2.3.3 直线与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

2．3.3　直线与圆的位置关系 [学习目标] 知识层面 1.理解直线与圆的三种位置关系．　2.会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．　3.能解决直线与圆位置关系的综合问题. 素养层面 通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象、逻辑推理核心素养；通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算核心素养. 问题1.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？ 提示：相交、相切与相离． 问题2.在平面直角坐标系中，如何利用直线与圆的方程判定直线与圆的位置关系？ 提示：可以研究直线方程和圆的方程组成的方程组解的个数或者研究圆心到直线的距离与半径的关系． 知识点　直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，判别式为Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图形 学生用书↓第68页 微提醒 1．利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系． 2．利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离． 3．对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，是判断直线与圆位置关系的常用方法．　　 1．若直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 答案：D 解析：当只有一个公共点时，直线l与圆C相切；当有两个公共点时，直线l与圆C相交．故选D. 2．直线2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 答案：A 解析：圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C为(0，1)，半径为.圆心(0，1)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝＜，所以直线和圆相交．故选A. 3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则实数b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 答案：CD 解析：圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝1，由圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为 ＝1，解得b＝2或12.故选CD. 4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：2 解析：由已知得，圆心(0，0)到直线x－2y＋5＝0的距离为d＝＝， 所以|AB|＝2＝2＝2. 题型一　直线与圆的位置关系的判断 (链教材P113例1)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [思路点拨]　思路一：联立直线与圆的方程→整理成关于x(或y)的一元二次方程→判断判别式的符号→得出结论． 思路二：求圆的圆心C，半径r→圆心到直线的距离d→判断d与r的大小关系→得出结论． 解：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ＞0时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ＜0时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2. 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d＜2时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d＞2时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法技巧 判断直线与圆位置关系的三种方法 1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． 2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．　　 对点练1．(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(1，2] C．(0，2) D．(1，2) 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，所以点P(3，0)在圆内．所以过点P的直线l必与圆C相交． (2)由题意得，圆心到直线的距离为d＝>，所以m<2，因为m>0，所以0<m<2. 题型二　求圆的切线方程 (链教材P113例2)经过点P(4，5)，且与圆(x－2)2＋y2＝4相切的直线的方程为________________________________________________________________________． 学生用书↓第69页 [思路点拨] 思路一　判断点与圆的位置关系→设出所求切线的方程→根据圆心到切线的距离等于半径列方程求出参数的值→得出所求切线的方程思路二　设出切线方程和切点联立切线与圆的方程写出切线方程 答案：x＝4或21x－20y＋16＝0 解析：因为(4－2)2＋52＝29>4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外． 方法一：若切线的斜率存在，设切线的方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圆心为(2，0)，半径r＝2，且圆心到切线的距离等于半径，所以＝2，解得k＝，所以直线的方程为21x－20y＋16＝0.若切线的斜率不存在，则切线的方程为x＝4，显然满足题意．综上可知，满足题意的切线的方程为21x－20y＋16＝0或x＝4. 方法二：设所求切线方程为(x0－2)(x－2)＋y0y＝4，其中(x0，y0)是圆上的切点．将点(4，5)代入后，得2(x0－2)＋5y0＝4.由解得或故所求切线方程为x＝4或21x－20y＋16＝0. 方法技巧 求切线方程的常用方法 1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．若k＝0或k不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0. 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 (1)几何法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出． (2)代数法．设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．　　 对点练2．已知圆C：(x－3)2＋y2＝1. (1)过点P(0，1)作直线l与圆C相切，切线长为________，直线l的方程为________________； (2)过点P(2，3)作直线l与圆C相切，则直线l的方程为________________； (3)过直线y＝x＋1上一点P向圆C引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为________． 答案：(1)3　y＝1或3x＋4y－4＝0　(2)4x＋3y－17＝0或x＝2　(3) 解析： (1)如图，设切点为Q，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.而|CP|2＝32＋12＝10，|CQ|＝r＝1，所以|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝10－1＝9，则|PQ|＝3.依题意可设直线l：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.圆心C(3，0)到直线l的距离d＝＝1，整理得4k2＋3k＝0，解得k＝－或k＝0.故直线l的方程为y＝1或3x＋4y－4＝0. (2)当直线l的斜率存在时， 设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， 圆心C(3，0)到直线l的距离为d＝＝1， 化简整理得3k＋4＝0，即k＝－， 这时直线l的方程为4x＋3y－17＝0； 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，易知它与圆(x－3)2＋y2＝1相切． 故直线l的方程为4x＋3y－17＝0或x＝2. (3)方法一：如图，连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°. 设点P(a，a＋1)(a∈R)， 则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时等号成立)． 故|PQ|≥，即|PQ|的最小值为. 方法二：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°. 则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2，|CQ|＝1. 当|PC|取得最小值时|PQ|最小，而点P是直线y＝x＋1的动点，所以当CP垂直于直线y＝x＋1时，|CP|最小， 此时|CP|＝＝＝2， |PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝8－1＝7，|PQ|＝. 故|PQ|的最小值为. 题型三　圆的弦长问题 (链教材P114例3)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． [思路点拨]　方法一：求直线与圆的交点坐标，由距离公式求弦长． 方法二：几何法构造直角三角形求弦长． 解：方法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组 的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二：如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2. 方法技巧 求弦长的两种方法 1．几何法．由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用d2＋＝r2求解，这是常用解法． 2．代数法．联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解．此解法较烦琐，一般不用．　　 对点练3.已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程． 解：(1)方法一：如图所示，过点O作OC⊥AB. 由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1， 所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0. 因为圆心为O(0，0)， 所以|OC|＝＝. 因为r＝2，所以|BC|＝＝， 所以|AB|＝2|BC|＝. 方法二：当α＝135°时，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)， 即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8， 得2x2－2x－7＝0. 所以x1＋x2＝1，x1x2＝－， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝. (2)如图，当弦AB被点P平分时， OP⊥AB， 因为kOP＝－2，所以kAB＝， 所以直线AB的方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 学生用书↓第70页 题型四　直线与圆位置关系的综合应用 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求|DE|的最小值． [思路点拨]　建立适当的平面直角坐标系→求圆与直线的方程→利用直线与圆的位置关系求解 解：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1. 因为点B(8，0)，C(0，8)， 所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y－8＝0. 易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，由图得，当中心O到直线BC的距离减去半径得到|DE|的最小值为－1＝(4－1)(km)． 故|DE|的最小值为(4－1)km. 方法技巧 有关直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 对点练4．(2024·四川绵阳高二期中)如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 解得 所以圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：y＋20＝x＋20，即x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10<10， 故该船有触礁的危险． 易错点　求切线方程时忽略斜率不存在的情况 过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程为________________． [正解]　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25， 所以圆心的坐标为C(1，2)，半径r＝5. 易知点P(6，－8)在圆C的外部， 显然直线x＝6是其中一条切线， 设另一条切线的斜率为k， 学生用书↓第71页 则另一条切线的方程为y＋8＝k(x－6)， 即kx－y－6k－8＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得＝5， 解得k＝－. 所以切线的方程为－x－y－6×－8＝0， 即3x＋4y＋14＝0. 综上可知，切线的方程为x＝6和3x＋4y＋14＝0. 答案：x＝6和3x＋4y＋14＝0. [易错探因]　解本题时容易只考虑斜率存在的情况，忽略斜率不存在的情况，即忽略切线x＝6，从而造成漏解． [误区警示]　过圆外一点作圆的切线有两条，所以如果设出斜率后只求出一值，说明另一条切线的斜率不存在，可以直接求得切线． 学科网（北京）股份有限公司 $