单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（知识梳理 例题讲解 提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版）

该小学数学单元复习讲义通过框架图系统梳理三角形知识体系，涵盖定义、边关系、角分类、边分类、内角和、高等核心知识点，用对比表格区分按角与按边分类标准，思维导图呈现三边关系与内角和定理的内在逻辑，突出稳定性、第三边取值范围等重难点。 讲义亮点在于练习设计联系生活实际，如“一步能否走1.5米”用三边关系分析，培养数学眼光观察现实世界。易错指引针对三边关系判断、高的位置等常见错误，强化数学思维中的推理意识。基础题与拔高题兼顾不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握三角形知识。

单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 知识点一、三角形的定义与基本特征 1. 三角形的定义 由三条线段首尾依次相接围成的封闭平面图形，叫做三角形。三角形是最基础的封闭直线图形，围成图形的三条线段不能交叉、不能缺口，必须完全封闭。 2. 三角形的各部分名称 三角形有三条边、三个顶点、三个内角。两条边相交的点叫做顶点，相邻两条边形成的夹角叫做三角形的内角。 3. 三角形的核心特性 三角形具有稳定性，不易变形，受力后形状保持固定，是生活中广泛应用的结构特性；四边形等图形容易拉伸变形，不具备稳定特性。 知识点二、三角形边的关系 1. 三边关系核心定理 三角形任意两边的和大于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的唯一标准，必须满足所有组合关系。 2. 快速判定规律 在三条线段中，只要最短的两条线段之和大于最长线段，即可围成三角形，无需验证所有组合，其余两组关系会自动成立。 3. 三边关系反向结论 三角形任意两边的差小于第三边。可用于已知两条边长，推理第三条边的取值范围。 4. 第三边取值范围 已知三角形两条边长度，第三条边的长度必须大于两条边的差、小于两条边的和，超出该范围无法围成三角形。 知识点三、三角形的分类（按角分类） 1. 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于90°）的三角形，叫做锐角三角形。锐角三角形无直角、无钝角，三个角度全部偏小。 2. 直角三角形 有一个内角是直角（等于90°）的三角形，叫做直角三角形。直角三角形仅有一个直角，剩余两个角均为锐角。直角三角形中，最长的边叫做斜边，另外两条短边叫做直角边，斜边长度大于任意一条直角边。 3. 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，叫做钝角三角形。钝角三角形仅有一个钝角，剩余两个角均为锐角。 4. 按角分类整体规律 任意一个三角形，至少有两个锐角；最多有一个直角或一个钝角，不可能同时出现两个直角、两个钝角，或直角钝角共存。 知识点四、三角形的分类（按边分类） 1. 等腰三角形 有两条边长度相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等。 2. 等边三角形 三条边长度全部相等的三角形，叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形三个内角完全相等，每个角都是60°。 3. 不等边三角形 三条边长度全部不相等的三角形，叫做不等边三角形，三个内角度数也各不相同。 4. 两类分类体系关系 按角、按边是两套独立分类标准，可交叉对应。等边三角形一定是锐角三角形；等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 知识点五、三角形的内角和 1. 内角和定理 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状、分类类型无关，所有三角形内角和恒定不变。 2. 内角和推导思想 通过剪拼、折叠、测量推算等方法，可将三角形三个内角拼成一个平角，平角为180°，验证三角形内角和规律。 3. 内角计算通用方法 已知三角形两个内角度数，用180°连续减去两个已知角的度数，即可求出第三个内角的度数。 4. 特殊三角形内角特征 直角三角形两个锐角的和是90°；等腰三角形已知顶角可求底角，已知底角可求顶角；等边三角形三个角固定为60°。 知识点六、三角形的高与底 1. 底和高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。高与对应的底互相垂直。 2. 三角形高的数量 任意三角形都有三条底和对应的三条高，每条边都可以当作底，对应一条唯一的高。 3. 不同三角形高的位置 锐角三角形的三条高全部在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在内部。 易错指引 1. 三边关系易错 误以为任意两条线段都能围成三角形；未判断最短两边之和，直接凭经验判定；记错第三边取值范围，漏看大于两边之差。 2. 三角形分类易错 混淆两套分类标准；误认为有一个锐角就是锐角三角形；误认为等腰、等边三角形是独立分类，忽略等边属于特殊等腰。 3. 内角和易错 误认为大三角形内角和更大、小三角形内角和更小；拆分拼接三角形后，错误改变单个三角形内角和度数。 4. 高的概念易错 误认为三角形只有一条高；不会区分钝角三角形外部高；画高不垂直、不对应底边，高与底不匹配。 5. 特殊三角形易错 记错等边三角形内角度数；误以为直角三角形两个锐角相加不等于90°；等腰三角形底角、顶角计算逻辑混淆。 6. 特性易错 混淆三角形稳定性与四边形易变形特性，生活应用场景判断错误。 一、例题讲解 【例题】 1．现有5厘米、8厘米的小棒各一根，请你再选一根长度是整厘米数的小棒围成三角形，这个三角形的周长最大是( )厘米，最小是( )厘米。 【答案】 25 17 【分析】根据三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据已有的两个边长，可求出第三条边的取值范围，进而找出第三条边最大和最小的长度，再加上另外两条边的长度即可求出三角形的最大周长和最小周长。 【详解】5＋8＝13（厘米） 8－5＝3（厘米） 第三条边的长度大于3厘米，小于13厘米，又因为其长度是整厘米数，所以第三条边最长是12厘米，最短是4厘米。 最大周长：5＋8＋12＝25（厘米） 最小周长：5＋8＋4＝17（厘米） 【例题】 2．玲玲有两根小棒，一根长8厘米，一根长3厘米，想围成一个三角形，第三根小棒最长是( )厘米。（小棒长度取整厘米数）。 【答案】10 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，据此解答即可。 【详解】3＋8＝11（厘米） 11－1＝10（厘米） 第三根小棒的长度小于11厘米，所以最长是10厘米。 【例题】 3．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，怎样走最近，是多少千米？最远的路程是多少千米？最近的路程与最远的路程相差多少千米？（用笔描粗最近和最远的路线） 【答案】 0.82千米。 1.92千米   1.1千米 【分析】从题中主题图可以发现，笑笑从家到奶奶家有4条路，分别是直接去奶奶家直线1条和曲线1条，或者先经过商场再去奶奶家以及先经过学校再去奶奶家。根据两点之间线段最短，得出直线比曲线近，还可以看出图中直线和另外两条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知走直线直接去奶奶家那条路最近；再分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】根据：两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边可知走直接去奶奶家那条线段路最近，是0.82千米； 1.17＋0.75＝1.92（千米） 0.56＋0.96＝1.52（千米） 0.82＜1.05＜1.52＜1.92 1.92－0.82＝1.1（千米） 最远的路程是1.92千米，最近的路与最远的路相差1.1千米。 用笔描粗最近和最远的路线略。 【例题】 4．聪聪腿长约0.65米，他说自己一步能走1.5米”（如图），请用三角形三边关系说一说他说得对不对？ 【答案】两条腿长度加起来是0.65＋0.65＝1.3 米，1.3米＜1.5米，不符合“两边之和大于第三边”的三角形三边关系，因此他不可能一步走1.5米，所以聪聪说的不对。 【分析】把聪聪的两条腿和步长看作三角形的三条边，因为三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，所以先计算两条腿长度之和，将两腿长度之和与声称的步长比较，判断是否符合三角形三边关系。 【详解】略 真题拔高 二、填空题 5．蜜蜂的蜂巢都是由正六边形的小巢室排列而成的，正六边形的六个内角的度数都是一样的。那么正六边形的内角和是( )°。 【答案】720 【分析】根据多边形内角和公式：内角和＝（n－2）×180°（n为边数，n大于等于3），确定边数n＝6，代入公式算出六边形内角和。 【详解】（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 6．一个三角形两条边分别长6cm、10cm，第三条边最短是( )cm（取整厘米）。 【答案】5 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算出第三条边的取值范围，然后确定第三条边最短是多少。 【详解】6＋10＝16（cm） 10－6＝4（cm） 4cm＜第三条边＜16cm 取整厘米，第三条边最短取值为4＋1＝5（cm）。 7．∠1，∠2，∠3是一个三角形的3个内角。如果∠1＝50°，∠2＝70°，那么∠3＝( )°。 【答案】60 【分析】三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去∠1与∠2的度数和，即可算出∠3的度数。 【详解】180°－（50°＋70°） ＝180°－120° ＝60° 如果∠1＝50°，∠2＝70°，那么∠3＝60°。 8．一个三角形三条边的长度都是整厘米。其中两条边的长度分别是10厘米和13厘米，第三条边最长是( )厘米。 【答案】22 【分析】三角形三条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，此题依此计算并填空即可。 【详解】10＋13＝23（厘米） 13－10＝3（厘米） 3厘米＜第三边长度＜23厘米，因为三条边的长度都是整厘米数，因此第三边最长为22厘米。 9．梯形的内角和是( )度，正六边形的内角和是( )度。 【答案】 360 720 【分析】梯形属于四边形，从梯形的一个顶点出发画一条对角线，四边形可以分割成2个三角形；从正六边形的一个顶点出发画对角线，六边形可以分割成4个三角形。已知三角形的内角和是180度，乘分割出的三角形个数，用乘法即可求出多边形的内角和。 【详解】180×2＝360（度） 180×4＝720（度） 10．一个等腰三角形，它的两条边长是8厘米和4厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】20 【分析】等腰三角形的两腰相等；根据三角形边的特性，任意两边的和大于第三边；先判断腰的长度，再计算周长。 【详解】如果腰是4厘米，4＋4＝8（厘米），8＝8，不能围成三角形。 如果腰是8厘米，4＋8＝12（厘米），12＞8，能围成三角形。 所以，腰是8厘米，底是4厘米。 周长：8＋8＋4＝20（厘米） 11．将30dm长的铁丝剪成3段，第一段长15.1dm，第二段长8.4dm，第三段长( )dm，这三段铁丝( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”）。 【答案】 不能 【分析】根据题意，铁丝总长度减去第一段和第二段的长度，即可求出第三段的长度。判断三条线段能否围成三角形，依据是三角形任意两边之和大于第三边，通常只需验证两条较短边的和是否大于最长边。 【详解】30－15.1－8.4 ＝14.9－8.4 ＝6.5（dm） 8.4＋6.5＝14.9（dm） 14.9dm＜15.1dm 将30dm长的铁丝剪成3段，第一段长15.1dm，第二段长8.4dm，第三段长6.5dm，这三段铁丝不能围成一个三角形。 12．一根铁丝围成一个三角形，其中两条边长分别为5厘米和8厘米，第三条边最长是( )厘米。（边长取整厘米数） 【答案】 12 【分析】根据三角形的性质，三角形任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度，第三条边的长度必须小于这两条边的和。题目要求边长取整厘米数，因此在小于两边和的范围内寻找最大整数即可得出结果。 【详解】（厘米） 第三条边的长度必须小于13厘米。 因为边长取整厘米数，小于13的最大整数是12。 三、选择题 13．一根吸管长15cm，芳芳要把它分成三段围成一个三角形，其中一段长5cm，剩下的部分可以分成（    ）。 A．9cm和1cm B．8cm和2cm C．4cm和6cm D．以上都正确 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。也就是说，如果三条线段的长度分别为a、b、c，那么要能围成三角形，必须满足a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，在实际判断时，通常只需判断较短两边之和是否大于第三边即可。 【详解】剩余两段总长度：（cm） A．（cm），6＜9，不符合三边关系，无法围成三角形。 B．（cm），7＜8，不符合三边关系，无法围成三角形。 C．4＋5＝9（cm），9＞6，可以围成三角形。 D．C选项可以围成三角形，所以D选项错误。 14．把一根12cm长的铁丝剪成3段，以下不能围成三角形的剪法是（    ）（单位：厘米）。 A．3，4，5 B．3，3，6 C．4，4，4 D．5，5，2 【答案】B 【分析】判断三根铁丝能否围成三角形，依据是三角形任意两边之和大于第三边，只需计算较短两边的和，与最长边比较即可。 【详解】A．最长边为5，，而，可以围成； B．最长边为6，，不满足两边之和大于第三边，不能围成； C．，，可以围成； D．最长边为5，，而，可以围成。 因此，把铁丝剪成3厘米，3厘米，6厘米时不能围成三角形。 15．已知三角形的两条边分别是6cm和9cm，另一条边可能是（    ）cm。 A．15 B．10 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先确定第三边的取值范围，再对应选项判断即可。 【详解】（cm） （cm） 第三边的长度应大于3cm，小于15cm。 A．，不符合要求； B．，符合要求； C．，不符合要求； D．，不符合要求。 所以，另一条边可能是10cm。 16．一个三角形的三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是5cm、8cm，第三条边可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，求出第三条边的取值范围，即可求得。 【详解】5＋8＝13（cm） 8－5＝3（cm） 因为3cm＜第三条边＜13cm，所以第三条边可能是5cm。 17．有长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小棒各一根，用其中三根小棒可以围成一个三角形的是（    ）。 ①3cm，4cm，5cm    ②3cm，4cm，8cm    ③3cm，5cm，8cm A．① B．② C．③ D．以上都可以 【答案】A 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根小棒的长度和是否大于最长小棒的长度，满足该条件即可围成三角形。 【详解】①组：最长边为5cm，较短两边和为3＋4＝7，7＞5，可以围成三角形。 ②组：最长边为8cm，较短两边和为3＋4＝7，7＜8，不能围成三角形。 ③组：最长边为8cm，较短两边和为3＋5＝8，8＝8，和等于最长边，不能围成三角形。 综上可得，只有①符合要求。 四、判断题 18．三角形的内角和可能小于180°。( ) 【答案】× 【分析】任意三角形的内角和都是固定的180°，和三角形的种类无关。 【详解】所有三角形的内角和都是180°，所以原题说法错误。 故答案为：× 19．用长度分别为2厘米、4厘米和6厘米的三根小棒，能围成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，不满足三边关系，就不能构成三角形，据此解答即可。 【详解】2＋4＝6，不满足三边关系，不能围成三角形。 用长度分别为2厘米、4厘米和6厘米的三根小棒，不能围成一个三角形。原题说法错误。 故答案为：× 20．三根长度分别是2厘米、2厘米、5厘米的小棒可以拼成一个等腰三角形。( ) 【答案】× 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。 先根据三角形三边关系判断三根小棒能否拼成三角形，再判断是否能拼成等腰三角形。 【详解】2＋2＝4（厘米），4＜5，不能拼成三角形，原题说法错误。 故答案为：× 21．六边形的内角和是720°。( ) 【答案】√ 【分析】已知三角形的内角和为180°，计算多边形内角和时，可从多边形的一个顶点出发，连接与该顶点不相邻的其余顶点，将多边形分割为若干个三角形，多边形的内角和等于所有分割出的三角形的内角和总和。 六边形有6条边，分割后，得到的三角形个数比边数少2，也就是4个（如下图），4个三角形的内角和为720°。 【详解】180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 即六边形的内角和是720°。 故答案为：√ 22．有两根长度分别是6厘米和9厘米的小棒，能围成三角形的第三根小棒（长度取整厘米数）最短是4厘米。( ) 【答案】 √ 【分析】依据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的特性，求出第三根小棒的长度范围即可判断。 【详解】9－6＝3（厘米），6＋9＝15 （厘米）， 可得第三根小棒的长度需满足：3＜第三边＜15，长度取整厘米数时，最短是4厘米，符合题干说法。 故答案为：√ 五、计算题 23．求下面各角的度数。 ∠2＝( )      ∠3＝( ) 【答案】 45°/45度 138°/138度 【分析】三角形的内角和是180°，未知角的度数＝三角形内角和减去另外两个已知角的度数，列式计算即可。 【详解】∠2＝ ＝ ∠3＝ 六、解答题 24．如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 【答案】40°和20° 【分析】先根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法，求出另一个内角；再根据三角形内角和等于180°，用180°分别减去120°和另一个内角的度数，求出第三个内角的度数。 【详解】120°÷3＝40° 180°－120°－40° ＝60°－40° ＝20° 答：其余两个内角的度数分别是40°和20°。 25．一根铁丝正好可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边为20厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的三条边分别是多少厘米？ 【答案】20厘米、14厘米、14厘米 【分析】先根据正方形边长算出铁丝总长度，正方形的周长＝边长×4，再结合等腰三角形的底边长度求出腰长，用总长度减去底边长度的差，再除以2即可，最后验证三边是否满足三角形三边关系。 【详解】12×4＝48（厘米） （48－20）÷2 ＝28÷2 ＝14（厘米） 14＋14＝28（厘米） 28＞20，满足三角形三边关系。 答：这个等腰三角形的三条边分别是20厘米、14厘米、14厘米。 26．周日，小宇在家做数学小实践。他把一根12厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。这个三角形的三边长分别是多少厘米？（写出所有可能） 【答案】5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，那么最长边小于周长的一半，再按顺序列举所有整厘米数的组合，避免重复或遗漏。 【详解】12÷2＝6（厘米），最长边小于6厘米 当最长边为5厘米时 另外两边之和：12－5＝7（厘米） 三角形三边为：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米； 当最长边为4厘米时， 另外两边之和为：12－4＝8（厘米） 三角形三边为：4厘米、4厘米、4厘米 答：这个三角形的三边长可能是：5厘米、5厘米、2厘米；5厘米、4厘米、3厘米；4厘米、4厘米、4厘米。 27．王伯伯在采摘树顶的杏子时需要使用折叠梯，现在梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。请通过计算，判断这时梯子是否符合安全使用条件。 【答案】 符合 【分析】梯子的正面示意图是一个等腰三角形，先利用三角形内角和为算出梯子上部的夹角度数，再和安全角度范围比较，判断是否符合条件。 【详解】 答：上部夹角在安全使用的角度范围内。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题02 三角形的再认识（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 知识点一、三角形的定义与基本特征 1. 三角形的定义 由三条线段首尾依次相接围成的封闭平面图形，叫做三角形。三角形是最基础的封闭直线图形，围成图形的三条线段不能交叉、不能缺口，必须完全封闭。 2. 三角形的各部分名称 三角形有三条边、三个顶点、三个内角。两条边相交的点叫做顶点，相邻两条边形成的夹角叫做三角形的内角。 3. 三角形的核心特性 三角形具有稳定性，不易变形，受力后形状保持固定，是生活中广泛应用的结构特性；四边形等图形容易拉伸变形，不具备稳定特性。 知识点二、三角形边的关系 1. 三边关系核心定理 三角形任意两边的和大于第三边。这是判断三条线段能否围成三角形的唯一标准，必须满足所有组合关系。 2. 快速判定规律 在三条线段中，只要最短的两条线段之和大于最长线段，即可围成三角形，无需验证所有组合，其余两组关系会自动成立。 3. 三边关系反向结论 三角形任意两边的差小于第三边。可用于已知两条边长，推理第三条边的取值范围。 4. 第三边取值范围 已知三角形两条边长度，第三条边的长度必须大于两条边的差、小于两条边的和，超出该范围无法围成三角形。 知识点三、三角形的分类（按角分类） 1. 锐角三角形 三个内角都是锐角（小于90°）的三角形，叫做锐角三角形。锐角三角形无直角、无钝角，三个角度全部偏小。 2. 直角三角形 有一个内角是直角（等于90°）的三角形，叫做直角三角形。直角三角形仅有一个直角，剩余两个角均为锐角。直角三角形中，最长的边叫做斜边，另外两条短边叫做直角边，斜边长度大于任意一条直角边。 3. 钝角三角形 有一个内角是钝角（大于90°且小于180°）的三角形，叫做钝角三角形。钝角三角形仅有一个钝角，剩余两个角均为锐角。 4. 按角分类整体规律 任意一个三角形，至少有两个锐角；最多有一个直角或一个钝角，不可能同时出现两个直角、两个钝角，或直角钝角共存。 知识点四、三角形的分类（按边分类） 1. 等腰三角形 有两条边长度相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等。 2. 等边三角形 三条边长度全部相等的三角形，叫做等边三角形，也叫正三角形。等边三角形三个内角完全相等，每个角都是60°。 3. 不等边三角形 三条边长度全部不相等的三角形，叫做不等边三角形，三个内角度数也各不相同。 4. 两类分类体系关系 按角、按边是两套独立分类标准，可交叉对应。等边三角形一定是锐角三角形；等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 知识点五、三角形的内角和 1. 内角和定理 任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状、分类类型无关，所有三角形内角和恒定不变。 2. 内角和推导思想 通过剪拼、折叠、测量推算等方法，可将三角形三个内角拼成一个平角，平角为180°，验证三角形内角和规律。 3. 内角计算通用方法 已知三角形两个内角度数，用180°连续减去两个已知角的度数，即可求出第三个内角的度数。 4. 特殊三角形内角特征 直角三角形两个锐角的和是90°；等腰三角形已知顶角可求底角，已知底角可求顶角；等边三角形三个角固定为60°。 知识点六、三角形的高与底 1. 底和高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。高与对应的底互相垂直。 2. 三角形高的数量 任意三角形都有三条底和对应的三条高，每条边都可以当作底，对应一条唯一的高。 3. 不同三角形高的位置 锐角三角形的三条高全部在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为底和高，第三条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在内部。 易错指引 1. 三边关系易错 误以为任意两条线段都能围成三角形；未判断最短两边之和，直接凭经验判定；记错第三边取值范围，漏看大于两边之差。 2. 三角形分类易错 混淆两套分类标准；误认为有一个锐角就是锐角三角形；误认为等腰、等边三角形是独立分类，忽略等边属于特殊等腰。 3. 内角和易错 误认为大三角形内角和更大、小三角形内角和更小；拆分拼接三角形后，错误改变单个三角形内角和度数。 4. 高的概念易错 误认为三角形只有一条高；不会区分钝角三角形外部高；画高不垂直、不对应底边，高与底不匹配。 5. 特殊三角形易错 记错等边三角形内角度数；误以为直角三角形两个锐角相加不等于90°；等腰三角形底角、顶角计算逻辑混淆。 6. 特性易错 混淆三角形稳定性与四边形易变形特性，生活应用场景判断错误。 一、例题讲解 【例题】 1．现有5厘米、8厘米的小棒各一根，请你再选一根长度是整厘米数的小棒围成三角形，这个三角形的周长最大是( )厘米，最小是( )厘米。 【例题】 2．玲玲有两根小棒，一根长8厘米，一根长3厘米，想围成一个三角形，第三根小棒最长是( )厘米。（小棒长度取整厘米数）。 【例题】 3．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，怎样走最近，是多少千米？最远的路程是多少千米？最近的路程与最远的路程相差多少千米？（用笔描粗最近和最远的路线） 【例题】 4．聪聪腿长约0.65米，他说自己一步能走1.5米”（如图），请用三角形三边关系说一说他说得对不对？ 真题拔高 二、填空题 5．蜜蜂的蜂巢都是由正六边形的小巢室排列而成的，正六边形的六个内角的度数都是一样的。那么正六边形的内角和是( )°。 6．一个三角形两条边分别长6cm、10cm，第三条边最短是( )cm（取整厘米）。 7．∠1，∠2，∠3是一个三角形的3个内角。如果∠1＝50°，∠2＝70°，那么∠3＝( )°。 8．一个三角形三条边的长度都是整厘米。其中两条边的长度分别是10厘米和13厘米，第三条边最长是( )厘米。 9．梯形的内角和是( )度，正六边形的内角和是( )度。 10．一个等腰三角形，它的两条边长是8厘米和4厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 11．将30dm长的铁丝剪成3段，第一段长15.1dm，第二段长8.4dm，第三段长( )dm，这三段铁丝( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”）。 12．一根铁丝围成一个三角形，其中两条边长分别为5厘米和8厘米，第三条边最长是( )厘米。（边长取整厘米数） 三、选择题 13．一根吸管长15cm，芳芳要把它分成三段围成一个三角形，其中一段长5cm，剩下的部分可以分成（    ）。 A．9cm和1cm B．8cm和2cm C．4cm和6cm D．以上都正确 14．把一根12cm长的铁丝剪成3段，以下不能围成三角形的剪法是（    ）（单位：厘米）。 A．3，4，5 B．3，3，6 C．4，4，4 D．5，5，2 15．已知三角形的两条边分别是6cm和9cm，另一条边可能是（    ）cm。 A．15 B．10 C．3 D．2 16．一个三角形的三条边的长度均为整厘米数，已知其中两条边的长度分别是5cm、8cm，第三条边可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 17．有长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小棒各一根，用其中三根小棒可以围成一个三角形的是（    ）。 ①3cm，4cm，5cm    ②3cm，4cm，8cm    ③3cm，5cm，8cm A．① B．② C．③ D．以上都可以 四、判断题 18．三角形的内角和可能小于180°。( ) 19．用长度分别为2厘米、4厘米和6厘米的三根小棒，能围成一个三角形。( ) 20．三根长度分别是2厘米、2厘米、5厘米的小棒可以拼成一个等腰三角形。( ) 21．六边形的内角和是720°。( ) 22．有两根长度分别是6厘米和9厘米的小棒，能围成三角形的第三根小棒（长度取整厘米数）最短是4厘米。( ) 五、计算题 23．求下面各角的度数。 ∠2＝( )      ∠3＝( ) 六、解答题 24．如果三角形的一个内角度数是另一个内角的3倍，那么这个三角形称为“梦想三角形”，较大的内角称为“梦想角”。已知一个“梦想三角形”的“梦想角”是120°，其余两个内角的度数分别是多少度？ 25．一根铁丝正好可以围成一个边长为12厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个底边为20厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的三条边分别是多少厘米？ 26．周日，小宇在家做数学小实践。他把一根12厘米长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形。这个三角形的三边长分别是多少厘米？（写出所有可能） 27．王伯伯在采摘树顶的杏子时需要使用折叠梯，现在梯子两腿与地面的夹角均为70°，如图所示。请通过计算，判断这时梯子是否符合安全使用条件。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $