专题05 三角形常考几何模型 专项训练（8大题型+15道拓展培优题）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形8大核心几何模型，以模型定义-性质推导-拓展应用为逻辑链，通过典型例题系统提炼解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |八字型|6道|∠A+∠B=∠C+∠D，角平分线结合|对顶角与内角和推导，拓展角平分线计算| |燕尾型|6道|∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP|内角和延伸，中线与面积转化| |箭头四角型|6道|∠BDC=∠A+∠B+∠C|凹四边形角度关系，角平分线n等分线应用| |双内角平分线|6道|∠BOC=90°+∠A/2|内角和与角平分线性质结合| |双外角平分线|6道|∠BOC=90°-∠A/2|外角性质与角平分线推导| |一内一外角平分线|6道|∠BOC=∠A/2|内外角平分线性质综合| |直角三角形互余|6道|同角（等角）的余角相等|直角三角形性质，折叠与互余转化| |折叠三角形|6道|折叠前后对应角相等|轴对称性质与内角和综合应用|

专题05 三角形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 八字型 题型二 燕尾型 题型三 箭头四角型 题型四 双内角平分线模型 题型五 双外角平分线模型 题型六 一内一外角平分线型 题型七 直角三角形互余模型 题型八 折叠三角形模型 【经典例题一 八字型】 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和的性质得出，，两等式相减得到，由此可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）略． 5．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1) 证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； (2)①(答案不唯一)；②；③ 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可； ②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和； 故答案为：； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）， 设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， ；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）① 略 ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 【经典例题二 燕尾型】 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）（燕尾模型）如图，在中，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍？ 【答案】7 【分析】本题考查常规图形面积的计算问题，难点在于不易把握边长间的关系.“如图，连接，可以求出与及与之间的面积比，从而得到三者的面积比，三者的面积和为的面积，从而可以求出的面积，同理可求和的面积，从而可以求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 所以，， ， 所以，， 又， 所以，， 同理，， 所以，阴影部分面积， 即的面积是阴影部分面积的7倍， 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ， ，， ， 即， ． 【分析】（1）根据及，可证明，再根据三角形内角和定理，即可求得答案； （2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）略 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】 解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】略 10．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图．    (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【答案】(1)，， (2)的角平分线，，，，的角平分线 (3) (4)， 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在中，，垂足为，则是边上的高，， 故答案为：，，； （2）解：若平分，交于点，则叫的角平分线，，叫的角平分线， 故答案为：的角平分线，，，，的角平分线； （3）解：若，则的中线是， 故答案为：； （4）解：若，则是的中线，是的中线， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 11．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 12．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【详解】（1）解： 与等底等高， ． 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． （3）解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 【经典例题三 箭头四角型】 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 14．（25-26八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 【答案】(1)105 (2)80 (3) (4)5 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可求出； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出； （3）先根据三角形内角和定理求得，再根据等分线的定义求得，即可求出； （4）依据（3）的结论即可求出的值． 【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，， ∴， ∴ （2）解：∵点2是与的三等分线的交点， ∴， ∴； （3）解：∵点是与的等分线的交点， ∴， ∴ （4）解：由（3）得：， 解得：． 15．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)；． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的内角和定理即可求解； （）根据（）中结论即可求解； 设，，根据（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由： 连接， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：由（）得， ∵，， ∴， 故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴． 16．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1） （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 17．（25-26七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②； （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3） 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【详解】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）略 （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， 18．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【经典例题四 双内角平分线模型】 19．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 【答案】 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴平分． 【分析】本题考查角平分线证明，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记角平分线的定义是解决问题的关键． 先由角平分线的定义及平行线性质得到，结合题意，等量代换得到，由等边对等角，结合平行线性质得到，进而由角平分线定义判定即可得证． 【详解】略． 20．（25-26七年级下·四川广安·期末）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】先证明，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，由角平分线的定义以及等量代换得出，即可得出． 【详解】略 21．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 22．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 23．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在锐角中，，分别是的高和角平分线，是直线（不与重合）上任意一点，且于．    (1)如图①，当点与点重合时，请你写出图中与、之间的数量关系吗?并说明理由． (2)如图②，当点在线段上时，若，则的度数为 ． 【答案】(1) ， 理由如下： ， ， ，， ，， 平分， ， ，， ， ； (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，推出，，由角平分线的定义可得，从而得到，推出，代入进行计算即可得到答案； （2）作于，由（1）同理可得：，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于，   ， 由（1）同理可得：， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（25-26七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) ， 证明：由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而可得，利用三角形内角和定理求解即可； （3）由（2）可得，，，由三角形内角和定理可得，由，可得，，利用三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理、解一元一次方程、平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【经典例题五 双外角平分线模型】 25．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，点C，D在直线上，． (1)求证：； (2)若，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得；    （2）由，可求．由，可知，则．由是的平分线，可得．由，可得，计算求解即可， 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，     ∴．     ∵是的平分线， ∴．     ∵， ∴，     ∴． 26．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整） 已知：如图，，平分，，求的度数． 解：因为，， 根据____________， 所以． 又因为平分，， 所以______． 根据“两直线平行，同旁内角互补” ． 所以______． 所以． 根据____________， 所以． 【答案】 解：因为，， 根据两直线平行，同位角相等， 所以． 又因为平分， 所以． 根据“两直线平行，同旁内角互补” ． 所以 所以． 根据对顶角相等， 所以． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，对顶角相等．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线，对顶角相等是解题的关键．按照步骤作答即可． 【详解】略 27．（25-26七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2） 略 （3） 略 28．（25-26七年级下·天津宁河·阶段检测）如图，填空完成下面的证明： 已知：如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）       又∵（已知） ∴（ ） ∵（已知） ∴___________（ ）           又∵平分（已知） ∴∠________（ ） 又∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（_______） ∴____________ ∴（ ） 即． 【答案】两直线平行，内错角相等；，两直线平行，同旁内角互补；，角平分线的定义；；；等量代换 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质可得、，再由角平分线的定义可得，从而可得，再利用等量代换即可求解． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等），       又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴（等量代换）， 即． 29．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，与相交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；    （3） 【分析】（1）过点P作，由平行线定理可得，根据平行线的性质可得，，即，即可求解； （2）如图，与相交于点N，根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理和平角的定义，利用等量代换可得，即可得证； （3）如图，与相交于点O，由对顶角相等和三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得由（2）可得，，进行等量代换即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴；    （2）略 （3）如图，与相交于点O， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、对顶角相等、平行线性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 30．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）【问题初探】 （1）课堂上，李老师提出问题：如图1，，点是上的点，点是上的点，点是和之间的一点，连接． 求证：； 请你利用图2的辅助线，证明这个问题； 【类比分析】 （2）如图3，，点、点分别是上的点，点和点位于直线和之间，射线平分，射线平分，射线和相交于点．探究，和三个角之间的数量关系： 【学以致用】 （3）如图4，直线，点在直线上，点在直线上，连接，作和的平分线交于点，若，求的度数．（用含的式子表示）（三角形内角和） 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用． （1）如图2，过点作，则有，利用平行线的性质得出，，则可证明结论． （2）设，由角平分线的定义可得出，，由于，可利用（1）的结论表示出，，以及，代入即可得出答案． （3）过点作，由三角形内角和定理可得出，由平行线的性质可得出，由角平分线的性质可得出，，即可得出，结合（1）的结论即可求出 的度数． 【详解】证明：（1）如图2，过点作，则有， ，， ∴， 即． （2）设，如下图所示： 分别平分， ，， ，， ∵， 由（1）可知：，， ， ∴， ． （3）过点作，如下图所示： ∵， ， ， ， ，分别是和的角平分线， ，， ， ， 由（1）知，． 【经典例题六 一内一外角平分线型】 31．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵分别平分和， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、垂直的判定、平行线的判定与性质以及角度的计算．解题的关键是熟练运用相关几何性质，通过角之间的关系建立等式求解． （1）根据角平分线性质表示出相关角，再利用平角为推导出为，从而判定． （2）由等角对等边判定结合平行线性质和角平分线定义得到角之间的倍数关系，再根据已知角度关系列方程求出，最后结合 的度数求出． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 32．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，直线分别交射线、于点、，连接和，，，平分． (1)证明：； (2)是否平分？请说明理由． 【答案】(1) 解： ∵，， ∴， ∴； (2) 解：平分．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据邻补角以及“同位角相等，两直线平行”即可证明； （2）先证明，再根据平行线的性质与角平分线的定义，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 33．（25-26七年级下·江西新余·期末）如图，已知，直线与相交于点，． （1）求，的度数； （2）求证：平分． 【答案】（1）36°，72°； （2）证明：∵ ∠EBA=180°-∠2-∠1=180°-72°-36°=72°， ∴∠EBA=∠2， 即BA平分∠EBF． 【分析】（1）根据平行线的性质与角度的比值求得∠2的度数，再求得∠1的度数即可； （2）根据∠EBA与互补求得∠EBA的度数即可得证． 【详解】解：（1）∵， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2：∠3=2：3， ∴∠2= =72°． ∵∠1：∠2=1：2， ∴∠1= =36°； （2）略． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点并能灵活运用逻辑推理进行证明． 34．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，，，是的角平分线．试说明： 证明： 是的角平分线 ∴________（角平分线的定义） 又（已知） （     ） ∴________（     ） （     ） 又（已知） ∴_________（     ） （     ） 【答案】；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线定义得到两个角相等．结合已知，通过等量代换得到．如果内错角相等，那么两直线平行，据此判定对应的两条直线平行．根据两直线平行，同旁内角互补，得到．结合已知，通过同角的补角相等得到两个角相等．最后根据同位角相等或者内错角相等，判定． 【详解】证明： 是的角平分线， ∴（角平分线的定义）． 又（已知）， （ 等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 35．（25-26七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 【答案】垂直的定义；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3； 【分析】根据垂线的定义，可得，从而得到，进而得到，，即可解答． 【详解】略 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）请把下面证明过程补充完整： 已知：如图，于点，点在的延长线上，于点，交于点，． 求证：平分． 证明：，（已知）， （______）， （______）， （______）， （______）． 又（已知）， （______）， 平分（______）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题考查的知识点是垂直的定义、平行线的性质与判定、等量代换、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质与判定． 由垂直定义推得，根据平行线的性质可得，，由等量代换可证，则根据角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【经典例题七 直角三角形互余模型】 37．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． (2)和有什么关系？和呢？ 【答案】(1)解：图中有三个直角三角形，分别是、、； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是； 的直角边是、，斜边是． (2)与互为余角，． 【分析】（1）依据，即可得到直角三角形及其直角边和斜边． （2）依据余角的定义以及同角的余角相等，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 与互为余角， ，， ． 39．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，，求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠性质得出，根据三角形外角性质得出，． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 40．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先证明，得到，结合，得到，即可得到； （2）根据平行线的性质求出，结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 42．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【答案】(1) 证明：∵为的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． (2)、和 【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识， （1）由直角三角形两个锐角互余得出，且，则有结论成立． （2）根据题意可知，进一步得到，则有，即；由题意得，则；由题意得，结合，则有成立． 【详解】（1） 略 （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ∵为的高线，， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴， 故与相等的角有、和 【经典例题八 折叠三角形模型】 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 【答案】(1) (2) 证明：由折叠可知，． ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形综合题，涉及翻折变换，三角形的内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题， （2）由折叠可知和，由得出，再根据三角形外角的性质可得出，从而得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴． （2）略 45．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵P，Q分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点H，设射线交于K，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 46．（25-26八年级上·全国·期中）直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． (1)如果，那么的度数 (2)如果，求的度数； (3)若折叠后的与均为等腰三角形，那么纸片中的度数是多少？ 【答案】(1)55 (2) (3)或 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，等腰三角形的性质： （1）三角形的外角求出的度数，折叠得到，即可得解； （2）折叠得到，求出的度数，再根据三角形的外角的性质求解即可； （3）分和和三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴， ∵由折叠可得，， ∴； 故答案为：55； （2）由折叠可得，， ∵是的一个外角， ∴； （3）∵是等腰三角形，， ∴ ∴， 由折叠可得， ∵是等腰三角形， ①当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时，， ∴，不合题意，舍去； 综上：或． 47．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　 　． （2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'． ①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由； ②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数． 【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30° 【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论； （2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论； ②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB， ∵∠AOB＝58°， ∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°， 故答案为：29°； （2）①∠AOC+∠BOD＝90°， 理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC， ∴∠AOA'＝2∠AOC， 由折叠知，∠BOD＝∠B'OD， ∴∠BOB'＝2∠BOD， ∵点B'落在OA'， ∴∠AOA'+∠BOB'＝180°， ∴2∠AOC+2∠BOD＝180°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°； ②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD， ∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°， ∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°， ∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°， 即∠A'OB'的度数为30°． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 48．（25-26七年级下·全国·单元复习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】（1）80，110，； （2）．理由： ∵，是的两个外角， ∴，， ， ，即． （3）117 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，同理求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，，整理即可得解； （3）由（2）可得，再由角平分线的定义并结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）点沿折叠落在点的位置， ∴，， ∴，． 在中，， ， 整理，得． 同理可得：若，则． 若，则． （2）略 （3）， 由（2），得， ． 平分，平分， ， ． 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且，则图中的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的性质，由是的中点可得，，即得，进而由是的中点即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ，， ∴， 是的中点， ， 故选：． 4．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 三角尺的两条直角边，分别经过点，， ， 在中，， ． 6．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 7．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 【答案】/度 【分析】设，，用两种方法表示，求出的值，进而解题． 【详解】解：设，， 则，， ∵， ∴，， ∵， ， ∴， 化简得， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 【答案】50 【分析】连接，利用三角形内角和定理得出，接着求得，再在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等得到的度数，最后在 中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（2026·上海嘉定·一模）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么的度数为______°． 【答案】60 【分析】先由题意得到∠A=，∠B=，根据直角三角形两锐角互余求得结果． 【详解】∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°， ∴∠A=，∠CPB=, ∵CP∥AB， ∴∠B=∠CPB=, ∴=-∠B=, 故答案为：60． 【点睛】此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B的俯角为30°得到∠B=是解题的关键． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，于点，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，，，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．由可得，进而得到，由作图可知，平分，得到，推出，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等 【分析】由角平分线的定义可得，结合题意得出，从而可得，再证明出，即可得证． 【详解】解：∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) 解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）略 13．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 14．（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握“字”的定义是解此题的关键 （1）利用三角形内角和定理解决问题即可； （2）根据“字”的定义即可解决问题； （3）利用（1）中结论解决问题即可 【详解】（1）证明：在中，． 在中，． ， ； （2）解：如图：令、交于点，、交于点，、交于点， 由图可得：图中有“字”、“字”、“字”，“字”、“字”、“字”，共有个“字”； （3）解：在“字”中，由（1），可得． 在“字”中，由（1），可得． 由，得． 平分，平分， ，． ∴，即 15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 八字型 题型二 燕尾型 题型三 箭头四角型 题型四 双内角平分线模型 题型五 双外角平分线模型 题型六 一内一外角平分线型 题型七 直角三角形互余模型 题型八 折叠三角形模型 【经典例题一 八字型】 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 2．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 5．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：_________； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出，，之间的关系（不需要证明）． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【经典例题二 燕尾型】 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）（燕尾模型）如图，在中，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍？ 8．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 10．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图．    (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 11．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 12．（25-26八年级上·全国·期末）发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； (2)如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； (3)如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【经典例题三 箭头四角型】 13．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 14．（25-26八年级上·全国·期末）已知中，． (1)如图①，、的角平分线交于点，则 °． (2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °． (3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）． (4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值． 15．（25-26七年级下·四川遂宁·阶段检测）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． (1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由； (2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： 如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 16．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 17．（25-26七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 18．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【经典例题四 双内角平分线模型】 19．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 20．（25-26七年级下·四川广安·期末）填充证明过程和理由： 已知：如图，平分，求证：． 证明：， ____________（同位角相等，两直线平行） （______________________） ____________（同角的补角相等）． 又平分 （角平分线的定义）． ____________（等量代换） ∴（______________________） 21．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 22．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 23．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在锐角中，，分别是的高和角平分线，是直线（不与重合）上任意一点，且于．    (1)如图①，当点与点重合时，请你写出图中与、之间的数量关系吗?并说明理由． (2)如图②，当点在线段上时，若，则的度数为 ． 24．（25-26七年级下·山西晋城·期中）综合与实践 学习完三角形后，同学们在刘老师的带领下对三角形进一步探讨研究． 问题：已知如图1，． (1)问题解决：若，则 ； (2)拓展延伸：刘老师继续添加条件，如图2，E是上一点，过E作交于点F，作的平分线，交于点D，若，求的度数； (3)深入探讨：在（2）的条件下，刘老师继续添加条件，如图3，连接，且，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【经典例题五 双外角平分线模型】 25．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，点C，D在直线上，． (1)求证：； (2)若，的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数．         26．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整） 已知：如图，，平分，，求的度数． 解：因为，， 根据____________， 所以． 又因为平分，， 所以______． 根据“两直线平行，同旁内角互补” ． 所以______． 所以． 根据____________， 所以． 27．（25-26七年级下·广东佛山·期末）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 28．（25-26七年级下·天津宁河·阶段检测）如图，填空完成下面的证明： 已知：如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）       又∵（已知） ∴（ ） ∵（已知） ∴___________（ ）           又∵平分（已知） ∴∠________（ ） 又∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（_______） ∴____________ ∴（ ） 即． 29．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则之间有何数量关系?并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含α的式子表示）．    30．（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）【问题初探】 （1）课堂上，李老师提出问题：如图1，，点是上的点，点是上的点，点是和之间的一点，连接． 求证：； 请你利用图2的辅助线，证明这个问题； 【类比分析】 （2）如图3，，点、点分别是上的点，点和点位于直线和之间，射线平分，射线平分，射线和相交于点．探究，和三个角之间的数量关系： 【学以致用】 （3）如图4，直线，点在直线上，点在直线上，连接，作和的平分线交于点，若，求的度数．（用含的式子表示）（三角形内角和） 【经典例题六 一内一外角平分线型】 31．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（25-26七年级下·安徽六安·期末）如图，直线分别交射线、于点、，连接和，，，平分． (1)证明：； (2)是否平分？请说明理由． 33．（25-26七年级下·江西新余·期末）如图，已知，直线与相交于点，． （1）求，的度数； （2）求证：平分． 34．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：如图，，，是的角平分线．试说明： 证明： 是的角平分线 ∴________（角平分线的定义） 又（已知） （     ） ∴________（     ） （     ） 又（已知） ∴_________（     ） （     ） 35．（25-26七年级下·北京·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：平分． 证明：，， ，（ ① ）． ． ② ③ （ ④ ）． （ ⑤ ）． ， 又， ∠ ⑥ ⑦ ． 平分（角平分线定义）． 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）请把下面证明过程补充完整： 已知：如图，于点，点在的延长线上，于点，交于点，． 求证：平分． 证明：，（已知）， （______）， （______）， （______）， （______）． 又（已知）， （______）， 平分（______）． 【经典例题七 直角三角形互余模型】 37．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 38．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． (2)和有什么关系？和呢？ 39．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，，求的度数． 40．（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，，求的度数． 41．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 42．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【经典例题八 折叠三角形模型】 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 44．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知在中，于点D． (1)如图1，若的平分线交于点E，，，则的度数为______． (2)如图2，点M、N分别在线段、上，将折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为和，点G、F均在直线上，若，试说明． 45．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点F． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点A与点F重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若P，Q分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出与之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 46．（25-26八年级上·全国·期中）直角三角形纸片中，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边上，记落点为D，设折痕与边分别交于点E、F． (1)如果，那么的度数 (2)如果，求的度数； (3)若折叠后的与均为等腰三角形，那么纸片中的度数是多少？ 47．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　 　． （2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'． ①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由； ②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数． 48．（25-26七年级下·全国·单元复习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处． 【观察猜想】 （1）如图①，若，则___________°； 若，则___________°； 若，则___________°； 【探索证明】 （2）利用图①，探索与的关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数． 1．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且，则图中的面积是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 7．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，长方形纸片中，为边上一点，将纸片沿，折叠，点落在点的位置，点落在点的位置（点在点右侧）．若，则__________． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件， ，则_______． 9．（2026·上海嘉定·一模）如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么的度数为______°． 10．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，于点，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，，，则______（用含的代数式表示）． 11．（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 13．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 14．（25-26八年级上·安徽池州·阶段检测）如图①，与相交于点，得到一个“字”． (1)求证：. (2)如图②，其中共有几个“字” (3)如图②，若，分别是，的平分线，利用（1）中的结论，求证：． 15．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 学科网（北京）股份有限公司 $