第22章 22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学习题课件（沪科版·新教材 安徽专版）

该初中数学课件聚焦“直角三角形相似的判定”，通过复习相似三角形一般判定方法导入，衔接斜边和一条直角边对应成比例等特殊判定，以“练基础-练提升-练素养”为学习支架，构建知识脉络。 其亮点是分层练习与创新题型结合，基础题巩固核心知识点，提升题融入一题多解（如高的证明），素养题设新定义“相似线”问题，培养推理能力与创新意识。助力学生分层提升，教师可丰富教学资源。

2 22.2　相似三角形的判定 第5课时　直角三角形相似的判定方法 3 练基础 练提升 练素养 目 录 练基础 1. （教材P90T3改编）已知两直角三角形的斜边和一条直角边分别为4，1和12，3，则这两个直角三角形 （　　） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 以上都不对 知识点1 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 5 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，要使Rt△ABC和Rt△DEF相似，只要 （　　） A. = B. = C. AB·DE=BC·EF D. = 【变式】　在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=3，BC=4，DF=6，DE=8，这两个三角形_________（填“相似”或“不相似”）. B 不相似 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 6 3. （教材P89例6改编）如图，∠ACB=∠ADC=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，要使△ABC∽△CAD，则只要CD等于 （　　） A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 7 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC上一点，已知CD=1，AD=，AB= 2. 求证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 证明：∵∠C=90°，CD=1，AD=， ∴CA===2. ∵=，==，∴=. 又∵∠ACD=∠BCA=90°，∴Rt△ADC∽Rt△BAC. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 8 5. 如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，则图中相似三角形共有 （　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 知识点2 判定直角三角形相似的方法综合 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 9 6. （淮北期中）如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠ACB=∠A'CB'=90°，若添加一个条件，使得Rt△ABC∽Rt△A'B'C，则下列条件中不符合要求的是 （　　） A. ∠A=∠A' B. = C. = D. = D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 10 7. （原创题·新考法）如图，在矩形ABCD中，P是边CD上的一点，连接AP，BP. （1）当与BP有关的比例式满足____________________时， Rt△APD∽Rt△PBC； （2）若AD=2，AB=5，则BP的长为________________时， Rt△APD∽Rt△PBC. =（答案不唯一） 或2 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 11 8. （一题多解）如图，线段BD，CE是△ABC的两条高. 求证：△ACE∽△ABD. 证明：证法1：∵线段BD，CE是△ABC的两条高， ∴CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC=∠ADB=90°. 又∵∠A=∠A，∴△ACE∽△ABD. 证法2：∵线段BD，CE是△ABC的两条高， ∴CE·AB=BD·AC，∴=，∴Rt△ACE∽Rt△ABD. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 12 9. （教材P112T9改编）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是边BC上一点，下列条件不能推出△ABP与△ECP相似的是 （　　） A. ∠APB=∠EPC B. ∠APE=90° C. P是BC的中点 D. BP∶BC=2∶3 C 练提升 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 13 10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，点P从点C出发，以1 cm/s的速度沿C→B→A运动，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），则运动时间为 （　　） A. s B. s C. s或 s D. s或 s D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 解析：∵∠ACB=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，∴BC===4（cm）. ①当△ACB∽△PCA时，则=，∴=，∴CP= cm. ∵点P从点C出发以1 cm/s的速度运动，∴运动时间为÷1=（s）. ②当△ACB∽△APC时，如图，则=，∴=，∴AP= cm， ∴BP=AB-AP=5=（cm），∴BP+BC=+4=（cm）. ∵点P从点C出发以1 cm/s的速度运动，∴运动时间为÷1=（s）. 综上所述，运动时间为 s或 s时，以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等）. 故选D. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 11. 如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，连接AC，CE，DE，AC与DE交于点F. 已知∠ADC=∠ACB=90°，且AC2=AB·AD. （1）求证：AC平分∠BAD； （2）若AC=，AB=2，求的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 解：（1）证明：∵AC2=AB·AD，∴=. 又∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB， ∴∠DAC=∠CAB，∴AC平分∠BAD. （2）∵AC2=AB·AD，AC=，AB=2，∴AD===. ∵∠ACB=90°，E为AB的中点， ∴AE=CE=BE=AB=×2=1，∴∠EAC=∠ECA. 又∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA. ∵∠AFD=∠CFE，∴△AFD∽△CFE，∴===. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 12. （新趋势·探究性问题）如图，点P在BD上，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D. （1）若AB=4，BP=3，PC=10，CD=6，求证：AP⊥PC； （2）若AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当△PCD与△ABP相似时，求BP的长. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 解：（1）证明：∵CD⊥BD，PC=10，CD=6， ∴PD==8，∴==. 又∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠PDC=90°， ∴△ABP∽△PDC，∴∠A=∠DPC. ∵∠A+∠APB=90°，∴∠DPC+∠APB=90°， ∴∠APC=90°，∴AP⊥PC. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 （2）当=时，∵∠ABP=∠PDC=90°， ∴△ABP∽△CDP，∴=，解得BP=8.4； 当=时，∵∠ABP=∠PDC=90°， ∴△ABP∽△PDC，∴=，解得BP=2或12. 综上所述，BP的长为8.4或2或12. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 13. （新定义·新概念问题）已知P是△ABC一边上的一点（P不与A，B，C重合），过点P的一条直线截△ABC，若截得的三角形与△ABC相似，则称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P为AC的中点，过点P的△ABC的“相似线”最多有________条. 练素养 3 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 解析：如图所示. ①过点P作PD∥BC，此时△APD∽△ACB； ②过点P作PE∥AB，此时△CPE∽△CAB； ③过点P作PF⊥AB，此时△APF∽△ABC； ④连接PB，∵PB>PC，PC=PA，∴PB>PA， ∴∠PBA<∠A=30°，∵∠CPB=∠A+∠PBA，∴∠CPB<60°，∴线段BC上不存在点G，使得∠CPG=60°，即△CPG∽△CBA的这种情形不存在. ∴过点P的△ABC的“相似线”最多有3条. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 目 录 导 航 23 $