴平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 即点到平面的距离为的长. ∵，，∴， ∴，从而， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴. 【点睛】 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $