21.2 1 第2课时 二次函数y=ax²的图象和性质-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过回顾y=x²的性质及画图象步骤，以描点法绘制y=1/2x²、y=2x²等函数图象，观察比较a>0与a<0时的开口方向、对称轴等，搭建从具体到一般的知识支架。 其亮点在于结合几何画图软件动态演示a值变化对图象的影响，培养学生几何直观与推理意识，通过表格对比归纳性质，强化模型意识。实例丰富如探究开口大小与|a|关系，学生能直观理解性质，教师可借助清晰环节提升教学效率。

第21章　二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象与性质 1 二次函数y=ax2的图象和性质 第2课时 二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标 学习重难点 重点 难点 1.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点. 2.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. 会用描点法画二次函数y=ax²的图象，知道抛物线y=ax²是轴对称图形，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关. 能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标和抛物线的最高（低）点. 回顾复习 1.画二次函数图象的步骤是什么？ 　列表、描点、连线. 2.二次函数图象的形状是什么？ 　抛物线. 回顾二次函数的图象与性质. 回顾复习 例 在同一平面直角坐标系中，画出函数x2, y=2x2 的图象. 解:列表. 探索新知 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 x ··· ··· -4 8 -3 4.5 -2 2 -1 0.5 0 0 1 0.5 2 2 3 4.5 4 8 ··· ··· x y = 2x2 ··· ··· -2 8 -1.5 4.5 -1 2 -0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 2 1.5 4.5 2 8 ··· ··· y=2x2 描点、连线，即可得到这两个函数的图象，如图： y=x2 观察：二次函数y=x2 ，x2和y=2x2 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 它们的开口方向是向上的， 对称轴为y轴， 顶点坐标是(0,0). 观察：图象有最高点还是最低点?当在什么 范围内，图象自左向右上升或下降？ 它们的图象有最低点; 在x<0时，图象自左向右下降; 在x>0时，图象自左向右上升. 观察：利用几何画图软件，改变二次函数 y=ax²(a＞0)的二次项系数a(a＞0)的值， 如图.观察图象有什么变化？ y=x2 y=x2 它们的图象开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标为(0,0),它们的图象有最低点; 在x<0时，图象自左向右下降; 在x>0时，图象自左向右上升. 图象的开口大小发生变化. 观察：观察图象，开口大小是如何变化的？ 观察发现：二次函数(a＞0)的二次项系数a越大，开口越小，a越小，开口越大. 二次函数 图象的形状 抛物线 抛物线 抛物线 抛物线 二次函数 图象的特点 (1) (2) (3) (4) 二次函数 图象的特点 开口向上，向x轴左右方向无限延伸 是轴对称图形，对称轴是y轴 在y轴左侧，自左向右下降， 在y轴右侧，自左向右上升 顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最低点，图象向上无限延伸 二次函数 函数的性质 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和-x可得到相同的函数值y 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大 当x=0时，函数取得最小值，y最小值=0，且y没有最大值，函数y的取值范围是y≥0 总结：二次函数的图象特点和函数性质. 仿前面例题在同一平面直角坐标系中，画出函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象. 例题示范 x y = -x2 y = -2x2 ··· ··· ··· ··· -3 -9 -18 -2 -4 -2 -8 -1 -1 -2 0 0 0 0 1 -1 -2 2 -4 -2 -8 3 -9 -18 ··· ··· ··· ··· y=-2x2 y=-x2 -3 -6 -9 y O -3 3 x 观察：二次函数y=-x2 ，x2和y=-2x2 的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标. 它们的开口方向是向下的， 对称轴为y轴， 顶点坐标是(0,0). 观察：图象有最高点还是最低点?当在什么 范围内，图象自左向右上升或下降？ 它们的图象有最高点; 在x<0时，图象自左向右上升; 在x>0时，图象自左向右下降. 总结：二次函数的图象特点和函数性质. 二次函数 图象的形状 抛物线 抛物线 抛物线 抛物线 二次函数 图象的特点 (1) (2) (3) (4) 二次函数 图象的特点 开口向下，向x轴左右方向无限延伸 是轴对称图形，对称轴是y轴 在y轴左侧，自左向右上升， 在y轴右侧，自左向右下降 顶点就是原点（0,0），顶点是图象的最高点，图象向上无限延伸 二次函数 函数的性质 自变量x的取值范围是全体实数 对于x和-x可得到相同的函数值y 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小 当x=0时，函数取得最大值，y最大值=0，且y没有最小值，函数y的取值范围是y≤0 观察：分别比较函数y=x²与y=–x²，x2与 x2，y=2x²与y=–2x²的图象，指出它们之间相同与不同之处. 函数 相同点 不同点 不同点 不同点 y=x²，x2，y=2x² (1) 都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2) 顶点坐标都是(0,0) 开口向上 在y轴左侧，y随x的增大而减小； 在y轴右侧，y随x的增大而增大 x=0时，y最小值=0 y=-x²，x2，y=-2x² (1) 都是轴对称图形，且对称轴是y轴； (2) 顶点坐标都是(0,0) 开口向下 在y轴左侧，y随x的增大而增大； 在y轴右侧，y随x的增大而减小 x=0时，y最大值=0 归纳小结 y＝ax2 图象 开口 开口 对称性 顶点 顶点 增减性 a＞0 开口向上 |a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0，0) 顶点是最低点 在对称轴左侧递减; 在对称轴右侧递增 a＜0 开口向下 |a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0，0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递增; 在对称轴右侧递减 随堂练习 1.a>0与a<0时,函数y =ax²的图象有什么不同? 开口方向不同;性质不同. 2.|a|的大小对函数y = ax²的图象的开口大小有什么影响? 开口大小由|a|的大小决定， |a|大，则抛物线的开口小; |a|小，则抛物线的开口大. 3.已知下列二次函数： ;② ;③ ;④ ;⑤ . (1)其中开口向上的是________.(填序号); (2)其中开口向下且开口最大的是_____.(填序号)； (3)有最高点的是______.(填序号). ②③⑤ ① ①④ 4.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）. （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. (4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0, 则y1 y2. 2 y轴 向上 （0,0） 小 上 > 拓展提升 1.已知一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是( ) 分析：因为b＜0，所以直线y=ax+b与y轴的交点在y轴的负半轴，因此B，D错误； 选项A，C中，抛物线y=ax2都是开口向下，得到a＜0， 所以直线y=ax+b是下降的.因此选项C正确. C 2.按要求完成下列各题. (1)在同一坐标系中画出函数 ; ; ; 的图象. (2)观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴. (3)说出各图象中的最高点或最高点坐标. (4)说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况. 顶点坐标都是(0,0); 和 开口向上， 和 开口向下. 对称轴都是y轴; 和 开口向上，所以都有最低点(0,0). 和 开口向上，所以都有最高点(0,0). 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x增大而减小; 在右侧，函数y随x增大而减小. 和 ，在对称轴的左侧，函数y随x的增大而增大; 在右侧，函数y随x的增大而减小. 4.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 解：由题意得 解得 所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 课后作业 1.从课后习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证