第13讲 中心对称（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第13讲 中心对称 （3大考点10大题型） 学习目标 1.理解中心对称的定义，能够识别中心对称图形。 2.能够区别轴对称和中心对称，区别轴对称图形和中心对称图形。 3.理解并灵活中心对称的定义、性质，结合坐标系等几何问题进行相关求解.(重点） 考点整理 一、中心对称的定义：如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 二、轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 三、轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 题型归纳 【题型1 成中心对称】 1．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 4．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型2 画已知图形关于某点的对称图形】 5．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     7．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【题型3 根据中心对称的性质求面积、角度、长度】 9．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点关于点的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为点，点关于点的对称点为，顺次连接点，，，在四边形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为； ②点的横纵坐标之积恒为； ③对于任意的点，都存在无数个四边形是矩形； ④当点坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 11．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 12．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【题型4 中心对称图形的认识】 13．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 14．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A．B．C． D． 15．以下四个图标，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 16．下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【题型5 中心对称图形规律】 17．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 20．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【题型6 求关于原点对称的点坐标】 21．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 24．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型7 已知点关于原点对称求参数】 25．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 26．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 28．下列说法正确的是（ ） A．400人中有两个人的生日在同一天是随机事件 B．平面内任意三点确定一个圆 C．已知点与点关于原点对称，则 D．将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线 【题型8 判断两个点是否关于原点对称】 29．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 30．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B． C．D． 31．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 32．直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 【题型9说出一个图形到另一个图形的运动过程】 33．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 35．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 36．轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 【题型10 按图形变换要求画出图形】 37．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 38．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 39．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 40．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 中心对称 （3大考点10大题型） 学习目标 1.理解中心对称的定义，能够识别中心对称图形。 2.能够区别轴对称和中心对称，区别轴对称图形和中心对称图形。 3.理解并灵活中心对称的定义、性质，结合坐标系等几何问题进行相关求解.(重点） 考点整理 一、中心对称的定义：如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 二、轴对称与中心对称 类别 轴对称 中心对称 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 性质 1）对应点的连线被对称轴垂直平分； 2）成轴对称的两个图形全等； 3）只有一条对称轴. 1）对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分； 2）成中心对称的两个图形全等； 3）只有一个对称中心. 三、轴对称图形与中心对称图形 类别 轴对称图形 中心对称图形 定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质 1）有对称轴; 2）将图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分完全重合. 1) 有对称中心; 2) 将图形绕对称中心旋转180°旋转后的图形能与原来的图形重合. 题型归纳 【题型1 成中心对称】 1．给出下列4个命题：①平移前后的两个图形中，对应点的连线段一定相等；②成轴对称的两个图形对应点的连线是对称轴的垂直平分线；③旋转前后的两个图形，对应点与旋转中心连线所成的角都相等；④成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心．其中，真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称、旋转、中心对称的性质，逐个判断四个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】解：①根据平移的性质，平移前后对应点的连线段平行或共线且长度相等，因此对应点的连线段一定相等，①是真命题； ②成轴对称的两个图形，对称轴是对应点连线的垂直平分线，命题将二者关系颠倒，②是假命题； ③根据旋转的性质，旋转前后所有对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角，因此都相等，③是真命题； ④根据中心对称的性质，成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分，命题描述正确，④是真命题； 综上，真命题共个． 2．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 3．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 4．已知点与点B关于点成中心对称，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是关于某点成中心对称的点的坐标规律，解题关键是利用中心对称点的坐标性质（中点为对称中心），通过中点坐标公式列方程求解． 利用中心对称的性质：点 C 是 A、B 的中点，根据中点坐标公式，设 B 的坐标为，列方程、，求解得 B 的坐标． 【详解】设点B坐标为， 点与点B关于点成中心对称， ，， 解得， ． 故选B． 【题型2 画已知图形关于某点的对称图形】 5．在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 6．下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（    ） A．  B．  C．  D．     【答案】C 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 7．如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 8．如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】画出旋转后的图形，根据图形解答． 【详解】如图，取格点，连接，，取格点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴点A关于点O的对称点与点C重合，点C关于点O的对称点与点A重合． 同理可证：点B与点关于点O对称， ∴旋转后的三角形的三个顶点均在格点上， 故嘉嘉说法正确； 由中心对称的性质得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴旋转前后两个三角形可形成平行四边形， 故淇淇说法正确． 故选C．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，中心对称的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 【题型3 根据中心对称的性质求面积、角度、长度】 9．如图，在平面直角坐标系中，点 M是矩形边上的点．若反比例函数的图象经过顶点，其上另一点D 与点A 关于点M成中心对称，则点 D 的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点坐标及点的纵坐标，利用中心对称性质求出点的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即， 四边形是矩形，， ，且平行于轴， 故上点的纵坐标均为， 点在边上， 点的纵坐标为， 点与点关于点成中心对称， 点是线段的中点， 设，则， 解得， 点在反比例函数图象上， ， 解得， 点的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，点关于点的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为点，点关于点的对称点为，顺次连接点，，，在四边形中，，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．给出下面四个结论： ①四边形的面积恒为； ②点的横纵坐标之积恒为； ③对于任意的点，都存在无数个四边形是矩形； ④当点坐标为时，只存在一个四边形是正方形，且此正方形面积为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先设动点，利用中点对称求出、、坐标，再逐一分析四个结论：①由对称得四边形是平行四边形，先算面积，再推出平行四边形面积恒为，结论成立；②直接计算横纵坐标乘积为，不等于，结论不成立；③依托四边形中心对称性质，上可取无数个点，总能匹配对应点使四边形对角线相等且互相平分，得到无数个矩形，结论成立；④先确定时各顶点坐标，设边上动点坐标，结合正方形中且，可得，据此列方程求解，舍去范围外的解后仅有一组有效解，算出正方形面积为，结论成立． 【详解】解：设动点，根据对称性质，中点坐标公式得各点坐标： ， ， ， ， 对于①：∵点是函数图象上的动点，过点作轴的垂线，垂足为点， ∴， ∵点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 对于②：横纵坐标乘积为，故②错误； 对于③：，，，分别为边，，，上的点（不与端点重合），当，关于点对称，，关于点对称时， 四边形为平行四边形，对于每一个确定的点都能得到一个对应， 使四边形为矩形， 点在边上有无数种取法（不与端点重合），因此存在无数个四边形是矩形，故③正确； 对于④：当点坐标为时， ∵点与点关于点对称，是的中点，， ∴， ∵垂直于轴，垂足为，， ∴， ∵点与点关于点对称，是的中点， ∴，四边形中平行且等于，是平行四边形，对称中心为， 设点在上，坐标为，， ∵四边形关于点中心对称，点的对称点在上， ∴点坐标为，且，符合的范围， 设直线解析式为，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 设点坐标为，，则点关于点中心对称的对称点坐标为，在上， ∴， ， ， 若四边形是正方形，则且， ∴， 两边平方，整理变形得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 两边平方展开整理得， 将①代入②，整理得， 解得或（无实根）， ∵， ∴， 代入①得，满足， 故取值范围内仅有一组解，即只存在一个这样的正方形； ， ∴； 故结论④正确； 综上，正确结论为①③④． 11．已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 12．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 【题型4 中心对称图形的认识】 13．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 14．七巧板源于古人对测量工具“矩”的认识，后在民间演变为拼图板玩具．下列由七巧板中部分板拼成的图形的轮廓中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解： 、图形的轮廓不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、图形的轮廓是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意． 15．以下四个图标，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、将图形绕着图形的中心点旋转180度后与原图重合，所以该图形是中心对称图形，所以选项A符合题意； B、C、D三个选项，找不到这样一点，将图形绕着该点旋转180度后与原图重合，所以该图形不是中心对称图形，所以选项B、C、D均不符合题意． 16．下列四边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断选项即可． 【详解】解：选项A，等腰梯形沿上下底中点所在直线折叠可重合，是轴对称图形； 但旋转后无法与原图形重合，不是中心对称图形，符合题意； 选项B，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项C，菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 选项D，正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意． 【题型5 中心对称图形规律】 17．已知点，，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以，，为对称点重复前面的操作，依次得到，，，…，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出前若干个对称点的坐标，总结循环周期，再根据计算结果确定的对应坐标． 【详解】解：设 ∵点关于点的对称点为，是的中点 ∴ ， ． 解得，， 即． 同理可得 ，，，，， ∴点的坐标每次循环一次． ∵ ，余数为， ∴ 的坐标与坐标相同，为． 故选：B． 18．在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 19．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 20．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 【题型6 求关于原点对称的点坐标】 21．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，可求出点的横坐标是，结合点的坐标是，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的横坐标是， ∵平行轴，， ∴平行轴， ∵点的坐标是， ∴点的纵坐标是． ∴点的坐标是． 22．在平面直角坐标系中，已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 23．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若原点点坐标为，则它关于原点对称的点的横、纵坐标都变为原数的相反数，即对称点坐标为 ． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 24．若正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的两个交点也关于原点中心对称，利用中心对称点的坐标特点即可求解． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个函数的交点，关于原点中心对称， ∵关于原点中心对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标是． 【题型7 已知点关于原点对称求参数】 25．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 26．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 27．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 28．下列说法正确的是（ ） A．400人中有两个人的生日在同一天是随机事件 B．平面内任意三点确定一个圆 C．已知点与点关于原点对称，则 D．将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线 【答案】D 【分析】根据事件的分类，圆的确定方法，关于原点对称的点的特点，二次函数的平移规则逐一进行判断即可. 【详解】解：A、400人中有两个人的生日在同一天是必然事件，原说法错误； B、平面内任意不共线的三点确定一个圆，原说法错误； C、已知点与点关于原点对称，则，故，原说法错误； D、将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线，正确. 【题型8 判断两个点是否关于原点对称】 29．下列各组点中，哪两个点关于原点O对称（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：关于原点对称的两点坐标满足：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 选项A中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项B中，点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数，符合关于原点对称的坐标特征，该项符合要求． 选项C中，与的横、纵坐标都不互为相反数，该项不符合要求． 选项D中，与的横坐标相同，不互为相反数，该项不符合要求． 30．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 31．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 32．直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据两坐标点的特征，得出两点的横纵坐标都互为相反数，得出两点关于原点对称，故直线经过原点． 【详解】解：直线上的点和的横纵坐标都互为相反数， 这两点关于原点对称， 则直线经过原点， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质的知识，观察两点得出两点关于原点对称，是解答本题的关键． 【题型9说出一个图形到另一个图形的运动过程】 33．主题学习：探究图形变换之间的联系． (1)如图，在方格纸中，大正方形的两条对角线与相交于点．请在图中画出三角形①关于直线对称的三角形②，再画出三角形②关于直线对称的三角形③； (2)三角形③能否由三角形①通过一次图形变换得到？若能，请写出变换的方式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)解：如图所示，三角形②，③即为所求； (2)解：三角形③能由三角形①通过一次旋转变换所得到，且以点O为中心，逆时针旋转． 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，解答即可； （2）根据旋转的定义判断解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 34．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将每个顶点纵坐标不变，横坐标乘，得到．其中点A，B，C的对应点分别是，，，请在图中画出； (2)与关于直线对称，其中点，，的对应点分别是，，，请在图中画出； (3)可以看作由经过一次变换得到的，请写出变换过程． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3)可以看作由关于点对称得到 【分析】（1）根据题意，由题可知，，，再连线即可得； （2）利用对称画出即可； （3）根据图形的对称性可知可以看作由关于点对称得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 35．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点的坐标分别为，，，依次完成下列问题： (1)直接写出三角形的面积； (2)将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度（点A，B平移后的对应点分别为点D，E），画出平移后的线段并写出点D的坐标； (3)在点E的左侧画点F，连接，使且； (4)连接，若三角形是由三角形经过某种变换后得到的图形，点A，B，C分别与点E，D，F对应，观察对应点的坐标之间的关系．三角形内任意一点M的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，直接用含a，b的式子表示点N的坐标． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析 (4)． 【分析】（1）利用网格图的特征解答即可； （2）根据平移的性质画出图形，即可； （3）根据平移的性质画出图形，即可； （4）根据中心对称图形的性质以及平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：三角形的面积； （2）解：如图，线段即为所求； 点D的坐标为； （3）解：如图，线段即为所求； （4）解：先作三角形关于原点中心对称图形，再向左平移1个单位得到三角形， ∵M的坐标为， ∴点N的坐标为． 36．轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索： (1)如图①在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． (2)如图②在方格纸上作，作关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180度后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换． （1）观察本题中图案的特点，根据轴对称、平移的特征进行判断作答； （2）观察本题中图案的特点，根据轴对称、旋转的特征进行判断作答． 【详解】（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换； （2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）． 【题型10 按图形变换要求画出图形】 37．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 38．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整点，如图，，的顶点均为整点． (1)可经过________（填“平移”、“轴对称”、“旋转”、“位似”其中一种）的图形变化方式得到，直接写出的值； (2)在图中画出关于原点对称的；若P，分别为AC，的中点，连接，，直接写出的值． 【答案】(1)位似， (2)作图见解析， 【分析】（1）观察到与对应顶点连线交于一点，且对应边互相平行，符合“位似变换”的特征．利用勾股定理分别计算和的长度，再求其比值． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，分别找到、、关于原点的对称点、、，依次连接即可；利用中心对称性质，得出中点、和O三点共线．然后利用相似比的性质即可解答． 【详解】（1）如图，与中，连线、、交于一点，且对应边与，与，与互相平行，符合位似变换的特征． 设每个小方格边长为1，利用勾股定理计算： 因此，． （2）解：如图即为所求； ∵关于原点对称的， ∴， ∵与位似，位似中心为O， ∴与位似，位似中心为O， ∴， ∵P是中点，是中点， ∴P，在过原点O的同一条直线上 ∴ ∵， ∴， ∴． 39．如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求； （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求． 40．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $