课时测评17　圆的一般方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评17　圆的一般方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 答案：C 解析：方法一：易知D＝4，E＝－6，F＝－3，则－＝－2，－＝3， ＝4，故圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 方法二：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 2．(2024·浙江金华高二联考)下列方程表示圆的是(　　) A．x2＋y2＋xy－1＝0 B．x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C．x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D．2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 答案：D 解析：对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，因为22＋22－4×2＝0，所以该方程不表示圆；对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，因为(－3)2＋12－4×4<0，所以该方程不表示圆；对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，因为22＋－4×>0，所以该方程表示圆．故选D. 3．已知圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，半径为4，则实数m为(　　) A． B．5 C．－5或5 D．－或 答案：C 解析：圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，即2＋y2＝－9＋m2，因为半径为4，所以－9＋m2＝42，解得m＝±5.故选C. 4．(2024·辽宁沈阳高二期末)已知点在圆C：x2＋y2－ax－2y＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．{a或a>4} D．{a或a>4} 答案：C 解析：由题意得解得{a，或a>4}. 故选C. 5．(多选)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则下列结论正确的是(　　) A．D＝2 B．D＝－2 C．E＝－4 D．E＝4 答案：AC 解析：由圆的方程知：圆心C，半径r＝＝；因为圆心在第二象限，所以D>0，E<0；因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＋2＝0；由得或(舍)．故选AC. 6．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为______________． 答案：x2＋(y＋1)2＝1 解析：将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1.因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0，圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1. 7．已知点A，B，C，D四点共圆，则a＝________． 答案：1 解析：设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，又点D在此圆上，所以4＋a2＋12－2a－15＝0，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1. 8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是____________________． 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)，所以即又P点在圆A上，所以x＋y－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 9．(10分)求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1，1)，B(3，－1)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心是. 由题意知，解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 10．(10分)已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长取最大时圆的标准方程． 解：(1)原方程可化为2＋2＝－m2＋3m＋4， 若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4>0，解得－1<m<4， 即实数m的取值范围是. (2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为5π，此时圆的标准方程是2＋2＝. 11．(5分)(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　　) A．圆心在直线y＝－x上 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 D．圆的半径为|a| 答案：ACD 解析：圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2，圆心坐标为(－a，a)，适合方程y＝－x，不适合y＝x，故A正确，B错误；把(0，0)代入，适合圆的方程C正确；又r2＝2a2，r＝|a|，故D正确．故选ACD. 12．(5分)(一题两空)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________________________________________________________________________， 半径是________． 答案：(－2，－4)　5 解析：由题意知a2＝a＋2，则a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，即＋(y＋1)2＝－，不能表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5. 13．(10分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B，C，且＝. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求△ABC的面积的最大值． 解：(1)设A，又B(－1，0)，C，且＝， 所以2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点， 所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0. (2)x2＋y2－6x＋1＝0可化为2＋y2＝8，即圆的半径为2， 所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2. 14．(5分)(新情境)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2＋y2＝2＋2就是一条形状优美的曲线，求此曲线围成的图形的面积为(　　) A．8＋8π B．8＋4π C．16＋8π D．8＋16π 答案：B 解析：由C：x2＋y2＝2|x|＋2可得，当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，表示圆心为(1，1)，半径r＝的半圆；当x≥0，y<0时，x2＋y2＝2x－2y，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆心为(1，－1)，半径r＝的半圆；当x<0，y≥0时，x2＋y2＝－2x＋2y，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2，表示圆心为(－1，1)，半径r＝的半圆；当x<0，y<0时，x2＋y2＝－2x－2y，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆心为(－1，－1)，半径r＝的半圆；所以曲线C：x2＋y2＝2＋2的图象如图所示．因此曲线围成的图形的面积为S＝2＋2π×2＝8＋4π.故选B. 15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：(1)令x＝0得抛物线与y轴交点是(0，b)； 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 由题意b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0. 即实数b的取值范围为{b|b<1，且b≠0}． (2)圆C过定点．证明：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0)． 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，令 解得或故圆C过定点(0，1)和(－2，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $