2.3.2 圆的一般方程（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从圆的一般方程定义到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学思维与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|圆的一般方程定义及基本计算|结合期末真题，强化概念理解与基础运算| |B组能力进阶|方程表示圆的条件及几何性质综合|融入充要条件判断，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|轨迹方程及实际应用问题|设置阿波罗尼斯圆等情境，发展模型观念与创新意识|

分层作业 2.3.2　圆的一般方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的一般方程的定义 题型02 求圆的一般方程　 B组 能力进阶 C组 思维拔高   圆的一般方程的定义题型01 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 3．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 【答案】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，即可求出答案. 【详解】将圆的方程转化为标准方程为， 所以圆的半径. 故答案为：. 求圆的一般方程　题型02 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出直线的斜率，根据可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出线段的中点的坐标，求出直线的斜率，根据可求得直线的斜率，再利用斜截式方程可得出直线的方程； （3）设的外接圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）因为，且，故直线的斜率为， 因为经过，所以直线的方程为，即. （2）因为线段的中点，且，， 故直线的斜率为，所以直线的方程为，即. （3）设的外接圆的方程为， 因为，解得， 所以的外接圆方程为. 6．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将点代入方程，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，求得向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将点代入上式， 可得，即， 解得， 所以圆的方程为. （2）由，可得， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】配方得到圆的充要条件即可判断. 【详解】方程配方得， 若方程表示圆，则，解得， 则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件. 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心半径，由题意即可求解. 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 6．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 8．（25-26高二上·山东青岛·期末）圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程的半径公式进行求解即可. 【详解】由， 所以该圆的半径为. 故选：B 1．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程配方化成标准方程即得. 【详解】由配方得， 故圆的圆心坐标为. 故选：A. 2．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 3．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积. 【详解】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称. 所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 4．（25-26高二上·广西河池·期末）已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】首先转化圆C的方程为圆的标准方程，求圆心C的坐标，代入两点间的距离公式即可. 【详解】根据题意，圆C的方程可化为， 所以圆C的圆心为，所以． 故选：C 5．（25-26高二上·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程及性质即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，，，，，且动点满足，设点到直线的距离分别为，，，则的最大值为________，________. 【答案】 【分析】利用点到距离公式的和条件化简得到圆的轨迹方程，再根据圆外一点到圆上点的距离最值性质求出最大值；通过点到直线的距离公式分别列出距离平方，结合圆的轨迹方程代入化简，得到平方和. 【详解】， 三式相加：， 计算得：， 化简得：， ∴轨迹是以原点为圆心、半径的圆， ， 因在圆上，故； 直线：， 直线：，方程：， ， 直线：，方程： ， ， 展开合并分子：， 代入得：， 于是：. 故答案为：①；② 8．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 9．（22-23高二上·四川巴中·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】先由阿波罗尼斯圆的定义求出定点坐标，再由结合三点共线求出最小值即可. 【详解】设，，所以，又，所以. 因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是， 所以，解得，所以，又，所以， 因为，所以的最小值为，当且仅当三点共线时取等. 故答案为：. 10．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 11．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线. (1)若经过圆的圆心，求的方程； (2)若与两坐标轴围成的三角形面积为2，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）确定圆心坐标，代入直线方程求得，即可求解； （2）分别计算直线在两坐标轴上的截距，结合面积公式求得，即可求解. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 其圆心为. 因为经过圆的圆心， 所以，解得， 所以的方程为. （2）由题可知， 由的方程可得，与轴交于点，与轴交于点. 由题意可得， 解得， 所以的方程为或. 12．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.2　圆的一般方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 圆的一般方程的定义 题型02 求圆的一般方程　 B组 能力进阶 C组 思维拔高   圆的一般方程的定义题型01 1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）圆的圆心坐标为_________． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东济南·期末）已知圆，则圆的半径_________． 求圆的一般方程　题型02 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 5．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、. (1)求边的高线的直线方程； (2)求边的垂直平分线的直线方程； (3)求的外接圆方程. 6．（25-26高二上·上海·期末）已知点． (1)求外接圆的一般方程． (2)为坐标原点，求直线与直线夹角的余弦值． 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽亳州·期末）圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东青岛·期末）圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西河池·期末）已知圆C的方程为，圆心为C，坐标原点为O，则为（    ） A．3 B． C． D．4 5．（25-26高二上·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 6．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，，，，，且动点满足，设点到直线的距离分别为，，，则的最大值为________，________. 8．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为______. 9．（22-23高二上·四川巴中·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为_______. 10．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 11．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知直线. (1)若经过圆的圆心，求的方程； (2)若与两坐标轴围成的三角形面积为2，求的方程. 12．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.2圆的一般方程 A组 巩固过关 题型01 圆的一般方程的定义 1. 【答案】(1-2) 2.【答案】C 3. 【答案】1 题型02 求圆的一般方程 4. 【答案】(1)(-1，-1) 2)x2+P2-3x+5 2x+2-1=0 5.【答案】(1)x+y-2=0 (2)x+2y+2=0 3)x2+y2-8x+6y=0 6.【答案】(1)x2+y2-2x-4y-20=0 9V10 (2) 50 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B C B B 1/2 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 题号 2 3 4 5 6 答案 A A B C B 15 7. 2+5 2 8.(x++0--号 9.10 10.(1)3 (2)(x+2)2+(y-1)2=10 e2+0-y- 11.(1)y=0 (2)4x-y+4=0或4x+y+4=0, 12.(1)(x-1)2+(y-1)2=4 (2)最大值与最小值分别为49和9· 212