专题05 函数及其性质（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以真题研析为核心，构建分段函数与函数性质的“概念辨析-性质应用-综合推理”三级方法体系，逻辑链清晰，覆盖基础送分题到压轴区分题，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情概览与真题研析|命题解读+2道典例（奇偶性、单调性压轴）|分段区间识别代入、奇偶性正负转换、单调性推理工具、反证法渗透|从分段函数基础运算到函数性质（奇偶、单调、周期）概念生成| |3年真题精炼|4道真题（分段函数2道，性质2道）|基础定义直接应用、性质辨析技巧|性质应用从简单到综合，衔接真题考法| |最新模拟探源|选择7道+填空6道+解答6道|综合性质嵌套、新定义问题转化|性质与不等式、参数讨论的推导拓展，预判命题风向|

专题05 函数及其性质 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 分段函数常以选择题、填空题形式考查，侧重分段求值、分段范围判断，难度基础，属于送分题型，重点考察对分段区间的识别与代入运算 函数性质为高频核心考点，选择填空侧重奇偶性、单调性、周期性、对称性的基础辨析；压轴大题第 21 题综合多性质，结合不等式、参数讨论，区分度高，兼顾基础理解与综合推理能力 分段函数 2024秋考第2题 2024春考第9题 函数的性质 2026秋考第5题 2026秋考第21题 2024秋考第4题 2024秋考第16题 1.基础小题，直接考查偶函数定义，利用奇偶性实现正负自变量转换，代入运算，难度基础，检验对函数对称性概念理解，无综合嵌套 2.全卷压轴，排列背景下函数新定义，严格单调性是核心推理工具；不侧重函数解析式运算，侧重读懂规则、特例检验、性质推导、存在性证明；反证法思想渗透；对书面逻辑表达要求高 考向一 函数奇偶性 典例1．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 考向二 函数单调性 典例2．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 考向一 分段函数 1．（2024·上海·高考真题）已知则______． 2．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 考向二 函数的性质 3．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 4．（2024·上海·高考真题）已知定义在上的函数，集合对于任意的，在使得的所有中，下列说法成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取到最大值 C．存在在上单调递增 D．存在在处取到极小值 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 4．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 6．（2026·上海浦东新·三模）已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（   ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 7．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 二、填空题 8．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 10．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 11．（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 12．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 13．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题 14．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 15．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 17．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 18．（2026·上海闵行·二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. (1)判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； (2)是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； (3)设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 19．（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数及其性质 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 分段函数常以选择题、填空题形式考查，侧重分段求值、分段范围判断，难度基础，属于送分题型，重点考察对分段区间的识别与代入运算 函数性质为高频核心考点，选择填空侧重奇偶性、单调性、周期性、对称性的基础辨析；压轴大题第 21 题综合多性质，结合不等式、参数讨论，区分度高，兼顾基础理解与综合推理能力 分段函数 2024秋考第2题 2024春考第9题 函数的性质 2026秋考第5题 2026秋考第21题 2024秋考第4题 2024秋考第16题 1.基础小题，直接考查偶函数定义，利用奇偶性实现正负自变量转换，代入运算，难度基础，检验对函数对称性概念理解，无综合嵌套 2.全卷压轴，排列背景下函数新定义，严格单调性是核心推理工具；不侧重函数解析式运算，侧重读懂规则、特例检验、性质推导、存在性证明；反证法思想渗透；对书面逻辑表达要求高 考向一 函数奇偶性 典例1．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 考向二 函数单调性 典例2．（2026·上海·高考真题）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. (3)首先证明第1个结论， 观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立， 那么排列都将是排列，此时至少为4． 当时，即， 因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数， 则恒成立， 又因为函数在上单调递增， 则在区间上，，. 若恒成立，则， 则只需，即，因为对任意的，， 则，则，则解得， 当时，即， 因为严格递减，所以且， ， 只要，就有， 则可取即可满足题意． 即存在，使得. 再证明第2个结论. 假设对于任意的，都有， 因为（2）中①排列始终满足条件， 则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列． 首先，我们证明不可能恒成立： 假设对于某个，在上恒有． 即， 即， 取．由于严格递增， 令， 则， 于是对任意正整数： ， 当时，，这与矛盾！ 因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列． 接下来只剩②排列，其需满足， ⑤排列，其需满足， ⑥排列，其需满足， 下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真． （i）若对任意，都有，即都有， 对于任意和， 则， 当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到， 所以恒成立， 则对所有的恒成立. 则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立， 则，与假设矛盾！ （ii）并非对于所有都有，即， 则必定存在，使得， 设， 因为是严格单调递增的连续函数， 则对于已知的，总可以找到，使得， 即，即， 同时，因为严格递增且，必有． 即， 即，即， 则可取充分小的使得，即存在，使得， 所以＂恒成立＂这个命题是假的． 既然为假，那么＂恒成立＂必须为真． 即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足， 则对于，在时都有： ， 即， 取，则对于任意： ， 因为严格递增，则． 则 又因为， 则 即，对任意都成立． 取，因为，则， 则对于内的任意，都满足， 因为，故有， 但是，之前我们得到， 即，则， 则有：， 这与我们的假设相矛盾． 综上，原命题成立，必然存在，使得． 考向一 分段函数 1．（2024·上海·高考真题）已知则______． 【答案】 【详解】因为故， 故答案为：. 2．（2024·上海·高考真题）已知，求的的取值范围_______. 【答案】 【详解】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 考向二 函数的性质 3．（2024·上海·高考真题）若函数是奇函数，则实数______. 【答案】0 【详解】是奇函数，则恒成立， 所以，解得 故答案为：0． 4．（2024·上海·高考真题）已知定义在上的函数，集合对于任意的，在使得的所有中，下列说法成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取到最大值 C．存在在上单调递增 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若是偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若的函数图象如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C，若存在在上单调递增，则对任意，当时都有，则此时，与矛盾，故C错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在的某个左邻域内，有，与集合定义矛盾，故D选项错误． 一、单选题 1．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. 2．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 3．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 4．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 5．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 6．（2026·上海浦东新·三模）已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（   ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】B 【详解】对于集合而言，越小，不等式越容易被满足， 则意味着集合中元素可取的值就越多， 因此若，则，即， 反之，若，则必有， 对于①，若对于任意的，都有，则必有， 即对于任意的，都有，故严格单调递减，故①正确. 对于②，取，则其值域为，取， 此时对任意的，，因此， 即此时所有的均为空集，满足条件. 但此时不是周期函数，故②错误. 7．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 二、填空题 8．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 9．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 10．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 11．（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 12．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 13．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 三、解答题 14．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【详解】（1）为减函数，则即恒成立，所以. (2)不存在，理由：因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. (3)证明：设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 15．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【详解】（1）因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”； 因为，则函数在上不具有“性质”. （2）当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”. 当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”. 当时，函数在区间不单调， 在不具有“性质”. 当时，此时在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上具有“性质”， 则需满足或，即或， 整理得或，解得或或， 又，得或. 当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”. 综上，实数的取值范围是. (3)证明：因为函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调. 若单调递减，假设中至少有2个元素，则，单调递减， ，矛盾，因此最多一个元素. 若单调递增，假设中至少有2个元素，则. 对，若 ，由于单调递增，，矛盾 若，由于单调递增，，矛盾. 因此对，必有，即，是无限集. 令是连续函数，若单调递增： 若对所有都成立，则，与矛盾. 若对所有都成立，则，与矛盾. 故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空. 若单调递减： 当，，， 由零点存在定理，使，非空. 综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证. 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 【详解】（1）不可能. 假设具有周期性，设是它的一个周期，则对任意正整数，都有. 由于，而为“绝对值严格增函数”，所以.又，矛盾. 因此不可能具有周期性. (2)先证为“绝对值严格增函数”等价于. 若，当时，有，即，所以为“绝对值严格增函数”. 反之，若为“绝对值严格增函数”，有，取，则，所以. 再证始终在图像上方等价于. 当时，等价于. 令，则，且，于是上式等价于， 进一步化简得. 若，由， 可得. 所以恒成立. 反之，若始终在图像上方，则对任意恒成立. 取，得，化简得，所以. 综上，为“绝对值严格增函数”是始终在图像上方的充要条件. （3）设，其中.由于为“绝对值严格增函数”， 当时，有. 于是. 固定，令，其中，再令， 由连续性可得， 故，即对任意，都有. 下面分类讨论. 当时，的值域为，故对任意，都有. 于是由可得，所以为偶函数. 当时，由值域为知既取负值又取正值. 又连续，所以存在，使得，存在，. 若，则由可得，矛盾. 故，且是的唯一零点. 因为在上为严格增函数，且，所以当时，. 若存在，则在与之间存在，， 与是的唯一零点矛盾,则时，. 则，即是奇函数，值域关于原点对称，故. 综上，当时，为偶函数；当时，为奇函数. 17．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【详解】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． (3)若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 18．（2026·上海闵行·二模）对于定义在上的函数，若存在实数对，对于任意的实数，都有成立，则称函数为“型函数”，点称为的“”点. (1)判断函数与是否为“型函数”（无须说明理由）； (2)是否存在“型函数”，其图象上的所有点都是的“点”，如果存在，求出所有满足题意的，如果不存在，说明理由； (3)设，函数是“型函数”，且的图象是一条连续曲线. 已知，点，都是的“点”. 证明：“对任意，当时，均有”是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 【详解】（1）对于，考查，为随变化的变量， 不可能恒等于某个常数，所以不是“ 型函数”； 对于，考查，取 即可满足恒成立，所以是“ 型函数” （2）依题意这样的函数意味着对于任意实数和，都有， 令，可得，所以对任意实数，只能取或， 若存在使得，由是“ 点”可知对任意实数成立， 又因为只能取或，所以且对任意实数成立， 也即对任意实数成立，反过来函数确实满足恒成立； 若对任意实数都有，此时函数也满足恒成立， 综上所述，满足题意的有和. (3)由点是的“ 点”可知恒成立，取得，同理可得， 因为 ，所以，所以有，，已知，所以即， 必要性，若函数在上为严格减函数，当时，有， 所以，，，所以， 充分性，对任意，时，均有， 可知在上，所以在上严格单调，又因为，所以在上严格递减， 设，则有即 关于中心对称， 同理有即 关于中心对称，因为严格递增， 所以根据复合函数单调性可知 在上严格递减，同时因为连续且 ，所以 也连续， 于是可以通过中心对称得到 在和上严格递减，不断往两边扩展， 即可得到 在上严格递减，所以在上严格递减， 所以“对任意，当时，均有” 是“函数在上为严格减函数”的充要条件. 19．（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【详解】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当 时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当 或 时， ，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当 时，在区间 上单调递减， 此时，满足； ③当 时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为 ，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或 或. (3)必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $