21.2 2 第1课时二次函数y=ax²+k的图象和性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦二次函数\( y=ax^2+k \)的图象与性质，通过复习\( y=ax^2 \)的性质导入，以\( y=2x^2 \)、\( y=2x^2±1 \)为例列表描点作图，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是通过具体函数对比观察培养几何直观，归纳平移规律发展推理意识，用表格梳理性质强化模型意识。如探索新知中对比\( y \)值与图象位置关系，例题示范平移应用，助力学生理解性质，教师教学有清晰流程与实例支撑。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.会用描点法作出二次函数y=ax2+k的图象. 2.理解并掌握二次函数y=ax2+k 的图象与性质及它与函数y=ax2 的关系. 描点法画出二次函数y=ax2+k的图象，二次函数y=ax2+k的图象与性质. 抛物线y=ax2+k 与抛物线y=ax2之间联系. 回顾复习 二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质： 形如y＝ax2＋k的图象和性质又会怎样呢？ 探索新知 问题：在同一平面直角坐标系中，怎样画出二次函数 y = 2x2， y = 2x2 +1和 y = 2x2 -1的图象？ 解：先列表： x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y =2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 … y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 … 描点、连线，画出函数的图象： y = 2x2 -1 y = 2x2+1 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 -1 y = 2x2 这三条抛物线的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 观察1 表达式式 形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2 y=2x2+1 y=2x2-1 向上 直线x=0 (0,1) (0,-1) 抛物线 (0,0) y = 2x2 -1 y = 2x2+1 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 -1 y = 2x2 对于同一个x值，这三个函数对应的y值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 观察2 观察图象，我们很容易看出对于同一个x值，y=2x2的y值比y=2x2–1的y值大1，同时比y=2x2+1的y值小1. 通过观察图象，我们可以得到：函数y=2x2的图象分别向上或向下平移，就可得到y=2x2+1和y=2x2–1的图象. y = 2x2 -1 y = 2x2+1 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 -1 y = 2x2 当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 观察3 三条抛物线都是开口向上，所以最低点就是它们对应的顶点坐标，分别为(0，0)，(0，1)，(0，-1).因此得到它们都是当x=0时取得最小值，最小值分别为0，1，-1. 归纳总结 抛物线y=ax²+k(k≠0)与抛物线y=ax²的关系 一般地，抛物线y=ax²+k(k≠0)与y=ax²的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同. 抛物线y=ax²+k(k≠0)可由抛物线y=ax²沿y轴方向平移|k|个单位长度得到：当k＞0时，向上平移；当k＜0时，向下平移. 函数 y=ax² y=ax²+k(k≠0) 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同; (3) 增减性相同 不同点 (关系) 顶点坐标(最值)不同 当k>0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位长度得到； 当k<0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位长度得到 【例1】在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=-x²、y=-x²+3和y=-x²-2图象？ 解：列表. x … -2 -1 0 1 2 … y=-x² … -4 -1 0 -1 -4 … y=-x²+3 … -1 2 3 2 -1 … y=-x²-2 … -6 -3 -2 -3 -6 … 例题示范 描点、连线，即得各函数的图象： 例题示范 【例2】在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y = – x2–1. 解：(1)列表. x … –3 –2 –1 0 1 2 3 … y= –x²+1 … –8 –3 0 1 0 –3 –8 … y= –x²–1 … –10 –5 –2 –1 –2 –5 –10 … –2 –2 –2 –2 –2 –2 –2 –2 (2)描点、连线. 由图象，很容易得到抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的. 归纳小结 函数y=ax2+k的图象和性质. y=ax²+k(a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 开口向下 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 顶点是(0，k) 顶点是(0，k) y轴 y轴 在y轴左侧，y随x的增大而减小； 在y轴右侧，y随x的增大而增大. 在y轴左侧，y随x的增大而减小； 在y轴右侧，y随x的增大而增大. x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象的相同点与不同点. 函数 y=ax² y=ax²+k(k≠0) 相同点 (1) 形状相同； (2) 开口大小和开口方向相同; (3) 增减性相同 不同点 (关系) 顶点坐标(最值)不同 当k>0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位长度得到； 当k<0时，抛物线y=ax²+k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位长度得到 1.抛物线y=-3x2+5的开口_______，对称轴是_____，顶点坐标是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______;当x=_____时，取得最____值，这个值等于_____. 2.抛物线y=7x2-3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是_____，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x=_____时，取得最____值，这个值等于____. 随堂练习 -3 (0,-3) 向下 y轴 (0,5) 增大 减小 0 大 5 向下 y轴 减小 增大 0 小 3.抛物线 y＝-x2-2 的图象大至是 ( ) B 4.抛物线 y＝-6x2 可以看作是由抛物线 y＝-6x2+5 按下列何种变换得到 (　 　) A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 5.已知y＝ax2＋k的图象上有三点 A(-5，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)，且 y2＜y3＜y1，则a的取值范围是 (　　) A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 B A 拓展提升 1.已知二次函数 y＝(a－2)x2＝a2－2 的最高点是(0，2)，则 a 的值为______． 2．抛物线 y＝ax2＋c 与 y＝－3x2－2 的图象关于 x 轴对称，则a＝____，c＝_____． 3．若 y＝x2+(k－2) 的顶点是原点，则 k_____；若顶点位于 x 轴上方，则 k______；若顶点位于 x 轴下方，则 k______. -2 3 2 ＝2 >2 <2 4.二次函数的图象是将(　　) A．抛物线向左平移3个单位长度得到 B．抛物线向左平移1个单位长度得到 C．抛物向上平移1个单位长度得到 D．抛物线向上平移1个单位长度得到 解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的．故选D. D 5．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象大致为 (　　) D 提示：y＝ax2＋k 是由 y＝ax2 平移 | k | 个单位得到． 6.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±， 此时P点坐标为(，2)，(－，2)． 课堂小结 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $