22.4 相似三角形的性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦“相似三角形的性质”，系统梳理对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比平方等核心知识点。通过回顾相似三角形定义、判定方法等旧知导入，搭建学习支架，衔接新知探索。 其亮点在于以问题链引导探究，如从对应高类比到中线、角平分线的关系，培养推理能力（数学思维），结合矩形零件加工等实际例题体现模型意识（数学语言）。帮助学生发展探究与应用能力，为教师提供系统教学流程和分层练习资源。

第22章 相似形 22.4 相似三角形的性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 2.掌握相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方及其在实际中的应用. 3.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. 利用相似三角形的性质定理解决简单的实际问题. 回顾复习 1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？ 对应边成比例，对应角相等的两个三角形叫相似三角形，对应边的比也叫相似比. 2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？ 全等三角形是相似三角形，其相似比为1. 3.相似三角形的判定方法有哪些？ 共5种；定义法，预备定理，判定定义1，判定定理2，判定定理3. 探索新知 知识点1 相似三角形性质定理1 问题1 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高的比各是多少？ 如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D' ． 则∠ADB＝∠A'D'B'＝90°. ∴△ABD ∽△A'B'D' . ∴ ＝ ＝k. 结论：相似三角形对应高的比等于相似比． 思考:把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 问题2 图中△ABC和△A′B′C′相似，AD，A′D′分别为对应边上的中线，BE，B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知：如图，两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′. 又BE，B′E′分别为对应角的平方线. ∴ ∠ABE＝∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. ∴ . 结论：相似三角形对应的角平分线的比也等于相似比． 已知：两个三角形相似比为k，即 . 求证： . 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠ABC＝∠A′B′C′， . 又AD，A′D′分别为对应边的中线， ∴ . ∴ △ABD∽△A′B′D′.∴ . 结论：相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 小结1 相似三角形性质定理1： 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 知识点2 相似三角形性质定理2和定理3 问题3 图中①②③分别是边长为1，2，3的等边三角形,它们都相似吗？ 都相似 ①与②的相似比＝______，①与②的周长比＝______; ①与③的相似比＝______，①与③的周长比＝______. 结论： 相似三角形的周长比等于相似比． ① 1 ② 2 ③ 3 1:2 1:2 1:3 1:3 思考：怎么证明这一结论呢？ 求证：相似三角形的周长比等于相似比. 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， 小结2 相似三角形性质定理2： 相似三角形周长的比等于相似比. 知识点2 相似三角形性质定理2和定理3 问题4 图中①②③分别是边长为1,2,3的等边三角形，回答以下问题： ①与②的相似比＝______，①与②的面积比＝______; ①与③的相似比＝______，①与③的面积比＝______. 结论： 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 1 : 2 1 : 4 1 : 3 1 : 9 思考：怎么证明这一结论呢？ 求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k , 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴ , ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ ,∴ . ∴ ＝ ＝ · ＝k·k＝k2 . 小结3 相似三角形性质定理3 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 例题示范 例1 如图，一块三角形铁皮，它的边BC=80 cm，高AD=60 cm.要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2∶1，且矩形长的一边位于边BC上，另两个顶点分别在AB，AC上.求这个矩形零件的边长. 解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E. 设PS=x cm，则PQ=2x cm. ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC. 即. 解方程，得x=24，2x=48. 答：这个矩形零件的边长分别是48 cm和24 cm. 例2 如图，△ABC的面积为25，直线 DE//BC，如果△ADE的面积为9，求 的值. 解: ∵ DE//BC， ∴ △ADE∽△ABC. A B C D E 随堂练习 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________． 2．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为________． 3．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩短到原来的______． 2 : 1 8，3 1．已知△ABC∽△DEF，BG,EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm．求EH的长． 解：∵△ABC∽△DEF， ∴ , ∴ , 解得EH＝3.2 cm. 答：EH的长为3.2 cm. 拓展提升 2．若△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长. 解：∵△ABC∽△A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， ∴ , ∵AB＝15 cm，B′C′＝24 cm， ∴BC＝20 cm， AC＝25 cm， A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm. 3．如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 解：∵∠BAC＝∠DAE，且 , ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100-36＝64 cm2. 归纳小结 定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 定理2 定理3 相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 绿卡图书—走向成功的通行证 $