22.2 第2课时 比例的性质与黄金分割比-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦比例的基本性质、合比性质、等比性质及黄金分割，通过回顾等式基本性质导入，以“思考”问题引导探究，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养推理意识，如通过“思考1”推导比例基本性质；结合例3线段计算黄金比体现模型意识；归纳小结系统梳理性质，助力学生构建知识结构，提升数学思维，也为教师提供清晰教学脉络。

第22章 相似形 22.1 比例线段 第2课时 比例的性质与黄金分割 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质. 2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题. 3.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比，能对黄金分割进行简单运用. 比例的基本性质、合比性质和等比性质;黄金分割的定义及应用. 比例的性质进行简单的比例变形，并能解决有关问题. 回顾复习 等式的基本性质: 等式的基本性质1 如果a=b,那么ac=bc. 等式的基本性质2 如果a=b,那么ac=bc或(c≠0). 等式的基本性质3（对称性） 如果a=b,那么b=a. 等式的基本性质4（传递性） 如果a=b,b=c,那么a=c. 探索新知 知识点1：比例的基本性质 思考1:如果四个数a,b,c,d成比例，即，那么ad=bc成立吗？ 根据等式的基本性质1， 在等式两边同时乘以bd，得ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果，那么ad=bc. 想一想：如果ad=bc,那么还成立吗？ 在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0. 由此可得比例的基本性质： 如果ad=bc(b,d ≠0),那么. 思考2：还有别的性质吗？ 如果，在等式两边同时加上1，得, 由此可得比例的合比性质： 如果，那么. 知识点2：比例的合比性质 例题示范 例1 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，. 求证：(1); (2). 证明: (1)∵，∴. ∴. (2)∵， ∴， ∴=. ∴=， ∴=. 知识点3 等比性质 如果 ，且 ，那么 . 证明： ，则 . 设k法，用k作为“桥梁”将问题转化.当有等比形式时常用此方法. , , . 例题示范 例2 已知 ，且 . 求：(1) ; (2) . 解： ; ; ; . . 例题示范 例3 如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上一点，且AB : AP = AP : PB，求线段AB的长和的值. A P B 解:设AP=x，那么PB=a-x.根据题意，得 a:x=x:(a-x), 整理，得x2+ax-a2=0. 解方程，得x=. 因为线段长不能是负值，所以取 , 即 . 于是 知识点4 黄金分割比 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. A B C 随堂练习 1.若 ，则 (3b-2d+f≠0)的值为 (   ) 2 B.1.5 C. 1 D. 0.5 2. 已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是 (   ) A. 如果 ，那么线段AB被点C黄金分割. B. 如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比. C. 如果 ，那么线段AB被点C黄金分割. D. 0.618是黄金比的近似值. D. D C 3.若 ，则 =____. 4. 若 (a ≠ c),则 ____. 5.已知 ，那么下列等式中，不一定正确的是 (     ) A.a+b=7 B. C.2a=5b D. 6.若 ，则k的值为( ) A.1 B.-1 C. 或-1 D. A C 拓展训练 1.已知 ,且 ，求x,y,z的值. 解：设 =k, 则x=2k,y=3k,z=5k, x+2y+3z=2k+2×3k+3×5k =23k =-46, 所以k=-2,则x=-4,y=-6,z=-10. 2.如图，线段AB＝12 cm，C，D是线段AB的两个黄金分割点，求线段CD的长. 解：由图可知，点C，D是线段AB的黄 金分割点，则 , 则 cm, cm; cm, cm. 所以CD=(12-24)cm. 归纳小结 知识点1 比例的基本性质及合比、等比性质 (1)基本性质：如果 ，那么ad=bc(b,d ≠0). 反之也成立，即如果ad=bc(b,d ≠0)，那么 . (2)合比性质：如果 ，那么 . (3)等比性质：如果 ，且 ，那么 . 注意：运用等比性质时，注意各分母的和不为零，否则无意义. 知识点2 黄金分割 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，分割点叫作这条线段的黄金分割点，比值叫作黄金数，又称黄金比. 绿卡图书—走向成功的通行证 $