21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过知识回顾复习反比例函数定义及一次、二次函数研究方法，搭建学习支架引导学生迁移描点法等旧知，自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题驱动画图象、对比k值探究性质，培养抽象能力与推理意识，例题和演练涵盖基础应用与综合问题，如结合三角形面积、均值不等式，提升模型意识与应用能力，助力学生理解知识本质，教师教学更具针对性。

第21章 二次函数与反比例函数 21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质 课堂小结 例题讲解 随堂演练 获取新知 知识回顾 1.什么是反比例函数？ 2.反比例函数的定义中还需要注意什么？ ◆自变量x的取值范围 . 一般地，形如 的函数叫做反比例函数． ◆自变量x的次数为 . -2 （k是常数，k≠0） -1 x≠0 ◆若函数y=（m-2)xm2-5是反比例函数，则m= . 知识回顾 3.我们学习一次函数和二次函数时，研究了函数的哪些内容? 是如何进行研究的? 我们研究了函数的解析式、图象、性质，根据解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归纳函数的性质. 4.画函数图象的一般方法和步骤是怎样的? 描点法 列 表 描 点 连 线 解：列表如下. －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 ··· －1 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 ··· … … x －1.2 －1.5 注意：列表时自变量取值要均匀和对称 知识点1 反比例函数 的图象 问题：如何画反比例函数 的图象？ 应注意 1.自变量x需要取多少值?为什么? 2.取值时要注意什么? 获取新知 描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.如下图所示. x … -6 -5 -3 -2 -1.5 -1 1 2 3 4 5 6 … … -1 -1.2 -2 -3 -4 -6 6 3 2 1.5 1.2 1 … 连线：把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来. Administrator (A) - 注意：反比例函数的图像无限接近坐标轴，但是永远不能和坐标轴相交，也不能翘尾巴. 想一想：你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题? 图象是对称的 图象与坐标轴不相交 图象是平滑的曲线 常见错误 Administrator (A) - 这里要跟学生讲清楚，反比例函数的图象不是折线构成的，而是平滑的曲线，与二次函数类似. 1.列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算,又便于对称性描点; 2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势; 3.用平滑的曲线顺次连接各个点，曲线无限接近x轴、y轴，但不相交． 4.连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性. 注意要点 解：列表、描点、作图 ... ... ... ... 画反比例函数 的图象. 操 作 （1）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点? （2）反比例函数 的图象在哪两个象限,由什么确定？ x y x y 双曲线 轴对称图形，也是 以原点为对称中心的中 心对称图形． O O 一起探究 k的正负 如果点 P(x0，y0) 在函数的图象上，那么 P'(-x0，-y0) 也应在它的图像上 Administrator (A) - 鼓励学生用自己的语言对函数图像进行比较性的描述，鼓励学生们通过讨论，交流自己总结。 相同点：1. 两支曲线构成； 2. 与坐标轴不相交； 3.图象自身关于原点成中心对称； 4.图象自身是轴对称图形。 不同点： 的图象在第一、三象限； 的图象在第二、四象限。 归纳总结 形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为双曲线. 位置：由k决定： 当k>0时,图象的两个分支分别位于第一、三象限； 当k<0时,图象的两个分支分别位于第二、四象限. 例1 若双曲线y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( ) A. k＞ B. k＜ C. k= D.不存在 B 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k-1＜0，解得k＜ .故选B. 例题讲解 12 (1) 因为自变量 x≠0，所以y轴把函数分隔成两个分支，它们分别在第一和第三象限内； (2) 在每个象限内，图象自左向右下降，函数y随x的增大而减小，图象的两个分支都可以无限延伸，并无限接近x轴和y轴，但永远不与它们相交. x 增大 y 减 小 知识点2 反比例函数 的性质 获取新知 回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函数 的图象和性质吗？ 结论：一般地，当k<0时，反比例函数 的图象是双曲线， (1)双曲线的两支分别位于第二、第四象限; (2)在每一个象限内, y随x的增大而增大. (从左向右看是上升的) O x y x 增大 y 增大 Administrator (A) - 函数的性质是考察的重难点，而结合函数图象来理解性质，是函数知识的显著特征，所以可以启发学生在以前的经验上自己探究自己习得 (1) 当 k > 0 时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，图象自左向右下降，函数y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k ＜ 0 时，图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，图象自左向右上升，函数y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 归纳总结 Administrator (A) - 注意是反比例函数的增减性要定义到图象所在的每个象限内，并不是整个定义域上的增减. 例2 已知反比例函数y = . （1）如果这个函数图象经过点（-3,5），求k的值. （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围. 解：（1）因为函数图象经过点（-3,5），代入函数表达式， 得 解方程，得k= -7. (2)根据题意，有 2k－1＞0， 解不等式，得 例题讲解 16 1.函数y＝的图象大致是( ) B 随堂演练 2.已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，3)，那么该图象也一定经过点( ) A.(3，2) B.(1，4) C.(-9,) D.(2，－3) A 3. [2026淮南期末] 一个三角形花坛的面积是 ，它的一 边（单位：）是这边上的高（单位： ）的函数，此函 数的图象大致为( ) B A. B. C. D. 19 4.(安庆宿松县期中)对于反比例函数y＝，下列说法中错误的是( ) A.y随x的增大而减小 B.图象分布在第一、三象限 C.图象与坐标轴无交点 D.图象关于直线y＝x对称 A 5.若点A(2，y1)，B(3，y2)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则( ) A.y1＜y2 B.y1≤y2 C.y1＞y2 D.y1≥y2 C 6.(教材P48练习T2变式)已知点P在双曲线y＝－某一象限图象上，PA⊥x轴于点A，则△OPA的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 C 7.若反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则k的取值范围是 . k＜1 8.若反比例函数y＝ 的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是 . k<－ 9.如图，P是反比例函数y＝在第二象限的图象上的一点，过P点向两轴作垂线段，若形成的矩形PEOF面积为8，则k＝ . -8 10.[宁波一中自主招生] 如图，正方形 的顶点在第二象限 的图象上，点 、点分别在轴、轴负半轴上，点 在第 一象限直线的图象上，若 ，则 ____. 23 【点拨】过点作轴，过点作 轴，作交轴于点.设交 轴于点 ，交轴于点 .易证 ，， . 24 同理可证 ， 易得 ，， ， 点的坐标为 ， . 11.在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(m，4)，点B(－2，n).求一次函数的表达式，并在如图坐标系中画出反比例函数与一次函数的图象. 解：一次函数的表达式为y1＝2x＋2.作图如图. 12.【阅读理解】对于任意正实数a，b， ∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0， ∴a＋b≥2，(只有当a＝b时，a＋b＝2) 即当a＝b时，a＋b取得最小值，且最小值为2. 根据上述内容，回答下列问题： (1)若m＞0，当m＝ 时，m＋有最小值为 ； (2)若函数y＝a＋(a>1)，则当a＝ 时，函数y＝a＋(a>1)有最小值为 ； 2 4 4 7 【探索应用】 (3)如图，已知点Q(－3，－4)是双曲线y＝上一点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B.点P为双曲线y＝(x>0)上任意一点，连接PA，PB，求四边形AQBP的面积的最小值. 解：易得双曲线为y＝.连接PQ，设P(x,)， ∴S四边形AQBP＝×4(x＋3)＋×3(+4) ＝2x＋＋12 ≥2＋12＝12＋12＝24. 当2x＝ 时，即x＝3时“＝”成立. ∴四边形AQBP的面积的最小值为24. 反比例函数的 图象和性质 形状 双曲线 位置 当k＞0时，两支曲线分别位于第一、 三象限内 当k<0时，两支曲线分别位于第二、 四象限内 性质 图象 当k＞0时，在每一象限内，y随x 的增大而减小 当k < 0时，在每一象限内，y随x 的增大而增大 课堂小结 画法 描点法：列表、描点、连线 $