21.4 第2课时 利用二次函数解决抛物线形建筑问题-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦“利用二次函数解决抛物线形建筑问题”，课堂导入通过展示悬索桥、拱桥等建筑提问共同点，衔接二次函数图象知识，搭建从实际建筑到数学模型的学习支架。 其亮点是以真实建筑情境（如悬索桥钢索、公园护栏）为载体，培养数学眼光，通过“建坐标系、转化坐标、求表达式”等规范步骤发展数学思维，用函数表达式描述建筑形状强化数学语言。悬索桥问题引导学生抽象抛物线模型，提升学生建模与应用能力，为教师提供结构化教学流程和实践案例。

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决抛物线形建筑问题 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题. 2.利用二次函数解决抛物线形建筑的有关问题. 3.能运用二次函数的图象与性质进行决策． 建立二次函数模型，会把实际问题转化为二次函数问题. 利用二次函数解决抛物线形建筑的有关问题. 创设情境 这些建筑有什么共同点？ 探索新知 如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线的一部分,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离AB为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图，求这条抛物线对应的函数表达式; (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 解: (1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0，0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y = ax2+0.5. 抛物线经过点(450，81.5),代入上式,得81.5 = a· 4502+0.5. 解方程,得 . 所求抛物线对应的函数表达式为 . (2)当x = 450-100=350时,得y=×3502+0.5=49.5. 当x = 450-50=400时,得y =×4002+0.5 =64.5 (m). 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. 例题示范 例1 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢做成的立柱（如图），试计算所需不锈钢立柱的总长度. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为y=ax²+c. 由B(0,0.5),A(-1,0)可知解得 ∴抛物线的函数表达式为y=-0.5x²+0.5(-1≤x≤1). 由题意知C1(-0.6,0)，C2(-0.2,0), 故点B1,B2的横坐标分别为x1=-0.6,x2=-0.2. 把x1=-0.6,x2=-0.2分别代入y=-0.5x²+0.5， 得点B1,B2的纵坐标分别为y1=0.32,y2=0.48， ∴B4C4=B1C1=0.32,B3C3=B2C2=0.48, ∴所需不锈钢立柱的总长度为(0.32+0.48)×2×50=80(m). 答：所需不锈钢立柱的总长度为80 m. 例2 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线对应的函数表达式. 解：设该拱桥形成的抛物线对应的函数表达式为y=ax². ∵该抛物线过点(10，-4)， ∴-4=100a，a=-0.04，∴y=-0.04x². 归纳小结 解决建筑模型问题的一般步骤： (1)建立合适的平面直角坐标系; (2)将已知条件转化为点的坐标; (3)合理地设出所求的函数表达式; (4)代入已知条件或点的坐标，求出函数表达式; (5)利用已知函数表达式解决问题. 随堂练习 1.如图所示是一个抛物线形拱桥的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为AB=10 m， 水面宽度为AB=10 m，此时水面到拱桥顶部O的距离是4 m，则抛物线的函数关系式为( ) A. B. C. D. C 2.有一个抛物线形的拱桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m，如图，把它的截面放在平面直角坐标系中. (1)求这条抛物线对应的函数表达式. (2)在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？ 解：(1)这条抛物线对应的函数表达式为 . (2)在对称轴右边1 m处，即x=6， 此时 答：桥洞离水面的高是3.84 m. 3.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为多少？ 解：以水平面为x轴,抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+0.5， ∵抛物线过点(1,0),∴0=a+0.5，解得a=-0.5. ∴抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. 令y＝0，则-0.5x2+0.5＝0，解得x＝±1. 令x=0.2,y=-0.5×0.22+0.5=0.48, 令x=0.6,y=-0.5×0.62+0.5=0.32. (0.48+0.32)×2×100=160 (m). ∴这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为160 m. 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线形问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $