21.4 第1课时 二次函数在面积最值中的应用-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦二次函数在几何图形面积最值中的应用，通过窗框透光面积情境导入，先回顾二次函数的图象特点、顶点坐标及最值性质，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以实际问题（如围网矩形水面、靠墙篱笆花圃）为载体，培养数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（推理运算求最值）和数学语言（建立函数模型）。采用问题驱动与归纳小结（三步法），帮助学生掌握建模方法，教师可直接用于教学提升效率。

第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数求几何图形面积的最值 学习目标 学习重难点 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 重点 应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题. 难点 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 回顾复习 二次函数y=ax²+bx+c的图象特点和函数性质如下： y=ax²+bx+c a＞0 a＜0 函数图象 图象特点 抛物线开口方向 抛物线顶点坐标 抛物线对称轴 函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值 开口向上 开口向下 直线 直线 当x>时，y随x的增大而增大； 当x< 时，y随x的增大而减小 当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大 当x=时，y取得最小值，y最小值= 当x=时，y取得最大值，y最大值= 创设情境 用长为8 m的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 8 m 4 m x m x m 4 m （4 － x） m （4 － x） m 解：设窗框的一边长为x m，窗框的透光面积为y m².则另一边的长为(4－x)m，那么 y = x（4－ x ）且0 ＜ x ＜ 4. 即 y = ﹣ x 2＋ 4x = -（x -2）2 +4. 又有：a=﹣1 ＜ 0，该函数的图象开口向下，故函数有最大值. 当x = 2时，该函数达到最大值为4. 答：该窗框的宽和高相等，都为2 m时透光面积达到最大的4 m². 教材例题 例 某水产养殖户用长40 m的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？ 解：设一边长为x m，面积是S m2，得S=x(20-x) (0＜x＜20). 将这个函数的表达式配方，得S= -(x-10)²+100. 这个函数的图象是一条开口向下的抛物线的一部分， 如图，它的顶点坐标是(10，100). 所以，当x=10时，函数取得最大值，即S最大值=100 . 此时，这一边长与邻边长都为10 m. 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 例题示范 例 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x m，面积为S m². （1）求S与x的函数表达式及自变量的取值范围. （2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? （3）若墙的最大可用长度为8 m，则求围成花圃的最大面积. A B C D 解： (1)∵ AB为x m、篱笆长为24 m, ∴花圃宽为（24－4x）m, ∴ S ＝ x （24 － 4 x ） ＝ ﹣4 x 2 ＋ 24 x (0 ＜ x ＜ 6). (2)当x＝时，S最大值＝＝36(m²). (3)∵墙的可用长度为8 m, ∴0<24-4x≤8;4≤x<6, ∴当x=4m时，S最大值＝ 36(m²). 归纳小结 二次函数解决几何面积最值问题的方法： 1.求出函数解析式和自变量的取值范围; 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值; 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 随堂练习 1.如图1，用长8 m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 . 2.如图2，在△ABC中，∠B=90 °, AB=12 cm, BC=24 cm，动点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4 cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P,Q分别从A,B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小. 3 图1 A B C P Q 图2 3.如图，四边形的两条对角线AC,BD互相垂直，AC+BD=10，当AC,BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 形ABCD面积为y,则BD=(10-x). 即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD面积最大. 课堂小结 最大面 积问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $