山东省潍坊第一中学2025-2026学年高二上学期8月开学考试数学试题

空 高二开学监测数学答题卡 学牧： 姓名： 班级： 考场座位号： 准考证号填涂区 ■ 客观题 1 [A][B][C][D)6 [A][B][C][D] II【A](B][c](D] 2 [A][B][c][o]7 [A](B]Ic][D] 3 [A:[B][C][D]8 [A:[B][C][D] 4 (A][e](c)[o)9 [A)(B)(C)(D] 5 [A)[B][C][D]10 [A][B][C][D] 解答题 1214(15分) 12 ■ 13 14 请勿在此区域作答 第页共6页) 15(13分) 0 ■ 第2颂（共6页 16（5分) 第3质（共6项） ■ 17(15分) I 第A项供6项) 18（17分)】 0 第5页（共6页） ■ 19（17分) 第6页共顷) ■潍坊一中高78级高二上学期数学学科开学调研监测考试 考试时长：120分钟 时间：2025年8月 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的， 2-i 1.已知复数1-3i(其中i为虚数单位)，则z的虚部为（) A B.Li c-1 D 2.已知角C终边上一点P(3,-4),则c0s0=( 5 B- 3.已知平面向量a=(1,2),b=（-2,m),且a/仍，则a+3b=( ) A.（-5,-10) B.（-4,-8) C.(-3,-6) D.（-2,-4) 4.己知，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题中正确的是() A.若m/n,nCo,则/la B.若m/1a,//B,则o∥B C.若m⊥n,nC0以，则m⊥0 D.若mC,n⊥a,则m⊥n 5.下列说法正确的是() A.底面是矩形的平行六面体是长方体 B.正四面体的高为其棱长的 倍 4 C.用一个平面截正方体，得到的截面可能为五边形D.过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 3π3 2025元 6.若sina+ ,且是第三象限角，则cosa+ 三( 25 2 A. 5 B.4 n 7.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,∠BAD=60°，E为CD的中点，若AC.BE=4,则AB= ) D EC A.1 B.√5 C.5 D.2 8.将函数f(x)=2tan +耳到(>0)的图很向左平移子个单位，得到函数)的图意，右()为方 2 函数，则ω的最小值是() A.2 B.1 C. 3 D.2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.己知复数z,则下列说法正确的是() A.若=2，则：=士2 B.若z2>0,则z∈R c.若2=1，则1≤5-2≤3 D.= 1 10,已知0是△ABC所在平面内一点，AB=2,4C=3,c0sA=3则下列说法正确的是(） A△ABC外接圆的半径为W2 8 B.△ABC内切圆的半径为√2 C.若O是△ABC的外心，则BO在BC上的投影向量为BC 2 D.若O是AABC的垂心，则BO在C上的投影向量为二BC 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，M,N,P分别是AA,CC1,C,D的中点，Q是线段DA 上的动点，R是线段BN上的动点，则() A.存在点Q,使PQ//平面MBN B.MN与PB为异面直线 C.线段OR的最小值是2 D D.经过M,B,C,N四点的球的表面积为9π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.已知正三棱柱的高为2，底面边长为√6，则该三棱柱的外接球的体积为 则c0so= 14.设n次多项式Pn(t)=a.+a-1t-1+…+,t+a,t+a(a,≠0)，若其满足卫.(cosx)=cosx,则 称这些多项式Pn（t)为切比雪夫多项式.已知 sina f()= (ems0)R(os0)B1eo01Ri16os0月co0则/S一若f0=2, sin sin 则B(cos8)+2(cos6) cos2θ.P,(cos8) 四、解答题：本大题共5小题，共计77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bc0sC+cc0SB=2 acosA (1)求角A的大小： (2)若a=√7，b=2,求△ABC的面积 16已知函数f()=Asm(or+pA>0,0>0,网←号 的部分图像，如图所示。 (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图像向右平移亚个单位，再将得到的图像上各点的横坐标 缩短为原来的；，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间 5πx 6 上的单调递增区间。 C 17.已知直三棱柱ABC-AB,C,AB⊥AC,D,E分别是边AB,B,C,的中点. (1)证明：DE/平面ACCA: (2)若三楼维C-4CB体积为，且AB-2,设BC与平面4CC4形成的线 面角为0，求tan0的最大值. l8.如图，己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积记为S,且a2+4W3S=(b+c),D 是AB的中点，点E在线段AC上且AE=2EC,线段CD与线段BE交于 点M (1)求角A的大小： (2)若AM=xAB+yAC,求x+y的值： E (3)若S=9√3，且点G是△ABC的重心，求线段GM的最小值. 19.如图，我们把由平面内夹角为60°的两条数轴ox,0y构成的坐标系称为“完美坐标系”，设e,,e,分别 为ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=x,+y2,则把实数对x,y叫做向量OP的完美坐标” 》D e (1)若向量0P的“完美坐标"为[3,4]，求OP: (2)已知[5出]，[s]分别为向量a,6的完美坐标，证明：ā-6=++2(x+x%)小： 3》者向量5,6价完关标分别为2n小，cosx小设函数国)-a6,老对任盒的te(0引 不等式f(x)≥sin2x恒成立，求实数的取值范围.高78级高二上学期开学考试数学试题； 答案 2-i (2-i)(1+3i)5+5i_1,1 1.D【详解】血慰意可得：-3+310221， 所以z的虚部为) 2A【详解】设角α的终边过P(x,),则有rOP片√2+少=5.cosa=-3 3.A【详解】因为a=1,2),五=(-2，m),且a/乃，所以m+4=0,=-4,+3b=(1,2)+3(2,-4)=(-5,-10), 4.D【详解】对于A,若m/∥n,nCo,则m/1a,或nC,故A错误； 对于B,若ml1o,m//B, 则o∥B,或与B相交，故B错误；对于C,若m⊥n,nCo,则m与a&相交，或mC,或/a, 故C错误；对于D,若mCc,n⊥a,则m⊥n,故D正确. 5.C【详解】对于A,底面是矩形的平行六面体，它的侧面不一定是矩形，故它也不一定是长方体，即A不 正确；对于B,设棱长为，正四面体的高是从一个顶点垂直于对面的高度，所以底面的等边三角形的高为 之a:底面的重心将商分为y5a{5.5x2.5 -X■ -× 2 236a,2ax行3a,又正四面体的高h与侧棱a和底面重心 到顶点的距离V3 枸成直角三角形：所以+Y5 3 a=→h=6 a,故B不正确； 3 对于C,用一个平面去截一个正方体，A、B、C、D、E、F分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为 三角形、四边形、五边形、六边形，故C正确： 如图所示： 三角形 四边形 五边形 六边形 对于D,过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长1，设该等腰三角形顶角为B,则截面三角形 积为SP血6，显然当日-面积$最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴 2 2 面积不一定是最大的，故D错误 6.BI详解】因为s0+2 3π =-cosa=3 即cosa=- ，且a是第三象限角，则sima=-c0s'a=- 3 4 2025π 所以cos+2 -cos1012-co+i 4 2 5 r旷，rC1" 7.A【详解】设AB的长为m,因为AC=AB+AD,BE=BC+CE=AD-二AB, 5 所以4C瓶=(B+A0)号AB+AD)}A8+西0-A8+D -4B+4B.AD+AD=-号m2+2+号×2×mc0s60°=4，解得m=1或m=0(舍去). 8A【详解】函效/八)-2mox+)0>0)的图象向左平移子个单位，得到函效 e=--2m0x*引-2mo竖+ 24 由g(x)为奇函数，则 242 +k,keZ,因为0>0，所以w的最小值是； 9.BC【详解】根据题意，对于选项A,设：=a+bi(a,b∈R),由于日=2，所以a2+b2=4,则复数 z=a+bi不确定，故选项A不正确：对于选项B,设：=a+bi(a,b∈R),由于z2>0,所以 a2-b2+2bi>0,则ab=0,所以a≠0，b=0,则z∈R,故选项B正确；对于选项C,设 ==a+bi(a,b∈R),由于=1，所以a2+b2=1,所以在复平面内复数z对应的点的集合为以原点为圆 心，以1为半径的圆，即单位圆，因为-2表示单位圆上的点与点(2,0)的距离，所以-2的最小值为 2-1=1,最大值为2+1=3，所以1≤F-2≤3，故选项C正确；对于选项D,设：=a+bi(a,b∈R), |zP=a2+b2,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,当b≠0时，z≠z2,例如z=1+i,|z=12+12=2, z2=1+)2=1+2i+i2=2i,2≠2i,所以选项D错误 10,ACD【详解】对于A,在VABC中，cosA=号 ,则si4=2V2 由余弦定理得 3 BC2=22+32-2×2×3× =9,即BC=3.设VABC外接圆的半径R,由正弦定理可得 3 2百千，则R-.A正：对VAC的面发为 2R= 39V2 ×2V2 ×2x3 2 3 =2√5， 3 设VABC内切圆的半径为r,则2V2=)(2+3+3)7,解得，=V ,B错误；对于C,若O为VABC的 2 外心，结合投影向量定义可得BO在C上的投影向量为号BC,C正确对于D,cOs∠ABC=9+4-9=} 2×3×23 若O为VABC垂心，则BO在BC上的投影向量为Bcos∠ABC: BC ×1×BC-二BC,D正确 9 6 11.ABD【详解】对A,存在，当O为AD的中点时，PQ/平面MBN,如图，连 接PQ,AC,由M,N,P分别是AA,CC,CD的中点，所以PQ/AC1/N, D 由PQ￠平面MBN,MNC平面MBN,所以PQI/平面MBN,正确： 对B,如图，连接AB由AB/1PN,而ABOMB=B,MB,PN分别在两个平行 的平面内，所以MN与PB为异面直线，正确： 对C,建立如图所示的空间直角坐标系，所以 D A(2,0,2),D(0,0,2),B(2,2,0),C(0,2,0),N(0,2,1),M(2,0,1), 设点Q(2x,0,2),BR=2BN,则0≤x≤1,0≤1≤1，BR=(-22,0,), D 所以点R的坐标为(2-2元，2,2)，所以0=V2-2-2x2+4+(2-2)2, 所以当x=1-元=0,1=1时，QR取最小值，最小值为√5，C错误： 对D,设经过M,B,C,N四点的球的球心O坐标为(a,b,c), 「OB=OC (a-2)'+(b-2)2+c2=d+(b-2)2+c2 a- 所以{OM=ON→ (a-2)2+b+(c-12=d+(b-2）2+(c-)2→b=1, OB=OM (a-2)2+(b-2)2+c2=(a-2)+b2+(c-1)2 c=2 所以球的半径为OB=, -2y+-2y+- 所以球的表面积为4元 =9元，正确。 12.4√3元【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径r= VG √2，则外接球的半径 2sin60° R-2+(V-V万，所以该三棱柱的外接球的体积为号R=4N5玩 12 26 牛4=3所以sm 0=13 所以cosa=cos n天na-75,cos的值为17万 + 26 26 14.①. V3 【详解】n=1时，由P(cosx)=cosx,可得P(t)=t,n=2时，由 2(cosx)=cos2x=2cos2x-1,可得P2(t)=2r2-1, n=3时，由P,(cosx)=cos3x=cos(2x+x)=cos2 xCOSx-sin2 xsinx =(2cos2x-1)cosx-2(1-cos2x)cosx=4cosx-3cosx, 可得P(t)=4t3-3t, sine sine sine (cos)(co0)(cos)(cos0) sine sine sine (4c0s0-3c0s0l2co90-1(2cos0-1)c0s6+e0s6 sinθ sinθ sin0sin(38-20),sin(20-8), sine cos30cos20 cos20cose cos0 cos30cos20 cos20cos0 cos 0 sin30cos20-cos3θsin20,sin2θcosθ-cos20sin0,sin0 cos30cos20 cos20cos0 cose =tan30-tan2θ+tan20-tanθ+tan0=tan30 =tanπV5 63 B(cosx)=cos4x=2cos22x-1=2(2cosx-1)2-1=8cos'x-8cosx+1,P()=84-82+1. 由f(o)=tan30=2,即sin30 c0s3θ 2,Sn30=2c0s39,结合m30+c0830=1,可得cos30=号 (B.(cos8)+P(cos8)》2_(2cos20-1+8cos6-8cos20+1)3 cos26.P.(cosθ) cos2θ.c0s60 4c0s2θ4cos3日-3c0s0)24(cos38)24c0s236 又+1 5=4 c0s20.(2c0s230-1) 2c0s230-12c0s238-1 2x2-13 15.【小问1详解】由正弦定理化简bcosC+ccosB=2 acosA可得：sinBcosC+sinCcosB=2sin4cos4 由两角和的正弦公式可得sin(B+C)=2 sinAcos4 因为在△ABC中，B+C=元-A,则sin(B+C)=sin(n-A)=sinA,所以sin4=2sin4cosA, 因为A∈(0，，所以2cos4=1,即c04- 2 又因为A∈(0，元)，所以A= 3 8 【小问2详解】已知a=√万，b=2,A=元， ,根据余弦定理代入可得： 列3-2+22x2xEes号化简可将ec-2c-3-0, 解得c=3或c=-1(舍)根据三角形面积公式可得S=】×2×3×sin F=×2x3x33V5 1 32 22 16.【小问1详解】由题图得 -吾号w7-,@经2白店0，为 2632 T Asin 3π+p0,所以写π+p=2m,keZ,解得p=2km-3,keZ. 、3 又因为←受：当=1时，=受又由f0)=5,月Asnp-5.4-2放f(x)=2n2x+写 【小问2详解将)=2m2x+写到 的图像向右平移号个单位，得到y=2如2(-哥引-2如2x- 的图像，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到()=2血4-写的图像 由2m-s4x-s2m+元，k∈Z,得- -≤x≤ 224 m+5π(keZ), 3 224 当k=0时，- x 24 5π：当k=1时， 17π 24 24 24 所以函数g(x)在区 02 上的单调递增区间为 引 11rπ 17.【小问1详解】 证法一：取AC1中点F,连接EF,A,则EF为△ABC中位线， 所UF446又4D则44， 所以EF(IAD从而四边形ADEF为平行四边形， 所以DE//AF 又因为AFC面ACCA,DE不在平面ACCA内，所以DE//面ACCA 证法二：取BC中点F,连接EF,DF,则DF为VABC中位线，所以DF//AC 在三棱柱ABC-ABC,中，CE/CF且CE=CF,所以四边形CCFE为平行四 边形，所以EF/1CC 因为EFI DF=F且EF,DFC平面DEF又AC∩CC=C且AC,CCC平面ACCA 所以平面DEF/平面ACCA1又DEC平面DEF,所以DE//平面ACC,A1 【小问2详解】由题可知A4⊥AB,AB⊥AC,A4∩AC=A.所以AB⊥面AA,CC 因为三棱锥C-ACB即三棱锥B一4CC所以V三枚锥8-49C=3S490AB=4 3 所以AB×AC×A4=8,即AC×A4=4 C 连接AC1,则∠BCA为BC与平面ACCA所成的角O,且BA⊥AC A tan0=4B 2 C4C2+A4 由均值不等式AC2+A42≥2AC·A4=8 所以tan0= .2√2 V4C+4V⑧2（当且仅当4C=A4时等式成立) 故tam0的最大值为？ 18.【小间1详解】因为a+4W5S=(b+c2,则4V3×bcsin A=b+c2-a2+2bc, 2 可得V5sinA= -a+1,则5smA:cos4+1,可得nA-) 2bc (62 X圆为40列：则1君〔则4是，两以4-器 66 3 【小问2详解】由题意可得：AE-2AC,AD=AB, 3 2 由D、M、C三点共线得M=元AC+(1-元)4D=AC+12AB, 2 由B、MB三点共线可得4M=u4正+(1-u)AB=2半AC+1-四)AB, 3 2 1 =1 则 ,解得 1-=1- 可得-a-}4C,可得 4 1 2 u= 4 y= 1,13 所以x+y= 424 【小间3详解】由重心定义得AG=aB+AC),则G近=4M-AG=-A亚 AB+LAC. 12 6 又因为S=号bcmA=5c=9W5,可得be=36, 4 10 b'c?bc bc 1 ≥2 36 1443672 V144×3672722 当且仅当c=2办=6万时，等号成立，即☑5，所以线段GM的最小值为互 19.【小问1详解】因为0P的“完美坐标”为[3,4]，则OP=3,+4e,, 又因为e,e,分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，且夹角为60°， 所以1gFe1,84-同os60-号 2 所以oP=V3g+4e,=V9g+24gg,+16e, +2 V9+24x2+16=V37. 一1 【小问2详解】由(1)知ee2=。 2 所以āb=(xg+e,(x,8+ye2)=5x,g+xy,ge+xy8e,+e =++与+y),即a-6=+⅓+2(y+x) 【小问3详解】因为向量ā，方的“完美坐标”分别为[2sinx,,[2cosx,l], (=a.b-4sin.xcosx+1+(2sinx+2cos)=2sin2x+sinx+cosr 令1=six+cos,则1=sinr+coer=√snx+牙 2=(sinx +cosx)2=sin'x+2sinxcosx+cos'x=1+sin2x, 即sim2x=-1,所以f(x)=2(f-1+t+1=2r+t-1,t∈1，V 已知f(x)≥sm2x恒成立，即m(2+t-1)≥-1对t∈(1，V2恒成立， 因为tV5]时，2r+1-1>0,所以m≥ t2-1 (+1)t-1）--1对t(1,万]恒成立 2r+t-1(2t-1)(t+1)2t-11 令g020端 5-13-5所以m≥35，即实数m的取值范周是 3-5 V2时，22-17 7 7 11