第22章 相似形（复习课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了相似形的比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过知识图谱将比例性质、平行线分线段成比例、相似判定及性质等内容串联，构建从概念到应用的完整知识网络。 其亮点在于聚焦几何模型识别与推理，如总结双垂直、一线三等角等隐蔽模型培养推理意识，针对训练分基础达标与能力提升题，易错复盘强调面积比与相似比关系等易错点。这种设计帮助学生深化理解，教师可精准突破重难点，提升复习效率。

第22章 相似形 复习课件 沪科版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 比例线段的基本性质及合比/等比性质，能熟练进行比例式的变形。 黄金分割的定义，熟记黄金比 ≈0.618。 理解相似多边形的定义。 理解位似图形的定义及位似比 02 工具掌握 熟练运用AA、SAS、SSS、HL判定三角形相似，能根据题目条件快速选择最优判定法。掌握相似三角形对应高/中线/角平分线比 = 相似比 k；周长比 = k；面积比=k2。 深化理解 “相似比”与“面积比”的维度差，能逆向从面积比开平方求相似比，或从相似比平方求面积比。理解“对应”的极端重要性——图形位置可变化，但字母顺序必须严丝合缝 思想与应用 类比思想：将“全等（等量）”类比迁移到“相似（比例）” 转化思想：将复杂的几何图形通过辅助线转化为基本模型。分类讨论思想：在动点存在性问题中，主动按顶点对应关系分类，不重不漏。数学建模思想：利用相似三角形的性质解决实际测量问题 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.面积比的“逆向开方”：已知面积比求相似比时，学生极易忘记开平方，导致结果直接平方或保持不变。 2.隐蔽几何模型的识别与构造：尤其是双垂直（射影定理）与一线三等角（K字型），学生难以主动构造辅助线。 3.动点相似的存在性（多解）：不习惯按“对应顶点列表”分类讨论，漏解或代入无效。 1.平行线分线段成比例定理（A字型、X字型）及其推论的灵活应用。 2.相似三角形的判定：特别是AA（两角对应相等）和SAS（两边成比例且夹角相等）。 3.相似三角形的性质：周长比、面积比与相似比的换算。 4.位似作图及原点为中心的坐标变换。 4 知识图谱 5 (1)在四条线段中，如果其中两条线段的比 ⁠另外两条线段的比，即 =，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段 (2)如果a∶b=b∶c或=或 ，那么b叫做a和c的比例中项 考点串讲 ——1：比例线段及性质 1. 比例线段 等于 b2=ac 6 性质1(基本性质)如果=，那么 =bc(b，d≠0)(反之也成立) 考点串讲 ——1：比例线段及性质 2. 比例的性质 ad ​ ​ 性质3(等比性质) 如果==…=，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么 =_____ __- 性质2(合比性质)如果=，那么 =________ (b，d≠0) 7 考点串讲 ——1：比例线段及性质 如图，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，那么就说线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，AP与AB的比叫做黄金比，即=≈0.618，≈0.382 3. 黄金分割 4. 平行线分线段成比例 （1)基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图①，当l3∥l4∥l5时，有=，=等 8 考点串讲 ——1：比例线段及性质 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应 线段成比例. 如图②，当DE∥BC时，有=____，=_____ 等； 如图③，当DE∥BC时，有==______ 　​　 ​ ​ ​ 9 性质：（1）相似多边形的对应角 ，对应边 ⁠； （2）相似多边形的对应边的比、周长比等于 ，面积比等于 ⁠ ⁠ 考点串讲 ——2：相似多边形及其性质 相等 成比例 相似比 相似比的平方 概念：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角 ，对应边 ⁠ ⁠，则这两个多边形叫做相似多边形 相等 成比例 10 1.相似三角形的对应角 ，对应边 ； 2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ⁠； 3.相似三角形周长之比等于 ，面积之比等于 ⁠⁠ 考点串讲 ——3：相似三角形的性质 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 11 考点串讲 ——4：相似三角形判定方法 1.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的 三角形与原三角形相似； 2.两角分别相等的两个三角形相似； 3.两边对应成比例且 ⁠相等的两个三角形相似； 4.三边对应成比例的两个三角形相似 夹角 5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(运用前需证明) 12 考点串讲 ——5：图形的位似 定义：如图①，②，两个多边形的顶点A与A′、B与B′、C与C′…的连线都经过 同一点O，并且===…=k，像这样的两个多边形叫做位似多边 形，点O叫做位似中心 图① 图② 13 考点串讲 ——6：图形的位似的性质 1.位似图形是相似图形，具有相似图形的性质 2.位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3.位似图形中的对应边平行(或在一条直线上) 14 题型全解 题型01 比例线段及性质 例已知 = ，求 的值 【解析】由 = ，得 ∴ = +3=7， ∴ =4 15 题型全解 题型01 比例线段及性质 方法总结 方法 1：直接拆项法 ①技巧核心：将分子上的多项式拆分成几个单项式的和，分别除以分母。 ②优势：可以直接通过等式变形，将题目要求的 作为一个整体推导出来，无需算出 a 和 b的具体数值。 方法 2：交叉相乘与代入消元法 ①技巧核心：如果不习惯拆项，可以直接将原方程对角相乘即可直接得出。 ②思路更常规，适合基础稍薄弱的学生，计算步骤非常直观。 题型全解 题型02相似三角形的性质 【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶1，∴AB∶A′B′=3∶1， 确，不符合题意；B选项错误，符合题意；∴周长之 比为3∶1，面积之比为9∶1，∴C，D选项均正确，不符合题意. 例已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶1，则下列结论错误的是 (　B　) B A. AB是A′B′的3倍 B. ∠A是∠A′的3倍 C. 周长之比为3∶1 D.面积之比为9∶1 17 题型全解 题型02相似三角形的性质 方法总结 方法1基础性质判定 ①边的关系：对应边成比例，比值为相似比 k。（对应选项A）角的关系（相等）：对应角相等，绝对不成比例。（这是最常见的陷阱，对应选项B） ②如果题目中给出的是面积之比为 (9:4)，让你求周长比。你首先要开平方根求出相似比(k=)，然后再得出周长比为 (3:2)。千万不能直接用面积比当周长比。 方法2审题要准 ①题目问的是“正确”的选项，还是“错误”的选项？本题问的是“错误的是”，如果没看清可能会错选成 A/C/D。 ②区分“长度”与“角度”：在图形变换中，边是按比例放缩的，但角度是保持不变的。永远记住，角度不能像边长一样进行乘法放大。 题型全解 题型03 相似三角形的判定 例如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别 交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定 △MAE∽△DCN，则这个条件是(　D　) D A. ∠B＋∠4=180°B. CD∥AB C. ∠1=∠4 D. ∠2=∠3 19 题型全解 题型03 相似三角形的判定 【解析】∵∠B＋∠4=180°，∴CD∥BM，∴∠CDN=∠AME， ∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND，∴△MAE∽△DCN，故A选项不符合题 意；∵CD∥AB，∴∠CDN=∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND， ∴△MAE∽△DCN，故B选项不符合题意；∵AE∥BC，∴∠1＋ ∠B=180°，∵∠1=∠4，∴∠B＋∠4=180°，∴CD∥BM， ∴∠CDN=∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM=∠CND， ∴△MAE∽△DCN，故C选项不符合题意； 根据∠2=∠3结合已知条件不 能证明△MAE∽△DCN，故D选项符合题意. 20 题型全解 题型03 相似三角形的判定 方法总结 方法1破局点 ①技巧： 不要急着看选项。先在已知条件中寻找明显的平行线，利用平行线性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）先找出必然相等的角 ② 已知一对角相等后，要证明相似，你只需要再找另一对角。观察图形，看是哪些直线平行能产生这“另一对角” 方法2排除法 ①几何选择压轴题中，“殊途同归”是常见现象。如果 A、B 都能直接推出同一个最终结果那么这三个选项中通常最后一个“不相关”的选项才是答案。 ② A 推出 AB∥CD，B 直接给 AB∥CD，C 通过角度互补也能推出 AB∥CD。三个选项指向同一个关键结论，说明它们都是正确的，那么答案自然落在无法产生这个关系的 D 选项上。 题型全解 题型04 位似 例 如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心， 其中OD＝2OA，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是 ⁠. 【解析】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴ ＝ ＝ ，∴△ABC与△DEF的周长比为∶2. ∵△ABC的周长为10， ∴△DEF的周长是20. 20　 22 题型全解 题型04 位似 方法总结 方法1 ①位似图形的本质是特殊的相似。因此，位似图形完全具备相似图形的一切性质 ②平行线间构成的“A字型”相似模型（如本题中的 △OAB 和 △ODE） 方法2 ①关注位似中心到对应顶点的线段长（即 OA 和 OD 这种距离），利用平行线模型，立刻推出对应边长的相似比。 ②将相似比直接应用于周长（k 倍关系）或面积（k2倍关系） 题型全解 题型05 相似三角形-A字型 例如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上， ∠DBC=∠A. 若AC=4，cos A=，则BD的长度为(　C　) 【解析】∵在Rt△ABC中，AC=4，cos A==，∴AB=5， ∴BC===3，∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△DBC∽△BAC，∴=，即=，∴BD=×5=. C A. B. C. D. 4 24 题型全解 题型06 相似三角形-双垂直 方法总结 方法1通过三角形基础属性先算“缺的边” ①当题目条件（如本题的 AC=4,(cosA=)）不足以直接算出未知线段 (BD) 时，先利用三角函数和勾股定理，把能计算出的直角三角形的第三条边（本题中的 (BC)）先求出来。这通常是解题的“桥梁”。 ②仔细观察图形中的两个三角形，如果它们共用一个角，再根据平行线或已知条件找到另一个相等的角，或者这两条相交于同一点的直角边成比例，就可以立刻判定它们相似。 方法2看清“对应关系”列比例式 ①确认相似后，千万不要把边的对应关系弄错！△DBC 的 (BC) 边对应(△BAC)的 (AC) 边。 ②列比例式时应保持一致：小三角形的一边 / 大三角形的对应边。 题型全解 题型06 相似三角形-双垂直 例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB 上的高，BC=10，BD=6，则AD的长为 ⁠. 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高， ∴CD===8，∵∠BCD＋∠ACD=90°，∠B＋∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠B，又∵∠BCA=∠CDB=90°，∴△BCD∽△BAC，∴=， ∴BC2=BD∙BA，∴AB=，∴AD=AB－BD=－6=. ​ 26 题型全解 题型05 相似三角形-A字型 方法总结 方法1三个平方公式 ①直角边平方等于相邻线段乘斜边：AC2=AD⋅AB 和(BC2=BD⋅AB)(本题用的就是这条) ②高线平方等于两段乘积：CD2=AD⋅BD 方法2找已知，套公式 ①看到题目给了直角边和同侧的斜边片段（如给了 (BC) 和 (BD)）， ②直接套用(BC2=BD⋅AB)算出整个斜边，最快最省时。如果非要花时间去算 (CD) 长，其实走了弯路 题型全解 题型07 相似三角形- 一线三等角 例 如图1，点A，B在直线l上，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为A，B，点P在线段AB上，且PC⊥PD，垂足为P.求证：AC·BD＝AP·BP. 【解析】证明：∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠CAP＝∠PBD＝90°， ∴∠C＋∠APC＝90°.∵PC⊥PD，∴∠CPD＝90°， ∴∠APC＋∠BPD＝90°，∴∠C＝∠BPD， ∴△APC∽△BDP，∴＝， ∴AC·BD＝AP·BP. 28 题型全解 题型07 相似三角形- 一线三等角 方法总结 方法1核心模型 ①在同一条直线上，排列着三个直角。本题中，点 (A) 处一个直角((∠A))，点 (B) 处一个直角((∠B))，以及中间的公共顶点 (P) 处还有一个直角((∠CPD))。 ②只要是这种图形，无论 (P) 点在线段中间如何移动，(△APC)和(△BPD)永远相似 方法2万能解题 ①“同角的余角相等”是黄金突破口。看到图中 (A, P, B) 三点共线，且中间有垂直交叉的线段，一定要立刻反应出：(∠C)和(∠BPD) 分别是(∠APC)的余角。 ②遇到“乘积式”立刻转化为“比例式”。题目最终要求证明(AC⋅BD=AP⋅BP)，不要直接盯着乘积看。凡是证明线段乘积相等，第一反应是将其变形为比例式，然后去图形中寻找这两个比例所对应的两个相似三角形 题型全解 题型08 相似三角形- 手拉手 例 如图①，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，连接BC，DE. (1)求证：△ABC∽△ADE； （2）若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； 【解析】(1)证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD∽△ACE， ∴ ＝ . 又∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； 30 题型全解 题型08 相似三角形- 手拉手 例 如图①，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，连接BC，DE. (1)求证：△ABC∽△ADE； （2）若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由； 【解析】解：△ADE是等腰三角形.理由如下： 由(1)知， ＝ ， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形； 31 题型全解 题型08 相似三角形- 手拉手 方法总结 分类 1手拉手相似模型 ①有两个顶点重合的三角形（本题中(△ABD)和(△ACE) 共享顶点 (A)），并且它们有一组或两组对应角相等。 ②题目通常会给出两个“小三角形”相似（△ABD∼△ACE），让你去证明两个“大三角形”（△ABC∼△ADE）相似，或者反之 分类 2解题通法 ①第一步：找条件。结合已知条件和图形，找出两个“小三角形”相似的条件（往往是 AA 或 SAS）。第二步：写比例。写出相似后的对应边比例式。第三步：证等角。利用“共顶点”带来的角度叠加（∠BAD=∠CAE⟹∠BAC=∠DAE），证明大三角形的夹角相等。第四步：定相似。利用SAS（边角边）判定大三角形相似。 ②如果(△ABD∼△ACE)，则必定可以推出△ABC∼△ADE。 针对训练 1. 如图，已知△ABC的角度和边长，则下列选项中的图形不一定与其相 似的是(　C　) C 2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有 (　C　) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 C 针对训练 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交 AB于点G，若EF=EG，则CD的长为(　B　) A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 B 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，连接DE交BC的延长线 于点F，已知∠A=∠F，CE=2DE，BF=8，AB=6，则AD的长为(　C　) A. 2 B. C. 2.8 D. 3 C 针对训练 5. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上 的点，DE∥BC，且 ＝ .则 ＝ 　 　. 　 6. 如图，在平行四边形ABCD中，O是CD边上一点，连接 AO并延长，与BC的延长线交于点E，若CO＝2OD，AD＝2，则BE的 长为 ⁠. 6　 针对训练 7. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，满足∠BAE＝∠ACB. 过点F作FG∥BC交CD于点G. (1)求证：AF＝AD； (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵∠BAE＝∠ACB，∠AFD＝ ∠BAE＋∠ABD，∠ADB＝∠CBD＋∠ACB， ∴∠AFD＝∠ADB，∴AF＝AD； 针对训练 (2)求证：△DFG∽△FBA； (2)证明：∵FG∥BC， ∴∠CBD＝∠DFG，∠FGA＝∠ACB， 由题知，∠ABD＝∠CBD，∠BAE＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠DFG，∠BAE＝∠FGD， ∴△DFG∽△FBA； 针对训练 (3)若BE＝2EF，求 的值. (3)解：∵∠BFE＝∠AFD＝∠ADF，∠ABD＝∠EBD， ∴△BEF∽△BAD，∴ ＝ ＝ . 由(1)可得AD＝AF， ∴ ＝ . 由(2)知△DFG∽△FBA， ∴ ＝ ＝ . 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.相似比 (k)：对应边的比值。 2.周长与面积规律：周长比=相似比 k，面积比=相似比的平方k2。 3.角度规律：相似三角形对应角相等（角度绝不能按比例放大缩小）。 4.位似图形：是特殊且位置固定的相似，对应顶点的连线交于位似中心；位似比 = 对应边上的点到位似中心的距离比。 ·核心概念 1.AA （两角相等）：最常用抓“同角的余角相等”、“同角的补角相等”、隐藏平行线。SAS （两边成比例且夹角相等）：注意必须是夹角（两边夹的那个角，不能是任意角）。SSS （三边成比例）：一般用于已知边长的计算题，用比例式检验。 2.预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形相似。 3.直角三角形：HL（斜边与一条直角边成比例），本质是特殊的SSS。 ·答题注意事项 1.“小对大，前对后，边对角”。写比例式前，先在草稿上标出两个三角形的对应顶点。 2.面积比一定要先求相似比，然后平方 3.位似比给出 (k)，不仅有原图形，还有在中心两侧成中心对称的另一个图形。 4.有些选择题把正确选项设置得很明显，但题目其实是问“下列结论错误的是”。做选择题务必圈出“正/误”以防掉坑。 39 沪科版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 =7 + $