3.2 探索三角形相似的条件 课时练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，覆盖三角形相似判定定理及性质应用，梯度合理，助力新授课知识从单一到综合的进阶巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相似判定（AA/SAS/SSS）|单选1-6直接考查基本定理，填空13开放添加条件，培养推理意识| |中档|多条件判定与性质应用|单选7-9结合网格/平行四边形，填空15动态相似分类讨论，发展几何直观| |提高|综合探究与跨知识整合|解答20-22结合菱形/正方形，融入动态问题与全等转化，提升模型意识|

3.2 探索三角形相似的条件 课时练习 一、单选题 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，F是BA延长线上一点，FD⊥BC于D，交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 2．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， 和6，8， ，且这两个直角三角形不相似，则 的值为（　　） A． 或 B．15 C． D． 3．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（　　） A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D． 4．如图所示， 、 相交于点O，连接 ， ，添加下列一个条件后，仍不能判定 的是（　　） A． B． C． D． 5．如图1，图2，根据图中所标注的数据，能够推得三角形①与②相似的是（　　） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC～△AED的是（　　） A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C． D． 7．如图， 在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与 相似的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在 中，点D、E分别在边 、 上，下列条件中能判断 的是（　　） ① ；② ；③ ；④ . A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 9．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 10．如图，在 中， ， ， ，垂足为点 ，过点 作射线 ，点 是边 上任意一点，连接 并延长与射线 相交于点 ，设 ， 两点之间的距离为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（　　） ① ； ②当 时， ； ③当 时，四边形 是平行四边形； ④当 或 时，都有 ； ⑤当 时， 与 一定相似． A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 二、填空题 11．如图， ， ，则图中相似三角形有　 　对. 12．如图，在正方形网格中有3个斜三角形：① ；② ；③ ；其中能与 相似的是　 　．（ 除外） 13．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件　 　，使得△ADE与△ABC相似. 14．在 中， ，点P为 中点，经过点P的直线截 ，使截得的三角形与 相似，这样的直线共有　 　条. 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似． 16．如图，在 与 中， ，要使 与 相似，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需填一个条件） 三、解答题 17．如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E， （1）求证： ABD∽ DAF； （2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长. 18．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H． （1）求证： BEC∽ BCH； （2）如果BC＝3，BE＝2，求BH的长． 19．如图，在 中点D，E，F分别在 ， ， 边上， ， . （1）求证： ； （2）若 ， 的面积是20，求 的面积. 20．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF． （1）求证：△ADE∽△ACD； （2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC． 21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若 ＝ ，求 的值． 22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，MN与边AD交于点E． （1）求证；AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ED⊥BC， ∴∠CDE＝∠BDF＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠CDE，∠EAF＝90°， ∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠B＝∠B， ∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC， ∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽△DBF， 故共有6对相似三角形. 故答案为：A. 【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则 ， 若m是斜边，则 ； 在第二个直接三角形中，若n是直角边，则 ， 若n是斜边，则 ； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取， 即当m=5， ， ， 当 ，n=10， ， 故答案为：A． 【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断． 3．【答案】D 【解析】【解答】∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意； B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意； C、添加 可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加 不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据∠1＝∠2可得∠DAE＝∠BAC，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或夹∠AOC与∠BOD的边对应边成比例即可， 所以题中选项A、B、C均符合题意， 而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似. 故答案为：D. 【分析】由图可得∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其已知等角的邻边成比例，据此逐一分析即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：图1中，根据条件只能得到对应边成比例，但是缺少夹角相等的条件，不能得到三角形相似， 图2中，根据三角形内角和定理，三角形①未知的角是 ，再根据一组对顶角相等，可以得到这两个三角形有两组对应角相等，则两个三角形相似. 故答案为：D. 【分析】根据相似三角形的判定定理判断选项的正确性. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵∠AED＝∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△AED；故A不符合题意； B、∵∠ADE＝∠C，∠A=∠A， ∴△ABC∽△AED；故B不符合题意； C、，∠A=∠A， ∴△ABC∽△AED；故C不符合题意； D、，∠A=∠A，不能证明△ABC∽△AED，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】图形中隐含条件为：∠A=∠A，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断. 7．【答案】C 【解析】【解答】 的三边长分别为： ，三边的比为 ， A中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似； B中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似； C中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 相似； D中三角形的三边长分别为 ，三边的比为 不相似； 故答案为：C. 【分析】分别利用勾股定理求出△ABC和个选项中的三角形的三边长，再求出三边之比，然后根据三边对应成比例的两三角形相似，可得到与△ABC相似的三角形的选项. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠A＝∠A， ∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED. ∵ ， ∴ ∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AED， 故①②③可以判断， ∵ ，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ADE，与所求对应关系不一致，故④不能判断； 故答案为：B. 【分析】图形中的隐含条件为∠A=∠A，因此添加∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，可得△ABC∽△AED，可对①②作出判断；再利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对③④作出判断，由此可得答案. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵AD∥BC， ∴△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB， ∵AB∥CD， ∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB． ∴共有5对， 故答案为：C． 【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵AB＝BC＝10，AC＝12，BO⊥AC， ∴AO＝CO，AB＝BC，BO＝BO， ∴△AOB≌△COB； 故此选项符合题意； ②∵AE∥BC， ∴∠AQO＝∠OCP， ∵AO＝CO，∠AOQ＝∠POC， ∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP； 故此选项符合题意； ③当x＝5时， ∴BP＝PC＝5， ∵AQ＝PC， ∴AQ＝PB＝5， ∵AQ∥BC， ∴四边形ABPQ是平行四边形； 故此选项符合题意； ④当x＝0时，P与B重合， ∴∠OBC＝∠QPR， 又∵∠BOC＝∠PRQ＝90°， ∴△BCO∽△PQR； 当x＝10时，P与C重合，此时Q与A重合， ∵∠QPR＝∠BPO，∠QRP＝∠BOC＝90°， ∴△QRP∽△BOC， 当x＝0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项不符合题意； ⑤若△PQR与△CBO一定相似， 则∠QPR＝∠BCO， 故OP＝OC＝6， 过点O作OH⊥BC于H， 由射影定理得CO2＝CH•CB， 可求得CH＝ CP＝3.6， 故CP＝7.2，所以BP＝x＝2.8 故当 时，△PQR与△CBO一定相似． 故此选项符合题意． 故正确的有4条． 故答案为：C． 【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案． 11．【答案】3 【解析】【解答】∵ ， ， ∴可直接得出 ， ， 由 ， ，可得： ， ， ∴ ，共有3对相似三角形， 故答案为：3. 【分析】根据相似三角形的判定定理分析即可. 12．【答案】③（ ） 【解析】【解答】解：根据网格可知：AB=1，AC= ，BC= ，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1： ： ， 同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1： ：2 ； ③△DEB中DE：BD：BE＝2：2 ： ＝1： ： ． ∴③（△DEB）与△ABC相似， 故答案为：③△DEB． 【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 13．【答案】 或 或 （答案不唯一） 【解析】【解答】解：当∠B=∠ADE时 ∵∠A=∠A ∴ △ADE∽△ABC ； 当∠C=∠AED时 ∵∠A=∠A ∴ △ADE∽△ABC ； 当 时 ∵∠A=∠A ∴ △ADE∽△ABC ； 故答案为：∠B=∠ADE或∠C=∠AED或. 【分析】观察图形，可知图中隐含条件为∠A=∠A，再根据有两组对应角相等的两三角形相似和有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得答案。 14．【答案】3 【解析】【解答】解： 过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB. 过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB. 过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA. 故满足条件的直线有3条， 故答案为：3. 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P分别作PE∥AB，作PF∥BC，作PG⊥AB即得结论. 15．【答案】4.8或 【解析】【解答】①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA， 所以 ＝ ， 即 ＝ ， 解得t＝4.8； ②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB， 所以 ＝ ， 即 ＝ ， 解得t＝ . 综上所述，当t＝4.8或 时，△CPQ与△CBA相似． 【分析】分两种情况①△CPQ∽△CBA，②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形的性质分别解答即可. 16．【答案】∠B=∠E 【解析】【解答】添加条件：∠B=∠E； ∵ ，∠B=∠E， ∴△ABC∽△AED， 故答案为：∠B=∠E（答案不唯一）． 【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得添加条件：∠B=∠E． 17．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中， ∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°， ∴∠ADB＋∠ABD＝90°， ∵AF⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADB＋∠DAF＝90°， ∴∠ABD＝∠DAF， 又∵∠BAD＝∠ADF， ∴ ABD∽ DAF （2）解：∵在矩形ABCD中， ∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC， ∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG， ∴CG＝2AD， ∵AD//BC， ∴ ADF∽ GCF， ∴ ， 又∵CD＝8， ∴CF＝ ，DF＝ ， ∵ ABD∽ DAF， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴BG＝3AD＝ ， 在Rt ABG中， ， ∴AG的长为16. 【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长. 18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB ∵DF＝BE， ∴△CDF≌△CBE（SAS） ∴∠DCF＝∠BCE． ∵CD∥AB， ∴∠H＝∠DCF． ∴∠BCE＝∠H ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH （2）解： ∵△BEC∽△BCH， ∴ ＝ ∴BC 2＝BE•BH． ∵BC＝3，BE＝2， ∴BH＝ ． 【解析】【分析】（1）本题的关键是证出∠BCE＝∠H，利用“SAS”证出全等再得到角相等，再证相似；（2）由（1）利用相似三角形的性质：对应边成比例，列出等式求解即可。 19．【答案】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）解：∵ ， ∴ ＝ ， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ， ∴S△ABC＝ S△EFC＝ ×20＝45. 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，进而可得结论； （2）由已知条件可得 ＝ ，易证△EFC∽△BAC，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可. 20．【答案】（1）解：∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠F， ∵AE•CE＝DE•EF， ∴ ， 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴∠F＝∠C， ∴∠ADF＝∠C， 又∵∠DAE＝∠CAD， ∴△ADE∽△ACD． （2）解：∵AE•BD＝EF•AF， ∴ ， ∵AD＝AF， ∴ ， ∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△AEF∽△ADB， ∴∠F＝∠B， ∴∠C＝∠B， ∴AB＝AC． 【解析】【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝∠C，即可解决问题；（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可. 21．【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴∠ADF＝∠C， 又∵ ， ∴△ADF∽△ACG （2）解：∵△ADF∽△ACG， ∴ ， ∵ ＝ ， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证出△AED∽△ABC，从而得出∠ADF＝∠C，再根据相似三角形的判定定理即可证出结论；（2）根据（1）中相似可得 ，结合已知条件即可求出 ，从而求出结论． 22．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是正方形， ， ，又 ， ， 在 和 中， ， ≌ ， ； （2）解：四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ，又 ， ∽ ， ， ， ． 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明 ≌ ，根据全等三角形的性质证明；(2)证明 ∽ ，根据相似三角形的性质证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $