2.2.2 直线的两点式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的两点式方程及截距式方程，通过复习上节课点斜式、斜截式方程，提出已知两点求直线方程的问题，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步推导新知。 其亮点在于注重逻辑推理与实际应用，通过两种方法推导两点式方程，结合例题、探究（如四点共线证明）及当堂检测，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），帮助学生形成理性思维，教师可高效开展教学。

2.2.2直线的两点式方程 第二章直线和圆的方程 人教A版 (2019) 选择性必修第一册 1.能用点斜式方程推导出直线的两点式方程， 了解直线的截距式方程； 2.能熟练求出直线的两点式方程和截距式方程. 学习目标 在上节课我们学习了直线的点斜式方程和斜截式方程，掌握了在 已知直线上一点的坐标和斜率、已知直线斜率和y 轴上的截距两种情 况下，来求出直线的方程，那么当已知直线上两个点的坐标时，如何 求出直线的方程呢?这节课我们就一起来探究一下. 新课导入 探索新知 由经过两点P₁,P₂ 的直线的斜率公式可以求出直线l 的斜率，因此我们可 以利用直线的点斜式方程来解决问题. 当x₁≠x ₂ 时，经过两点P₁(x₁, y₁),P₂(x₂,y₂) 的直线的斜率 任取 P₁,P₂ 中的一点，例如，取点 P₁(x₁,y₁), 由直线的点斜式方程，得 时，上式可写为 y-y₁=x-x₁ y₂ - y ₁ X₂ 一x₁ (x-x) ,当 y₂≠y₁ 两点式方程 就是经过两点P₁(x₁, y₁),P₂(x ₂ ,y₂) ( 其中x₁≠x₂,y₁≠y₂) 的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式 . 设点P(x,y) 是直线l 上的任意一点，则P₁,P₂,P 在一条直线上 所以 kp₁P₂ = kp₁P, 故 是经过P₁,P₂ 两点的直线方程. 不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗? 探究 探索新知 在P₁(x₁,y ₁), P₂(x₂,y₂) 中，如果x₁= x₂或y₁=y₂ , 则直线P₁ P₂没有两 点式方程. 当x₁=x₂ 时，直线P₁ P₂ 垂直于x轴 ，直线方程为x-x₁=0, 即x=x₁; 当y₁=y₂ 时，直线P₁ P₂ 垂直于y轴 ，直线方程为y-y₁=0, 即y=y1 · 解 ：将两点A(a ,0),B(O ,b)的坐标代入两点式，得 即 例3 如图，已知直线1与x 轴的交点为A(a ,0),与y 轴的 交点为B(O ,b), 其中a≠0,b≠0. 求直线l 的方程. 例题 我们把直线l与x轴的交点(a,O)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截 距，此时直线l在y轴上的截距是b. 探索新知 方程 由直线l 在两条坐标轴上的截距a与b确定，我们把方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式. 截距式方程 例题 例4 已知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程. 例题 解 ：如图，过B(3,-3),C(0,2) 的直线的两点式方程为 整理得5x+3y-6=0. 这就是边BC所在直线的方程. 边BC上的中线是顶点A 与边BC中点M所连线段， c M 由中点坐标公式，可得点M 的坐标为 B 即 . 过A(-5, 0), 两点的直线方程为 整理可得x+13y+5=0. 这就是边BC 上中线AM所在直线的方程. A 23 几类方程的几何意义 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义， 都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率. 这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在 对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位. 点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都 是点斜式方程在一定条件下的变式. 探究 利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一 条直线”的含义.事实上，对于直线l 上的四个不同点P₁( x;,y;),i=1,2,3, 4,由P₁,P₂ 确定的直线方程与由P₃,P₄ 确定的直线方程是同一个方程，你能 给出证明吗? 探索新知 证明：因为P₁, P₂,P ₃ , P₄ 在同一条直线上， 故设直线的斜率 由P₁,P₂ 确定的直线方程为 ,即y-y₁=k(x-x₁), 所以y=kx-kx₁+y ₁ . ① 由P₃,P₄ 确定的直线方程为 ,即y -y₃=k(x-x₃ ), 所以y=kx-kx₃ +y₃.② 故①与②表示的直线方程是同一个方程. 即由P₁,P₂ 确定的直线方程与由P₃,P₄ 确定的直线方程是同一个方程 ,所以kx₃-kx₁=y₃-y₁, 即 -kx₁ +y₁ =-kx ₃+y₃ · 探索新知 因为 当堂检测 1. 在平面直角坐标系xOy中，直线 在y 轴上的截距为( ) A.-3 B.3 C D 当堂检测 答案：A 解析：由截距的概念，令x=0, 可得 ,即y=-3, 故直线 在y 轴上的截距为-3,故选：A 当 堂 检 测 2. 有关直线的两点式方程，有如下说法： ①直线的两点式方程适用于求与两坐标轴均不垂直的直线方程； ②直线方程 也可写成 ③过点P(x,y₁),P₂( x₂,y₂) 的直线的方程可以表示成 (x₂-x)(y-y₁)=(y₂-y₁)(x-x₁). 其中正确说法的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 当 堂 检 测 答案：D 解析：①正确，从两点式方程的形式看，只要x₁≠x₂,y₁≠y₂, 就可以用 两点式来求解直线的方程；②正确方程 的 形式有异，但实质相同，均表示过点(x,y₁) 和(x₂,y₂) 的直线；③正确，可 由直线的两点式方程变形得来，且x=x₂,y₁=y₂ 时仍然成立.故选D. 当堂检测 3. 已知O为坐标原点，直线l 过点P(-3,1), 且与x 轴负半轴交于点A, 与y 轴正半轴交于点B ,则△AOB的面积的最小值为( ) A.12 B.3√2 C.8 D.6 当 堂 检 测 答案：D 解析：依题意设直线l 的方程为 (a<0,b>0), 则 (a< 0,b>0 ), 所以 ,所以 ,即 -ab≥12, 当且仅当 ,即a=-6,b=2 时，等号成立.所以△AOB 的面积 ,则△AOB的面积的最小值为6.故选D. 当堂检测 4. (多选)已知0为坐标原点，过点M(-1,1) 的直线1与坐标轴交于A, B 两点，若△AOB的面积为2,则直线l 在x 轴上的截距可以是( ) A.2+2√2 B.2-2√2 C.-2 D.2 当 堂 检 测 答案：ABC 解析：由题意直线l 显然不过原点，所以不妨设直线l 的方程为 其中a,b 分别为1在x 轴 ，y轴上的截距，A(a,O),B(0,b), 又点M(-1,1) 在直线l 上，所以 ,又△AOB的面积为2,所以 即 或 .当 时 ， , 即a²-4a-4=0, 解得a=2-2√2 或 a = 2+2 √2 ; 当 时 ， ,即a²+4a+4=0, 解得a=-2. 当堂检测 5. 若直线l 经过点A(2,-1),B(2,7), 则直线l 的方程为 . 当堂检测 答案：x=2 解析：由于点A与点B 的横坐标相等，所以直线l 的斜率不存在， 所求的直线方程为x=2 .故答案为：x=2. 课堂总结 1.两点式方程 2.截距式方程 $