21.5 第2课时 反比例函数的图象与性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦“反比例函数的图象与性质”，通过回顾一次函数、二次函数的图象特征及描点法作图，搭建前后知识联系，引导学生从已有认知过渡到反比例函数的学习。 其亮点在于以“列表-描点-连线”实践操作为核心，结合观察y=6/x与y=-5/x的图象归纳位置、增减性，培养几何直观（数学眼光），通过对比k>0与k<0的性质及与正比例函数的表格对比，发展推理意识（数学思维），用符号与表格精准表达规律（数学语言）。学生能在探究中深化理解，教师可借助清晰流程与例题提升教学效率。

第21章 二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 第2课时 反比例函数的图象与性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.会用描点法画反比例函数的图象，并掌握反比例函数的性质. 2.会用反比例函数的性质解决相关问题. 3.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中. 反比例函数的图象和性质，并会应用. 利用反比例函数的图象和性质解决问题. 回顾复习 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是怎样的？如何作出？ 一次函数y＝kx＋b 的图象是一条直线， 过点(0，b)和(-，0)可以作出它的图象． 2. 一次函数图象有何性质？ 当k＞0时，y随x增大而增大; 当k＜0时，y随x增大而减小． 一次函数的图象是一条直线. 3.二次函数y=ax²+bx+c的图象是怎样的？ 4.反比例函数的表达式是什么？ 表达式为y(k≠0). 5.画函数图象的方法步骤？ 描点法：①列表；②描点；③连线. 二次函数的图象是一条抛物线. 如何作出反比例函数的图象？ 探索新知 知识点 反比例函数的图象与性质 思 考：怎样画出反比例函数的图象. 解：列表. x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … -1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … 描点、连线. 观察图象，回答问题： 1.反比例函数的图象位置有什么特点？ 因为自变量x≠0，所以y轴把它的图象分割成两个分支，它们分别在第一、三象限内． 2.反比例函数的图象是上升的还是下降的？ 在每个象限内,图象自左向右下降,y随x的增大而减小. 注意：图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交. 观察图象，回答问题： 3.反比例函数的图象是否为中心对称图形？如何验证？ 反比例函数的图象是中心对称图形. 在图象上取点P(x0，y0)， ∵，∴. 即可知点P′(-x0，-y0)也在它的图象上， 所以的图象是中心对称图形. 操作：类比作函数的图象，画出函数的图象. 解：列表. 描点、作图. x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … … 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 … 思考 观察函数和的图象特征，归纳反比例函数的图象特征？ 图象分别位于第二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大. 图象分别位于第一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小. 思考 对于k＞0和k＜0两种情况，反比例函数 (k为常数，且k≠0)有哪些性质？ 图象：反比例函数(k≠0)的图象叫作双曲线． 性质：(1)当k＞0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下降，y随x的增大而减小； (2)当k＜0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上升，y随x的增大而增大. 小 结： 反比例函数的图象和性质： ①当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小; ②当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大. x y O 正比例函数与反比例函数的对比： 函数 正比例函数 反比例函数 表达式 或 图象 x的取值范围 全体实数 x≠0的一切实数 图象的位置 当k>0时，图象在一、三象限;当k<0时，图象在二、四象限 当k>0时，图象在一、三象限; 当k<0时，图象在二、四象限 性质 当k>0时，y随x的增大而增大; 当k<0时，y随x的增大而减小 当k>0时，y随x的增大而减小; 当k<0时，y随x的增大而增大 教材例题 【例1】已知反比例函数. (1)如果这个函数图象经过点(–3，5)，求k的值； (2)如果当x>0或x<0时,y随x的增大而减小，求k的取值范围. 解：(1)因为函数图象经过点(–3，5)， 代入函数的表达式，得 .解方程，得k= –7. (2)根据题意，有2k–1＞0. 解不等式，得. 【例2】正比例函数y=kx与反比例函数的图象都经过点A(m，2). （1）求k，m的值； （2）在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=kx和反比例函数的图象,并根据图象,写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 解：（1）将点A的坐标(m，2)代入反比例函数,得2=,解方程,得m =3. 将点A的坐标(3,2)代入正比例函数,得2 =3k,解方程,得k=. 【例2】正比例函数y=kx与反比例函数的图象都经过点A(m，2). （1）求k，m的值； （2）在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=kx和反比例函数的图象,并根据图象,写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围. 解：如图. 由图象可知，这两个函数的图象有两个交点， 交点坐标分别是（3，2）和（-3, -2）. 所以当正比例函数值大于反比例函数值时， x的取值范围为x>3或-3<x<0. 1 1 例题示范 例1 已知反比例函数 ，y随x的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a-7=-1，且a-1<0， 解得 a=-3. 例题示范 例2 已知反比例函数的图象经过点A (2，6). (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、三象限; 在每一个象限内，y随x的增大而减小. (2) 点B(3,4)，C(-2 ,-4 )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的表达式为， 因为点A (2，6)在其图象上，所以有，解得k＝12. 所以反比例函数的表达式为. 因为点B，C的坐标都满足该表达式，而点D的坐标不满足，所以点B,C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上. 1．如果反比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是_______． 2．已知直线y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象在第________象限． 3．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________. 1,2 二、四 k<1 随堂练习 4.如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么? 解：因为这个反比例函数图象的一支位于 第一象限，所以另一支必位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限， 所以m-5>0, 解得m>5. (2)在这个函数图象的某一支上任取点A( )和点B( ). 如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？ 解：∵m-5>0, ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， ∴当x1＞x2时，y1＜y2. 拓展提升 1.如果一个正比例函数图象与反比例函数 的图象交于 A( ),B( )两点，那么( )( )的值为_____. 2.下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1)经过点(-1,12)和点(10,-1.2); (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小; (3)双曲线位于二、四象限. 其中正确的是_______. 24 (1)(3) 3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么正比例函数y=kx和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) C 4.已知反比例函数 (k为常数，k≠1) 若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值. 若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围. 若k=13，试判断点B(3,4),C(2,5)，B点是否在这个函数的图象上，并说明理由. 解:(1)代入A(1,2)得k-1=2,解得k=3. (2)k>1. (3)由题意，.代入B(3,4),C(2,5),B点在函数图象上，C点不在. 归纳小结 , ; ; 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $