2.4.2 圆的一般方程（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 题型一：由一般方程求圆心坐标和半径 1．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标为 ． 3．已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知圆，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．圆的圆心到直线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 6．已知圆，则圆心位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：待定系数法求圆的一般方程 1．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 2．过三个点，，的圆的方程为 ． 3．过三点的圆的一般方程为 ． 4．已知点外接圆的方程是 5．已知，求的外接圆的方程． 6．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 题型三：由圆的一般方程求参值（范围） 1．已知圆的面积为，则 ． 2．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 4．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（   ） A． B．3 C． D．2 5．（多选）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 6．平分圆的直线不经过第四象限，则该直线的斜率的取值范围是 ． 7．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 10．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 11．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 12．已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型一：圆过定点问题 1．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 2．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 4．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 5．求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 题型二：求轨迹方程； ① 直接法 1．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 2．已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． ② 相关点法 1．已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 5．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（   ） A． B．曲线经过的整数点个数为4个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 题型一：由一般方程求圆心坐标和半径 1．圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用圆的一般方程的圆心公式. 【详解】使用圆的一般方程的圆心公式，其中 ， 圆心坐标为． 故选：B. 2．圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 3．已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B 4．已知圆，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离. 故选：D 5．圆的圆心到直线的距离为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 所以所求距离为. 故选：D 6．已知圆，则圆心位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】将圆化为标准方程即可判断圆心所在象限. 【详解】将圆化为标准方程可得： ，所以圆心为， 则圆心位于第四象限. 故选：D. 7．曲线围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，结合圆的面积公式，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 曲线围成图形如下图所示：其中每个象限内半圆的半径为， 所以曲线围成图形的面积为：， 故选：D 题型二：待定系数法求圆的一般方程 1．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 2．过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，建立方程组，解之即可求解. 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 3．过三点的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 4．已知点外接圆的方程是 【答案】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 5．已知，求的外接圆的方程． 【答案】 【分析】设出圆的一般式方程，利用待定系数法求出圆的方程. 【详解】外接圆的方程为， 依题意，， 解得，满足， 所以的外接圆方程为． 6．已知圆过三点，点，则圆的一般方程为 ，点在圆 （内/上/外）． 【答案】 外 【分析】设圆的一般方程为，利用待定系数法，即可求得圆的方程，把点带入圆的方程，进而得到点与圆的位置关系. 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 题型三：由圆的一般方程求参值（范围） 1．已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【分析】根据方程可得圆的半径，结合圆的面积运算求解即可. 【详解】因为圆，即， 则，解得或， 可知圆的半径， 由题意可得：，解得． 故答案为：. 2．已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 3．已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】依题意，得直线过圆心，即可求解． 【详解】因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 从而，解得， 则圆的方程为， 故圆的半径为． 故答案为： 4．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可列式计算得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 依题意，，所以. 故选：A 5．已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于方程，再解方程即可得到的取值. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 6．平分圆的直线不经过第四象限，则该直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出圆心坐标，再数形结合可求斜率的范围. 【详解】圆的方程化为标准方程为，则圆心坐标为， 平分圆的直线一定过圆心，所以直线过定点，因为直线不过第四象限， 所以由图可得，即． 故答案为：. 7．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 8．设，若方程表示关于直线对称的圆，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆的充要条件列式，结合圆心在直线上求解即得. 【详解】由方程表示圆，得， 圆的圆心为，又此圆关于直线对称，则，即， 因此，解得或， 所以的取值范围为. 故选：B. 9．若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程，可得，结合圆的一般方程中，代入数据即可求解 【详解】由方程表示一个圆，所以，则，根据圆的一般方程需满足，此处， 代入可得，解得且，所以. 故答案为： 10．若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 11．“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 12．已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 题型一：圆过定点问题 1．当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 2．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 3．对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 4．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为 . 【答案】、 【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标. 【详解】由由得，故，解得或. 故答案为：、. 5．求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 【答案】证明见解析. 【分析】把动圆方程转化为关于实数a的一元一次方程，利用恒等式知识可得定点坐标． 【详解】证明：圆系方程可化为. 设. ∵对（）恒成立， ∴，解得或. 因此，圆系过定点和. 题型二：求轨迹方程； ① 直接法 1．已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 【答案】；以为圆心，半径为2的圆 【分析】先设，再由两点间距离计算列式，最后平方化简可得轨迹方程. 【详解】设，由， 得，化简得， 即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； 2．已知平面直角系中，，，点满足，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理即可得解． 【详解】设，因为，则，整理得. 故选：B． 3．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. ② 相关点法 1．已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解. 【详解】设线段中点的坐标为，且点， 又由，可得，解得， 又由，可得，即， 故选：A 2．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点B和点M的坐标，由中点坐标公式得到两点的坐标关系，用M点的坐标表示B点坐标，再根据点B在圆上，代入B点坐标即可得到结果. 【详解】设，，而， 因为是的中点，所以， 即， 由点在圆上，将点代入圆的方程得到： ，即. 故选：A． 3．已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 4．已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由动点转移法求得点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积． 【详解】设，， 由得是线段中点，∴， 又在圆上，，即， ∴点轨迹是半径为1的圆，面积为， 故选：A． 5．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 1．已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 2．若直线经过圆的圆心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 3．若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的交点，再结合两点距离公式列式应用值域求解范围. 【详解】直线，，设与的交点为P， 联立得出， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 4．已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点为，由圆的几何性质可得出，即可得解. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，圆的圆心为，半径为， 由于为轴上的动点，由对称性知， 所以， 当且仅当、分别为线段与圆、轴的交点时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 5．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（   ） A． B．曲线经过的整数点个数为4个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，将已知点代入方程，可得正误；对于B，利用赋值法，由一元二次方程，可得正误；对于C，由一元二次方程根的存在性判别，可得正误；对于D，由基本不等式，结合圆的面积，可得正误. 【详解】对于A，将与代入方程，可得，故A正确； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或或；同理可得当时，或或； 当，，时，，即， 由 ，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则 ，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：ACD. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $