专题06 基本初等函数（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以考情分级突破为核心，构建"概念-应用-综合"三阶训练体系，融合真题研析与模拟探源，强化数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情概览|4考向统计|基础档概念辨析、中档档应用转化、拔高档分类讨论|从定义域/运算等基础概念到含参恒成立/零点分布综合问题| |真题研析|2026春考15题等|平移对称法、动轴动区间最值分析|二次函数压轴考法延续，指数函数强化情境建模| |真题精炼|2024-2025年8题|指对数值比大小技巧、幂函数单调性判断|覆盖函数性质应用全场景，衔接春考拔高与秋考基础| |模拟探源|2026模拟27题|函数与数列/几何综合建模、对称集充要条件证明|通过跨模块综合题提升数学语言表达与逻辑推理能力|

专题06 基本初等函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 基础档：对数定义域、幂函数概念、指数简单运算，集中在试卷前序小题，全员可得分；中档档：指对数值比大小、指数不等式、二次函数定区间最值，分布在填空13-14题，侧重基础应用能力；拔高档：二次函数含参分类讨论、对数综合压轴大题，位于填空15题、解答21题，承担核心区分选拔作用。 春考偏向拔高选拔，重点布局二次函数填空压轴、对数大题压轴，难度上限更高；秋考命题更平稳，均匀排布基础、中档小题，侧重全面考查基础知识点，整体难度波动较小。 二次函数 2026春考第15题 指数函数 2026秋考第13题 2025秋考第14题 对数函数 2025春考第21题 2024春考第1题 2024秋考第18题 幂函数 2025春考第14题 第一，二次函数压轴考法延续，动轴动区间最值、含参恒成立问题、零点分布分类讨论依旧是填空压轴核心考点，重点考查思维严谨性。 第二，指数函数弱化纯计算，强化情境应用，结合生活中的增长、衰减、复利模型进行简单建模考查，贴合新教材素养要求。 考向一 二次函数 典例1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   考向二 指数函数 典例2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 考向一 指数函数 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 考向二 对数函数 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 3．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 4．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 考向三 幂函数 5．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 一、单选题 1．（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 5．（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． 6．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 7．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 8．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 9．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 10．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 11．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 12．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 14．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 15．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 三、解答题 16．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 17．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 18．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 19．（2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 20．（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 21．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 22．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 23．（2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合. (1)若指数函数的图像过点，且，求M； (2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 24．（2026·上海·一模）定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． (1)试判断是否为“根域同函数”并说明理由； (2)若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； (3)已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 25．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 26．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 27．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 基本初等函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 基础档：对数定义域、幂函数概念、指数简单运算，集中在试卷前序小题，全员可得分；中档档：指对数值比大小、指数不等式、二次函数定区间最值，分布在填空13-14题，侧重基础应用能力；拔高档：二次函数含参分类讨论、对数综合压轴大题，位于填空15题、解答21题，承担核心区分选拔作用。 春考偏向拔高选拔，重点布局二次函数填空压轴、对数大题压轴，难度上限更高；秋考命题更平稳，均匀排布基础、中档小题，侧重全面考查基础知识点，整体难度波动较小。 二次函数 2026春考第15题 指数函数 2026秋考第13题 2025秋考第14题 对数函数 2025春考第21题 2024春考第1题 2024秋考第18题 幂函数 2025春考第14题 第一，二次函数压轴考法延续，动轴动区间最值、含参恒成立问题、零点分布分类讨论依旧是填空压轴核心考点，重点考查思维严谨性。 第二，指数函数弱化纯计算，强化情境应用，结合生活中的增长、衰减、复利模型进行简单建模考查，贴合新教材素养要求。 考向一 二次函数 典例1．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A.    考向二 指数函数 典例2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 考向一 指数函数 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 考向二 对数函数 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【详解】（1）由定义得，. (2)证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 3．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 【答案】 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 考向三 幂函数 5．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 一、单选题 1．（2026·上海·一模）设函数的定义域集合为，值域集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，解得，所以， 又是幂函数，且，即在上单调递减， 当时，；当时，，所以， 所以． 2．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 二、填空题 5．（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． 【答案】 【详解】由题意，得，即， 则的定义域是. 6．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 7．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 8．（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 9．（2026·上海浦东新·三模）已知，若幂函数是偶函数，则______________． 【答案】2 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 10．（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 又因为，所以，所以， 因为，所以，， 所以. 11．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 12．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 14．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. 15．（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 三、解答题 16．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 17．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 18．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 19．（2026·上海浦东新·三模）已知 (1)若函数在区间上的最大值比最小值大3，求实数的值； (2)若，函数与函数恰有两个不同交点，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数在区间上是严格增函数， 所以其最大值在右端点处取到，其最小值在左端点处取到， 即， 化简得，即， 解得． 因此，实数的值为2． （2）由题意得；即关于的方程在有两个不同的实数解， 即关于的方程在有两个不同的实数解， 因为， 因此． 由题意得，即 综上，实数的取值范围为． 20．（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； （2）由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 21．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 22．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 23．（2026·上海·三模）已知连续函数和，设，集合. (1)若指数函数的图像过点，且，求M； (2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 【详解】（1）设指数函数(且)，因为其图像过点，代入得，，则， 因此，因此， 而集合，其中， 令，则， 由于，故，即， 因为指数函数在上单调递增，所以， 因此，集合. （2）函数的定义域为， 对原函数求导得，， 因为在上存在极值点，所以在上有解， 即，故， 设，，则， 当时，且，故，即在上单调递增， 因为，，因此在上的值域为， 所以，实数的取值范围是， 由于在上单调递增，对于任意， 存在唯一的使得，即， 当时，，即，故，单调递减， 当时，，即，故，单调递增， 因此，是在上的极小值点， ， 将代入上式，， 故， 设，求导得，， 令，得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 因此，在处取得最大值，， 当时，，故， 当时，， 综上，对任意，， 因此，， 即成立，故. 24．（2026·上海·一模）定义：若函数满足在上的值域为（），则称为“根域同函数”． (1)试判断是否为“根域同函数”并说明理由； (2)若“根域同函数”为偶函数，求：的值域； (3)已知奇函数对任意均满足为“根域同函数”，幂函数是“根域同函数”的充要条件为点在上，求证：当时，的图象在下方． 【详解】(1)当时，，则， 所以为“根域同函数”. （2）由为偶函数，则， 即，则，即 ， 所以，又为“根域同函数”， 则在上的值域为，且， 而函数在上单调递增， 则方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根，设， 则，解得，又，则， 所以函数在上单调递减， 又时，，， 则函数的值域为. (3)因为对任意均为“根域同函数”， 所以对任意，函数在上的值域为，且， 则函数为单调函数，又为奇函数，则. 因为为幂函数，设，而为“根域同函数”的充要条件为点在上， 若点在上，则； 若为“根域同函数”， 则在上的值域为，且，， 当 时，函数在上单调递增， 则在上有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根，即， 此时，不满足题意； 当时，函数在上单调递减， 则，则，即， 此时，满足题意，则. 设，， 因为函数在和上均为增函数， 所以函数在和上为增函数， 因为，， 则时，，即， 此时的图象在下方． 25．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 26．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； (3)由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 27．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【详解】（1）由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. （2）令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . (3)法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以.       (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是.     (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有 ．    (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为 ． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．    (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有．  (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．  (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有．  (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $