专题01 三角形（竞赛培优专项训练，8大题型+竞赛真题）八年级数学全国通用

专题01 三角形 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 三角形 题型02等腰三角形 题型03三角形三边的不等关系 题型04三角形的中线 题型05三角形的角平分线 题型06三角形的高线 题型07三角形的内角和 题型08三角形的外角和 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 三角形 1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 3．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、点均在格点上，连接．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画一个直角三角形，使得，点在格点上； (2)在图②中，画一个锐角三角形，使得，点在格点上； (3)在图③中，画一个钝角三角形，使得，点在格点上． 考点二 等腰三角形 1．已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 2．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 3．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 4．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 考点三 三角形三边的不等关系 1．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 3．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 4．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 考点四 三角形的中线 1．在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 2．如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 3．如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 4．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 考点五 三角形的角平分线 1．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 3．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 4．已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 考点六 三角形的高线 1．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）．    3．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 4．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 考点七 三角形的内角和 1．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 2．已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 3．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 4．【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即 ），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 考点八 三角形的外角和 1．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 3．已知：在中，点D在边上，． (1)如图1，的平分线与，分别交于点E，F．求证：． (2)如图2，为的一个外角，的平分线与直线交于点H．判断与的数量关系，并说明理由． 4．如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 1．（2024八年级下·甘肃平凉·竞赛）边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（八年级上·广东梅州·竞赛）①如图一，，则； ②如图二，，则； ③如图三，，则； ④如图四，，则； 以上结论正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．②④ 3．（2025七年级下·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025九年级·全国·竞赛）如图，已知中，，的等分线与的等分线相交于、、、……、，则______． 5．（2023七年级·山东·竞赛）如图所示，在中，为底边上的中线，点E为中点，连接并延长，与相交于点，的面积为2，若，则的面积为____． 6．（七年级·江苏无锡·竞赛）已知的面积为1，E是的中点，O是的中点，连接并延长交于D，连接并延长交于F．则四边形的面积为______． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如果，求以，为边长的等腰三角形的周长． 8．（2024八年级上·广东梅州·竞赛）已知，，是的三边长，化简：． 9．（八年级·山东·竞赛）如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 10．（2023七年级下·山东临沂·竞赛）如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，C在A的南偏东方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角是多少度？ 11．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 12．（2023七年级下·浙江·竞赛）如图，在中，，分别交边，于点A，C，平分，点F在射线上，连接，在的右侧，且，已知，． (1)求的度数； (2)若与的某一边所在的直线平行，求的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01 三角形 题型02等腰三角形 题型03三角形三边的不等关系 题型04三角形的中线 题型05三角形的角平分线 题型06三角形的高线 题型07三角形的内角和 题型08三角形的外角和 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 三角形 1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选C． 2．已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 3．如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 4．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、点均在格点上，连接．在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画一个直角三角形，使得，点在格点上； (2)在图②中，画一个锐角三角形，使得，点在格点上； (3)在图③中，画一个钝角三角形，使得，点在格点上． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【详解】（1）解：如图即为所作； （2）如图即为所作； （3）如图即为所作． 考点二 等腰三角形 1．已知等腰三角形的两边长a，b满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】16或17 【详解】解：由题意，得解得 ①当腰长为5时， 所以能构成三角形，周长为； ②腰长为6时， 所以能构成三角形，周长为． 故该等腰三角形的周长为或． 故答案为：或． 2．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)；(2)4；(3)；(4)0.9或2.4或3.6 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 3．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒． (1)填空：当时，______（用含t的式子表示）； (2)经过几秒，的面积等于？ (3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】(1)；(2)秒或秒；(3)或 【详解】（1）解：在中, ，, 根据运动的特点可知：点运动的距离为， ∵, ∴, 即点在上, ∴, ∴, 故答案为: ； （2）解：∵在中， , ， 当点在上, 如图， 的面积等于15 ， ， ， 解得：(秒)； 当点在上, 如图, 此时：点P运动的距离为： 的面积等于15 ， ， ， ， ， ， 解得：(秒)； 综上：经过 秒或秒, 的面积等于； （3） 解：当是以为底边的等腰三角形时，如图， 即有 ， ， 根据运动的特点，可得点P运动的距离为：， ， 解得： (秒)； 当 是以为底边的等腰三角形时，如图， 过点作于点， ∵在等腰中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 根据运动的特点，可得点运动的距离为：， ∴， 解得：； 综上所述： 或． 4．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)；(2)；(3)时，为等腰直角三角形 【详解】（1）解：∵点P速度为，运动t秒，，， ∴， 点Q速度为，运动t秒， ∴； （2）解：当时，， 为直角三角形，面积= （cm²）； （3）解：∵长方形中，， ∴为等腰直角三角形时，，即 解得：； 验证：时，，符合题意． 考点三 三角形的三边不等关系 1．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 2．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 3．三个整数的和是17，那么这三个整数能够构成三角形的情况分析．设这三个整数分别为，，，且满足，显然，，所以，当时，，，为整数，所以 （1）①，②； （2）满足条件的，，共有③对． ①______，②______，③______． 【答案】 【详解】解：（1）当时，，，为整数， ∴， （2）当时，，，，为整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或， ∴，或， ∴，或， ∴，，或，， 当时，，，，为整数， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，或， ∴，或，，或（与“”矛盾，舍去） ∴，，或，，，或，，或，，，或，，，或，，，或，，或，，， ∴满足条件的，，共有对． 4．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)；(2)周长的最大值是17，最小值是13 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 考点四 三角形的中线 1．在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 2．如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】9 【详解】解：连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9． 3．如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【答案】 【详解】解：是边上的中线， ， 设, 则， 存在两种情况： ①， 则， 解得， 即， 则 此时符合三角形三边关系 ② 则 解得 即 则，与已知矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述． 4．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或；(2)2 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 考点五 三角形的角平分线 1．如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵、的平分线相交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 3．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知，点F是上一点，点E、N是上两点，连接、，过点E作交于点H，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，平分，过点F作于点K，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）证明：， 、， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：延长交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ． 考点六 三角形的高线 1．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 2．如图，在中，是的高线，是的角平分线．已知，，则的度数为________．（用含，的代数式表示）．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 4．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 考点七 三角形的内角和 1．如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 【答案】或 【详解】解：①当点在的右边时，如图所示， ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 2．已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 【答案】 /度 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）设． ， ， ， 在中，， 平分， ， 平分的邻补角， ， 在中， ， ． 3．如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为________（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵折叠， ， ， ． 4．【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即 ），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②或或 【详解】（1）∴ ∴； （2）解：，且． ． ∵、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ∴ ∴ （3）解：如图， 同（2）可得， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ②如图，当时，设垂足为 ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：，即 如图，当时，设垂足为， ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ 当时，如图， ∴ 综上所述， 或或． 考点八 三角形的外角和 1．如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 2．如图，在中，点在边上，，平分分别交，于点，．求证． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵，， ∴． 3．已知：在中，点D在边上，． (1)如图1，的平分线与，分别交于点E，F．求证：． (2)如图2，为的一个外角，的平分线与直线交于点H．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：平分， ． ，分别是，的外角， ，． ， ． (2)解：，理由如下： ，分别是，的外角， ，． ， ． 平分， ． ，． ． 4．如图1，直线与直线分别交于点G、H，平分交直线于点K，． (1)求证：； (2)如图2，点P在线段上，点N在线段上，平分，若，求的度数； (3)如图3，点M在线段上，点Q为射线上一动点且不与点G重合，连接，作的角平分线与相交于点R，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)或 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 即． ∵平分， ∴， ∴，即； （3）解：∵平分，平分， ∴令，． ∵， ∴． 当点Q在上时，如图所示， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴； 当点Q在延长线上时，如图所示， 同理可得，，， ∴， 综上所述，或． 1．（2024八年级下·甘肃平凉·竞赛）边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为， 因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， 解得， 又边长为整数， 所以x的取值为6，7，8，9，10． 即满足条件的等腰三角形三边长为： ；；；；；共5个． 答：边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有5个． 故选：B． 2．（八年级上·广东梅州·竞赛）①如图一，，则； ②如图二，，则； ③如图三，，则； ④如图四，，则； 以上结论正确的是（     ） A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【详解】①： 过图一的拐点作，由得． ∴，， ∴， ∴①错误． ②： 过图二的拐点作，由得． ∴，， ∴， ∴②正确． ③： 过图三的拐点作，由得． ∴； ∴； 又 ， 变形得，代入得， ∴③正确． ④： 设交于点，由得； ∴， ∴， ∴④正确． 综上，正确结论为②③④． 3．（2025七年级下·浙江·竞赛）如图，在四边形中，，点，分别在边，上，，，分别记四边形，四边形的面积为，．若，，则，的长分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：连接，，如图所示： 设四边形的高为h， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 4．（2025九年级·全国·竞赛）如图，已知中，，的等分线与的等分线相交于、、、……、，则______． 【答案】 【详解】解：∵中，， ∴， ∵的等分线与的等分线相交于、、、……、， ∴，， ∴， ． 故答案为：． 5．（2023七年级·山东·竞赛）如图所示，在中，为底边上的中线，点E为中点，连接并延长，与相交于点，的面积为2，若，则的面积为____． 【答案】24 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵为底边上的中线， ∴， 故答案为：24． 6．（七年级·江苏无锡·竞赛）已知的面积为1，E是的中点，O是的中点，连接并延长交于D，连接并延长交于F．则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：设，， ∵E是的中点，O是的中点， ∴，， ∴，，， ∵， ∴，即：， ∴， 同理：，，， ，解得：， ∴四边形的面积为． 7．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如果，求以，为边长的等腰三角形的周长． 【答案】13或11． 【详解】解：， ，， 解得，， ①当腰是5，底边是3时，三边长是5，5，3，，符合三角形的三边关系定理， ∴等腰三角形的周长是； ②当腰是3，底边是5时，三边长是3，3，5，，符合三角形的三边关系定理， ∴等腰三角形的周长是． 等腰三角形的周长为13或11． 8．（2024八年级上·广东梅州·竞赛）已知，，是的三边长，化简：． 【答案】 【详解】解： ，，是的三边长， ，，， ，，， ． 9．（八年级·山东·竞赛）如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 【答案】 【详解】解：是的中点， . 又是的中点， 同理：． ∴ ， . ∵F是的中点， ． 10．（2023七年级下·山东临沂·竞赛）如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西方向上，C在A的南偏东方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角是多少度？ 【答案】 【详解】解：依题意知，． ∵， ∴ ∴． ∴在中，． 11．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析；(2) 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 12．（2023七年级下·浙江·竞赛）如图，在中，，分别交边，于点A，C，平分，点F在射线上，连接，在的右侧，且，已知，． (1)求的度数； (2)若与的某一边所在的直线平行，求的度数． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $