2.2.1　直线的点斜式方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过自主学习的“填一填”“提醒”环节，从确定直线的几何要素出发，衔接倾斜角、斜率知识，推导方程形式并强调适用条件，补充特殊情况，构建完整知识支架。 其亮点在于分层设计与概念辨析，互动探究中通过含参数直线平行垂直问题，培养学生推理能力与抽象能力，巩固提升环节的课堂小结明确知识清单与方法，助力学生用数学语言精确表达，教师可借助完整教学流程提升教学效率。

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 【学习与目标】　 自主学习通道 目录 互动探究通道 巩固提升通道 高效课时作业 自主学习通道 自研教材 梳理必备知识 返回目录 自主学习通道 y－y0＝k(x－x0) 自主学习通道 自主学习通道 纵坐标b 自主学习通道 y＝kx＋b 自主学习通道 自主学习通道 × √ × × 自主学习通道 D C 自主学习通道 互动探究通道 师生共研 探究重点难点 返回目录 互动探究通道 C 互动探究通道 A 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 互动探究通道 2 巩固提升通道 当堂巩固 验收关键能力 返回目录 巩固提升通道 巩固提升通道 D 巩固提升通道 D B 巩固提升通道 x＝－5 高效课时作业 返回目录 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [2，＋∞) 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABC 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高效课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Thank you for watching. 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题． 填一填 1．直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点 示意图 方程形式 eq \o(□,\s\up4(1))__________________ 适用条件 斜率存在 【提醒】　(1)当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，tan 0°＝0，即k＝0，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y－y0＝0，即y＝y0. (2)当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，由于tan 90°无意义，故直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0. 2．直线的斜截式方程 (1)直线在y轴上的截距 定义：直线l与y轴的交点(0，b)的 eq \o(□,\s\up4(2)) 叫做直线l在y轴上的截距． 截距：可正，可负，也可为零． (2)直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 eq \o(□,\s\up4(3))___________ 适用条件 斜率存在 【提醒】　(1)直线的斜截式方程其实是点斜式方程在x0＝0时的特殊情况．斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在． (2)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b是一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． 练一练 1．判断正误 (1)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式.(　　) (2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　) (3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (4)直线的点斜式方程也可写成 eq \f(y－y0,x－x0)＝k.(　　) 2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析　由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2). 3．经过点(1，2)，且倾斜角为90°的直线方程是(　　) A．y＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．x＝2 解析　∵直线的倾斜角为90°，∴直线的斜率不存在，又直线过点(1，2)，∴直线方程为x＝1. 4．将直线l1：y＝ eq \r(3)x＋ eq \r(3)绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后得到直线l2，则l2在y轴上的截距为 ． － eq \f(\r(3),3) 解析　易知l1的倾斜角为60°，所以l2的倾斜角为90°＋60°＝150°，又由题意知l2过点(－1，0)，所以l2的方程为y－0＝tan 150°·(x＋1)，即y＝－ eq \f(\r(3),3)x－ eq \f(\r(3),3)，从而可知l2在y轴上的截距为－ eq \f(\r(3),3). 类型一　直线的点斜式方程　　　　　　自主探究 1．已知直线l经过点P(2，1)，且斜率为1，则直线l的点斜式方程是(　　) A．y＋1＝1×(x＋2) B．y－1＝1×(x＋2) C．y－1＝1×(x－2) D．y＋1＝1×(x－2) 解析　因为直线l经过点P(2，1)，且斜率为1，所以直线l的点斜式方程为y－1＝1×(x－2). 2．已知直线l过点(－1，2)，倾斜角为θ，若sin θ＝ eq \f(3,5)，则直线l的点斜式方程是 (　　) A．y－2＝± eq \f(3,4)(x＋1) B．y＋2＝± eq \f(3,4)(x－1) C．y－2＝± eq \f(4,5)(x＋1) D．y＋2＝± eq \f(4,5)(x－1) 解析　因为sin θ＝ eq \f(3,5)，θ∈[0，π)，所以cos θ＝± eq \f(4,5)，所以直线l的斜率k＝ eq \f(sin θ,cos θ)＝± eq \f(3,4). 当k＝ eq \f(3,4)时，直线l的点斜式方程为y－2＝ eq \f(3,4)(x＋1)； 当k＝－ eq \f(3,4)时，直线l的点斜式方程为y－2＝－ eq \f(3,4)(x＋1).故选A. 3．已知直线l过点P( eq \r(3)，－1)，并且倾斜角是直线y＝ eq \r(3)x的倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程是 ． y－(－1)＝－ eq \r(3)(x－ eq \r(3)) 解析　∵直线y＝ eq \r(3)x的斜率为 eq \r(3)， ∴直线y＝ eq \r(3)x的倾斜角为60°， ∵直线l的倾斜角是直线y＝ eq \r(3)x的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan 120°＝－ eq \r(3)， ∵直线l过点P( eq \r(3)，－1)， ∴直线l的点斜式方程为y－(－1)＝－ eq \r(3)(x－ eq \r(3)). 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程． (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． 类型二　直线的斜截式方程 【例1】　已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程． 解　因为l∥l1，直线l1的斜率k1＝－2，所以kl＝－2. 因为l与l2在y轴上的截距相同，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 所以直线l的斜截式方程为y＝－2x－2. 变式探究 (变条件)若将本例中“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的斜截式方程． 解　∵l1⊥l，直线l1的斜率为－2，∴l的斜率为 eq \f(1,2). ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的斜截式方程为y＝ eq \f(1,2)x＋2. 1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线就一目了然，因此，在解决一次函数的图象问题时，常把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义解题． [跟踪训练1]　根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角是直线y＝－ eq \r(3)x＋1的倾斜角的 eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5. 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于直线的倾斜角为150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－ eq \f(\r(3),3)， 由斜截式可得所求直线方程为y＝－ eq \f(\r(3),3)x－2. (3)∵直线y＝－ eq \r(3)x＋1的斜率k＝－ eq \r(3)， ∴其倾斜角α＝120°. 由题意，得所求直线的倾斜角α1＝ eq \f(1,4)α＝30°， 故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3). ∵所求直线的斜率是 eq \f(\r(3),3)，且在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝ eq \f(\r(3),3)x－5. 类型三　直线平行与垂直的问题 【例2】　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ 解　(1)由题意可知，kl1＝－1，bl1＝2a，kl2＝a2－2，bl2＝2. ∵l1∥l2，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4. ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝ eq \f(3,8). 故当a＝ eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 1．两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若l1∥l2，则k1＝k2，且此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，当k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2，所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 2．若已知含参数的两条直线平行或垂直求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系，注意考虑b1≠b2这个条件. [跟踪训练2]　已知直线l：y＝－ eq \f(a,b)x＋ eq \f(2,b)与直线l′：y＝ eq \f(2,3)x－ eq \f(4,3)平行，且直线l与y轴的交点为(0，1)，则a＝ ，b＝ ． － eq \f(4,3) 解析　由直线l：y＝－ eq \f(a,b)x＋ eq \f(2,b)与直线l′：y＝ eq \f(2,3)x－ eq \f(4,3)平行，且直线l与y轴的交点为(0，1)，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)＝\f(2,3)，,\f(2,b)≠－\f(4,3)，,\f(2,b)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,3)，,b＝2.)) 1．知识清单 (1)直线的点斜式方程． (2)直线的斜截式方程． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合． 3．常见误区：求直线方程时易忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 1．直线方程为y－2＝2(x＋3)，则(　　) A．直线过(2，－3)，斜率为2 B．直线过(－3，－2)，斜率为 eq \f(1,2) C．直线过(－3，2)，斜率为 eq \f(1,2) D．直线过(－3，2)，斜率为2 2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析　由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.故选D. 3．已知直线l的方程为y＋ eq \f(27,4)＝ eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C． eq \f(27,4) D．－ eq \f(27,4) 解析　由y＋ eq \f(27,4)＝ eq \f(9,4)(x－1)，得y＝ eq \f(9,4)x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 4．经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为 . 解析　∵直线平行于y轴， ∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5. 基础巩固 1．过点P( eq \r(3)，－2 eq \r(3))且倾斜角为135°的直线方程为(　　) A．y＝3x－4 eq \r(3) B．y＝x－ eq \r(3) C．y＝－x＋ eq \r(3) D．y＝－x－ eq \r(3) 解析　因为直线的倾斜角为135°， 所以直线的斜率为k＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y＋2 eq \r(3)＝－(x－ eq \r(3))，即y＝－x－ eq \r(3). 2．过点(4，0)且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．y＝ eq \r(2)x＋2 eq \r(2) B．y＝－x－4 C．y＝x－4 D．y＝x＋4 解析　由题可知直线经过点(4，0)，斜率为1， 所以直线方程为y＝x－4. 3．直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 解析　∵直线经过第一、三、四象限，∴大致图象如图所示， 由图知，k>0，b<0. 4．过点(－1，3)且垂直于直线y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(3,2)的直线方程为(　　) A．y－3＝－2(x＋1) B．y－3＝－2(x－1) C．y－3＝－ eq \f(1,2)(x＋1) D．y－3＝ eq \f(1,2)(x＋1) 解析　所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1). 5．(2023·沧州质检)已知等边三角形ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在直线的方程是(　　) A．y＝－ eq \r(3)x B．y＝－ eq \r(3)(x－4) C．y＝ eq \r(3)(x－4) D．y＝ eq \r(3)(x＋4) 解析　由题意，知直线BC的倾斜角为60°，故直线BC的斜率为 eq \r(3)，由点斜式得所求直线的方程为y＝ eq \r(3)(x－4). 6．(2024·邯郸期末)在同一平面直角坐标系下，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，则实数k，b的取值应该满足的条件是(　　) A．k>2，b>－3 B．k>2，b＝－3 C．k＝2，b>－3 D．k＝2，b＝－3 解析　平面中两条直线之间的关系只有平行和相交，若两直线相交，一定不满足题意，故直线y＝kx＋b与直线y＝2x－3平行，则k＝2.又直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b>－3，故选C. 7．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的取值范围是 ． 解析　由l的方程知l过定点A(1，2)， 斜率为k，则kOA＝2(O为坐标原点)，如图所示， 则由数形结合可得，k≥2时满足条件． 8．若直线l与直线y＝2x－1垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l的方程 ． y＝－ eq \f(1,2)x－1(答案不唯一) 解析　因为直线l与直线y＝2x－1垂直，所以kl＝－ eq \f(1,2)，不妨设直线l为y＝－ eq \f(1,2)x＋b，显然直线l必过第二象限与第四象限，若直线l不过第一象限，可得b≤0，可写出一个直线l的方程为y＝－ eq \f(1,2)x－1. 9．求倾斜角为直线y＝－x＋1的倾斜角的 eq \f(1,3)，且分别满足下列条件的直线的方程． (1)经过点(－4，1)； (2)在y轴上的截距为－10. 解　由于直线y＝－x＋1的斜率为－1，且倾斜角α∈[0，π)，所以其倾斜角为 eq \f(3π,4).由题意知所求直线的倾斜角为 eq \f(π,4)，故所求直线的斜率k＝tan eq \f(π,4)＝1. (1)由于直线经过点(－4，1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝x＋4，即y＝x＋5. (2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝x－10. 10．已知点A(－2，1)，B(2，3)，C(－1，－3). (1)求过点A且与BC平行的直线方程； (2)求过点A且与BC垂直的直线方程； (3)若BC中点为D，求过A，D两点的直线方程． 解　(1)因为kBC＝ eq \f(－3－3,－1－2)＝2， 所以过点A且与BC平行的直线方程为y－1＝2(x＋2)，即y＝2x＋5. (2)过点A且与BC垂直的直线方程为y－1＝－ eq \f(1,2)(x＋2)，即y＝－ eq \f(1,2)x. (3)BC中点为D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，kAD＝ eq \f(1－0,－2－\f(1,2))＝－ eq \f(2,5)，所以过A，D两点的直线方程为y＝－ eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－ eq \f(2,5)x＋ eq \f(1,5). 能力提升 11．(多选)下列说法正确的有(　 　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C．过点(2，－1)且斜率为－ eq \r(3)的直线的点斜式方程为y＋1＝－ eq \r(3)(x－2) D．斜率为－2且在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析　A中，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，∴(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可化为y－2＝a(x－3)，∴直线过定点(3，2)，故B正确；C中，根据点斜式方程的定义知C正确；D中，由斜截式方程的定义得y＝－2x＋3，故D错误． 12．在同一直角坐标系中，y＝ax与y＝x＋a的图象可能为(　　) 解析　对于选项A，直线y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项B，直线y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项C，直线y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意． 13．已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是 ． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))) 解析　由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示．若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，因为kPA＝ eq \f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝ eq \f(－1－1,－2－2)＝ eq \f(1,2)，所以－2≤k≤ eq \f(1,2). 多元数学 14．(数学运算)已知过原点O的直线l：y＝4x和点P(6，4)，动点Q(m，n)(m>0)在直线l上，且直线QP与x轴的正半轴交于R. (1)若△QOR为直角三角形，求点Q的坐标； (2)当△QOR的面积取得最小值时，求点Q的坐标． 解　(1)∵点Q在直线y＝4x上， ∴n＝4m. ①当∠QRO＝90°时，直线QR的方程为x＝6， ∴点Q的坐标为(6，24)； ②当∠RQO＝90°时，由kl·kQR＝－1，得kQR＝－ eq \f(1,4). 由kQR＝kQP＝ eq \f(4－n,6－m)＝ eq \f(4－4m,6－m)＝－ eq \f(1,4)，解得m＝ eq \f(22,17)， ∴点Q的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,17)，\f(88,17))). 综上，点Q的坐标为(6，24)或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,17)，\f(88,17))). (2)由题意知n>4，∴m>1， ∴kQR＝kQP＝ eq \f(4m－4,m－6)， ∴直线QR的方程为y－4＝ eq \f(4m－4,m－6)(x－6)， 令y＝0，得xR＝ eq \f(5m,m－1)， ∴S△QOR＝ eq \f(1,2)xRyQ＝ eq \f(1,2)· eq \f(5m,m－1)·4m＝ eq \f(10m2,m－1). ∵ eq \f(m2,m－1)＝ eq \f(m2－1,m－1)＋ eq \f(1,m－1)＝m＋1＋ eq \f(1,m－1)＝m－1＋ eq \f(1,m－1)＋2≥2 eq \r((m－1)·\f(1,(m－1)))＋2＝4(当且仅当m＝2时取等号)， ∴当S△QOR取得最小值40时，m＝2，n＝8， ∴点Q的坐标为(2，8). $