上海市莘庄中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

上海市莘庄中学2025学年第二学期期中考试 高一数学 (2026.04.21) 考试时间120分钟，澜分150分 一，填空哪(1-6每小题4分，7-12每小题5分，总54分) 1、复数z=1-2i的虚部为一 2、设ā、石为夹角为工的单位向量，则1a-6= 3若通数)-(ar+宁（其中常数@>0）的最小正周期为3，则m的值为— 4、设向量a,6的夹角为8，且a=(2,1),26-a=(-4,3),则8=一 5、已知复数2=0+m3-42,i为虚数单位，若三的模为25，正实数m的值为 1-2i D 6、矩形ABCD中，E为BC中点，AB与BD交于点F, 若将店=ā，D=石作为平面向量的一个基，则向量 AF可表示为 (用a,b表示) 7、已知1a上3,14，a与6的夹角为60°，则a在i方向上 的投影是 8、如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏 东40°的方向航行，货轮在B处观测到灯塔A在其 南偏东T0°的方向上，航行半小时到达C点，此时 灯落A在其北偏东65°的方向上，则C点与灯塔A 的距离为km 9、己知向量a、满足16上4，且a在b方向上的数量投影为-2，则2a-引的最小值 为 10、若函数y=f)的定义域仅存在x2:1卡》，使4@=1成立，则称该函数为 “互助函数”.已知函数∫似=血(2x+宁在0，d(a>0)为“互助函数”，则满足条件 的最大整数a为 11、已知△ABC中，|CB上2，CA=4,存在实数1，使得向量CA+21-2)CB的模有 最小值2W5,若点P是线段CA上任一点，则PA·PB的取值范围为 12、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个项 点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧、三段 圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在如图所示的勒洛三 角形中，已知AB=√5，P为弧AC,弧CB、弧BA(含端点) 上的任意一点，记a=AP+BP+CP,则a的最小值为 二选择题(13-14每小题4分，15-16每小题6分，总18分) 13、已知a,6,c是平面上的非零向量，则“a=6”是“ac=方c”的（) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.为了得到函数y=2s如6x+孕的图像，只要将函数)=2si血3x图像上所有的点(） A.向右平移汇个单位 12 B肉左平移登个单仪 C.向右平移严个单位 4 D.向左平移牙个单位 15.已知fx)=3sin(G5x+)（A>0,o>0,1pKπ)， 其部分图象如图所示，则f(x)的解析式为（) A/四=3sin吃+8 B.fx)=3sim(x-5π 2 6 c.) D.f6=3sin(分x-2 16、己知集合M={f(x)/(x)+f(x+2)=fx+1),x∈R},给出如下两个命题： ①集合M中的元素都是周期函数：②集合M中的元素都是奇函数。则() A.①②都是真命题 B.①②都是假命题 C①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 三解答趣 17、(本题满分14分，第一小题6分，第2小题8分) 许数处不车短 已知向量云=1,2，方=(-3,2)，当m为何值时，共即心分0金0克站 (1)向量ma+与a-36垂直？， (2)向量ma+b与a-36平行？平行时它们是同向还是反向？ 18、(本题满分14分，第一小愿6分，第2小题8分) 已知复数：=6o(2a-?+(2sina-i,其中i为虚数单位， (1)若复数z为实数，且α为纯角，求此时的复数z: (2)若a∈[0,2π]，且复数z为纯虚数，求角a的取值集合。 19、(本题满分14分，第一小题6分，第2小题8分) 已知肠数f份=s如子-co管 (1)写出f(x)的对称轴方程及单调增区间： (2)将函数y=横坐标缩小为原来的行纵坐标不变，得到函数y=g闭，三角形 ABC中（角4、B、C所对的边分别为a、b、c),若g(A)=√2，c=4,且三角形ABC 的面积为22，求a的值（结果精确到0.1）。 20、(本题满分18分，第一小题5分，第2小题5分，第3小题8分) 如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地，该正三角形的边长为20米，在C 点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心， 以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型 步行道，该步行道的两个端点M,N分别在线段CA,CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC 内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT=a (1)当a= 4时，求步行道MN的长度： (2)试用a表示该步行道MN的长度： (3)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时a的值. 21、(本题满分18分，第一小题6分，第2小题6分，第3小题6分) 尘生 已知西数f=a-(吃+5-子其中， a=(sinx,cosx),B=(cosx,3sinx),c=(sinx,-cosx),xER (1)将函数f(x)化简为Asin(ox+)+B的形式，并指出其最小正周期： (2)若存在t∈ 满足[(t)]-3f)-m>0,求实数m的取值范围： ππ (3)对任意的x-63」 是存在一的[引 使f(x)fx2)=1成立， 请说明理由。