第2.2节 简谐运动的描述（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理简谐运动的描述这一核心知识点，系统梳理振幅、周期、频率、相位等参数的定义，阐述周期与频率的倒数关系，推导简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ₀)，并解析x-t图像中斜率代表速度方向的规律，构建从概念到应用的学习支架。 该资料融合知识导图可视化呈现、实验探究（如测量小球振动周期）与避坑指南（区分振幅与位移、四分之一周期路程计算），通过真题演练和分阶练习提升科学思维（模型建构）与科学探究能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化物理观念应用。

第2.2节 简谐运动的描述 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的描述（振幅、周期、频率、相位等参数） 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数 角度02 简谐运动的某一时刻或某段时间内质点的运动情况 角度03 简谐运动的图像问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.掌握振幅、周期、频率、相位四个物理量含义 2.理解周期与频率互为倒数的数量关系 3.看懂简谐运动（x-t）图像，会分析位移、速度变化 1.振幅描述振动强弱，周期描述振动快慢 2.（x-t）图像斜率代表瞬时速度，斜率正负表示速度方向 3.全振动是一次完整往复过程，只算一个周期 知识导图 考点01 简谐运动的描述（振幅、周期、频率、相位等参数） 1、简谐运动的振幅定义：振动物体离开 的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、简谐运动的周期和频率 （1）全振动：一个 过程称为一次全振动，即振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 ①一次全振动路程为振幅的4倍。 ②弹簧振子完成一次全振动的时间总是 的。 （3）周期：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 （2）频率：周期的 叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。 （3）周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体 的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 （4）圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝ 。 3、测量小球振动的周期 （1）如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。 （2）用停表测出钢球完成n个全振动所用的时间t，nt就是振动的周期。n的值取大一些可以减小测量误差。 （3）再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。 （4）实验结果： ①振动周期与振幅大小无关。 ②振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。 ③振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。 （4）结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。 （5）经过实验证明，弹簧振子的周期公式为：其中：T 表示弹簧振子的周期（单位：秒，s），即完成一次全振动所需的时间；m 是振子的质量（单位：千克，kg）；k 是弹簧的劲度系数（单位：牛/米，N/m），反映弹簧的弹性强弱；π是圆周率（约等于3.14）。 4、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为 ，ω为圆频率，T为简谐运动的 。从x＝Asin（ωt＋φ0）可以发现：当（ωt＋φ0）确定时，sin（ωt＋φ0）的值也就确定了，所以（ωt＋φ0）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。 （1）相位：“ωt＋φ0” 叫简谐运动的相位，它是描述周期性运动在一个运动周期中的 。 （2） φ0叫初相,即t=0时的相位。 5、简谐运动的相位差：两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差， 。 （1）取值范围：－2π≤Δφ≤2π。 ①同相：相位差为零，一般地为Δφ=2nπ（n=0,1,2,……） ②反相：相位差为π，一般地为φ=(2n+1)π（n=0,1,2,……） (2)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。 Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。 【深化点拨】 1．简谐运动的振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 2．做简谐运动的物体运动过程中的周期性 （1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 （2）若t2－t1＝nT＋1/2T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 （3）若t2－t1＝nT＋1/4T或t2－t1＝nT＋3/4T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。 1．一质点沿轴做简谐运动，其振动图像如图所示，则在到时间内，下列说法正确的是（　　） A．质点在0.4s时和0.8s时的速度相同 B．质点在0.2s时和0.6s时的加速度大小相等 C．质点在0.6s时和1.0s时的位移相同 D．质点在内的回复力方向始终不变 2．（多选）一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知（　　） A．质点振动频率是0.25Hz B．时，质点的加速度最小 C．质点的振幅为2cm D．时，质点所受的合力不一定为零 3．某个质点的简谐运动图像如图所示。求： (1)振动的振幅和周期； (2)写出简谐运动的表达式。 简谐运动的描述的综合应用及解题步骤 1.核心物理量：必须“分清”振幅、周期与频率 （1）描述简谐运动的三个基本物理量，决定了振动的“样子”和“快慢”。 振幅（A）：振动物体离开平衡位置的最大距离。 注意：振幅是标量，表示振动的强弱（能量大小）。一次全振动路程是 4A。 周期（T）与频率（f）： 周期 T：完成一次全振动所需的时间。 频率 f：单位时间内完成全振动的次数。 关系： 。它们由振动系统本身决定（固有周期/频率），与振幅无关（等时性）。 （2）避坑点：振幅不是位移，位移是矢量且随时间变化，振幅是标量且恒定不变。 2.振动方程：必须“读懂”相位与初相（简谐运动的数学表达式为 x=Asin（ωt+ϕ））。 （1）圆频率 ω： ω==2πf，表示振动的快慢。 （2）相位（ωt+ϕ）：决定质点在t时刻的运动状态（位置和速度方向）。 （3）初相ϕ：t=0时刻的相位，决定了计时的起点状态。 若从平衡位置向正方向运动开始计时，ϕ=0； 若从正向最大位移处开始计时， ϕ= (若是余弦函数则为0)。 3.x−t图像分析：必须“掌握”斜率与截距（振动图像（x−t图）是正弦或余弦曲线，解题时需从图中提取信息）。 （1）直接读取： 纵轴最大值→振幅A。 横轴一个完整波形的宽度→周期T。 （2）判断方向（上下坡法）： 看下一时刻的位置：如果图像往“上”走，说明质点向正方向运动（v>0）；如果往“下”走，说明向负方向运动（v<0）。 或者看斜率：斜率为正代表速度为正，斜率为负代表速度为负。 4.特殊时间与路程计算：必须“警惕”非整数倍（计算质点在某段时间t内通过的路程s）。 （1）整周期规律：若 t=n.T（n为整数），则路程s=n.4A。 （2）半周期规律：若 t=n.，则路程 s=n.2A（无论起点在哪里都成立）。 （3）四分之一周期陷阱：若 t=，只有当起点在平衡位置或最大位移处时，路程才等于A。 避坑：如果从其他位置开始运动，路程 s≠A（靠近平衡位置时 s>A，靠近最大位移时 s<A）。此时建议画草图辅助判断。 角度01 简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数 1．如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 2．（多选）一水平放置、质量为m的弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动，其加速度与时间的关系图像如图所示，规定水平向右为正方向，弹簧振子的周期，m为振子质量，k为劲度系数（未知），根据图像所提供的已知信息，下列说法正确的是（　　） A．时刻，振子处在平衡位置向左运动 B．弹簧振子的周期为 C．弹簧振子的振幅为 D．弹簧的劲度系数为 3．如图所示是某弹簧振子的振动图像。 (1)求振子振动的振幅、周期、频率和初相； (2)当时，振子相对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？ (3)如果从点开始计时，写出振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式。如果从点开始计时，表达式又是怎样的？ 角度02 简谐运动的某一时刻或某段时间内质点的运动情况 4．如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 5．（多选）如图是一质点做简谐运动的图像，由图可知（     ） A．振动的周期是5s B．振动的振幅是2cm C．s时刻质点的位移是-2cm D．s时刻质点向x轴负方向振动 6．如图是一物体做简谐运动的振动图像。请根据图像回答下列问题： (1)这个振动的频率是多大？ (2)在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？ (3)求t＝0.5s时刻到t＝5s时刻该物体所通过的路程大小。 角度03 简谐运动的图像问题 7．如图所示为一水平方向弹簧振子的振动图像，弹簧的劲度系数为20N/cm，下列说法正确的是（　　） A．图中A点对应的时刻振子所受的弹力大小为50N，方向指向x轴正方向 B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段 C．在0~1.5s内振子做了3.75次全振动 D．在0~1.5s内振子通过的路程为75cm 8．（多选）如图甲所示，滑块以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。取向右为正方向，滑块的位移随时间的变化如图乙所示，则可知（　　） A．时，滑块的加速度方向向左 B．时，滑块的回复力为零 C．时，滑块的速度方向向左 D．到时间内，滑块的动能逐渐增大 9．如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动，其振动图像如图乙所示。完成以下问题： (1)该振子在到内运动的路程是多少？ (2)写出该振子简谐运动的振动方程。 【例1】（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 【深化点拨】 （1）考查简谐运动基本物理量辨析，能从振动图像直接读出振幅、周期，理解周期和频率的对应关系。 （2）考查振动位移图像的物理含义，平衡位置速度最大，最大位移处速度等于零。 （3）考查简谐运动加速度特点，加速度永远指向平衡位置，由位移位置就能判断加速度方向。 （4）考查浮力作为回复力的简谐运动实物模型，掌握漂浮试管竖直振动的受力本质。 【变式1-1】（2024·浙江·高考真题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．时刻小球与影子相位差为 D．时刻影子的位移为 【变式1-2】（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【变式1-3】如图是某简谐运动的振动图像，试根据图像回答下列问题。 (1)该简谐运动的振幅、周期、频率各是多大？ (2)从C点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次全振动？ (3)曲线上A、B、C、D、E、F、G、H各点中，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表示振子的势能最大？ ⚡基础速刷 1．如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从t=0时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为1s B．A、B之间的距离为4cm C．0~0.5s内，该振子从O向B运动，且其加速度不断减小 D．该振子在1.5cm处和在-1.5cm处的速度一定相同 2．如图甲，钓鱼浮标在竖直方向振动，该振动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，浮标的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．浮标的振幅为2.0cm B．浮标的振动频率为0.4Hz C．时，浮标的速度最大 D．时，浮标的振动方向向上 3．用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所示，下列描述正确的是（     ） A．时，小球的加速度和位移均为负的最大值 B．内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大 C．内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大 D．时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值 4．（多选）如图所示，光滑水平面上自然伸长的轻弹簧一端连接小滑块，另一端固定于竖直墙壁。将滑块缓慢向右拉动一小段距离，0时刻松开，时刻滑块第二次达到最大速度。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。关于小滑块加速度、小滑块相对于平衡位置点的位移随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移-时间图像，下列有关该图像的说法中正确的是（　　） A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置处 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向运动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直横轴的方向做匀速直线运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同 6．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的位移时间关系的表达式； (2)求出在t=19s时振子相对平衡位置的位移是多少；振子在前19s的路程是多少？ 7．一水平弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，如图所示为该弹簧振子的振动图像，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）该振子在100s内通过的路程是多少？ （3）该振子从时刻到时刻，其经过的路程是多少？ 🚀能力跃升 8．如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　） A．弹簧振子在O点时弹力为零 B．弹簧振子从点经过点再回到点为一次全振动 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在前内的路程为 9．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动。小球经过B点时开始计时，小球离开平衡位置的位移x和时间t的关系式为。不计一切阻力，下列说法正确的是（ ） A．小球振动的周期为2.0s B．BC两点相距0.2m C．小球由C点到O点加速度不断减小 D．振动过程中小球机械能守恒 10．如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 11．（多选）如图甲所示，质量为m的底座B放在水平面上，通过轻弹簧与质量同样为m的物块A连接，现在竖直方向给物块A一初速度，当物块A运动到最高点时，底座B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物块A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．振动过程中物块A的机械能守恒 B．物块A在任意1s内通过的路程均为20m C．底座B对水平面的最大压力为4mg D．物块A的振动方程为 12．（多选）如图所示，实线为质点甲做简谐运动的振动图像，虚线为质点乙做简谐运动的振动图像。下列说法中正确的是（） A．甲的周期是0.2s B．甲的频率是0.4Hz C．t=3s时，质点乙的速度为0 D．t=0时，甲、乙的相位差的绝对值是 13．如图甲所示，原长的竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端连接质量的小球（视为质点），初始时小球静止在点。现将小球拉至点正上方距地面高度为的点后由静止释放，此后小球在竖直方向上做简谐运动。从小球被释放开始计时，小球的位移随时间变化的规律如图乙所示，已知。取重力加速度大小，不计空气阻力。 (1)求点距地面的高度以及弹簧的劲度系数； (2)求小球到达最低点（图中未画出）的时刻； (3)若用质量为的小球替代小球，将小球拉至点后由静止释放，求此种情况下小球在从点运动到点的过程中克服弹簧弹力做的功以及小球到达点时的速度大小。 🌟思维挑战 14．如图甲所示，质量为1kg的物块A与竖直放置的轻弹簧上端连接，弹簧下端固定在地面上。t=0时，物块A处于静止状态，物块B从A正上方一定高度处自由落下，与A发生碰撞后粘连一起向下运动（碰撞时间极短），到达最低点后又向上运动，已知B运动的v—t图像如图乙所示，其中0~0.1s的图线为直线，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能的表达式，其中劲度系数k=100N/m，x为弹簧的形变量，则（　　） A．物块B的质量为2kg B．t=1.0s时，弹簧处于原长 C．t=0.6s时，物块B速度为零 D．弹簧在振动过程中不会恢复原长 15．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的余弦型函数曲线印迹，图中的、、、、为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为和的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子在P点时的加速度最大，在Q点时的加速度最小 B．若拉纸的速度v变大，该弹簧振子的周期变大 C．由图可计算该弹簧振子的周期为 D．在记录笔留下P印迹时，物块速度有最小值 16．（多选）质量为的物块和劲度系数为的弹簧构成的弹簧振子如图甲所示，物块做简谐运动的过程中，物块的动能和弹簧的弹性势能随时间变化的图像如图乙所示，已知弹簧的弹性势能满足关系式（为弹簧的形变量），重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．0时刻，物块处于平衡位置 B．时刻，物块的加速度大小为 C．时刻物块的动能与弹簧的弹性势能相等 D．弹簧上的最大弹性势能为 17．如图甲，方形木块A、B叠放在光滑水平地面上，在水平轻质弹簧的作用下一起做简谐运动，以运动过程中的某时刻开始计时，以其平衡位置为位移零点，其位移时间图像如图乙所示，已知A的质量，B的质量，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。求： (1)A的位移随时间变化的方程； (2)A、B间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.2节 简谐运动的描述 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 简谐运动的描述（振幅、周期、频率、相位等参数） 03 避坑指南·解题通法 角度01 简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数 角度02 简谐运动的某一时刻或某段时间内质点的运动情况 角度03 简谐运动的图像问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.掌握振幅、周期、频率、相位四个物理量含义 2.理解周期与频率互为倒数的数量关系 3.看懂简谐运动（x-t）图像，会分析位移、速度变化 1.振幅描述振动强弱，周期描述振动快慢 2.（x-t）图像斜率代表瞬时速度，斜率正负表示速度方向 3.全振动是一次完整往复过程，只算一个周期 知识导图 考点01 简谐运动的描述（振幅、周期、频率、相位等参数） 1、简谐运动的振幅定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 （1）国际单位——米。 （2）振幅是描述振动强弱的物理量，常用字母A表示。 （3）振子振动范围的大小是振幅的两倍——2A。 （4）振幅的大小直接反映了振子振动能量(E=EK+EP)的高低。 2、简谐运动的周期和频率 （1）全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，即振动物体从某一初始状态开始，再次回到初始状态（即位移、速度均与初态完全相同）所经历的过程。 ①一次全振动路程为振幅的4倍。 ②弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的。 （3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。 （2）频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。 （3）周期和频率的关系：f＝。周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快。 （4）圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf。 3、测量小球振动的周期 （1）如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离 A，放手让其运动，A 就是振动的振幅。 （2）用停表测出钢球完成n个全振动所用的时间t，nt就是振动的周期。n的值取大一些可以减小测量误差。 （3）再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动的周期。 （4）实验结果： ①振动周期与振幅大小无关。 ②振动周期与弹簧的劲度系数有关，劲度系数较大时，周期较小。 ③振动周期与振子的质量有关，质量较小时，周期较小。 （4）结论：弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，而与振幅无关，所以常把周期和频率叫做固有周期和固有频率。 （5）经过实验证明，弹簧振子的周期公式为：其中：T 表示弹簧振子的周期（单位：秒，s），即完成一次全振动所需的时间；m 是振子的质量（单位：千克，kg）；k 是弹簧的劲度系数（单位：牛/米，N/m），反映弹簧的弹性强弱；π是圆周率（约等于3.14）。 4、简谐运动的表达式：x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期。从x＝Asin（ωt＋φ0）可以发现：当（ωt＋φ0）确定时，sin（ωt＋φ0）的值也就确定了，所以（ωt＋φ0）代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。 （1）相位：“ωt＋φ0” 叫简谐运动的相位，它是描述周期性运动在一个运动周期中的状态。 （2） φ0叫初相,即t=0时的相位。 5、简谐运动的相位差：两个相同频率的简谐运动的相位差，简称相差，Δφ＝φ1－φ2。 （1）取值范围：－2π≤Δφ≤2π。 ①同相：相位差为零，一般地为Δφ=2nπ（n=0,1,2,……） ②反相：相位差为π，一般地为φ=(2n+1)π（n=0,1,2,……） (2)Δφ>0，表示振动2比振动1超前。 Δφ<0，表示振动2比振动1滞后。 【深化点拨】 1．简谐运动的振幅和位移的区别 （1）振子的位移大小等于其偏离平衡位置的距离，时刻在变化；但振幅是不变的。 （2）位移是矢量，振幅是标量，它等于最大位移的数值。 2．做简谐运动的物体运动过程中的周期性 （1）若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 （2）若t2－t1＝nT＋1/2T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 （3）若t2－t1＝nT＋1/4T或t2－t1＝nT＋3/4T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。 1．一质点沿轴做简谐运动，其振动图像如图所示，则在到时间内，下列说法正确的是（　　） A．质点在0.4s时和0.8s时的速度相同 B．质点在0.2s时和0.6s时的加速度大小相等 C．质点在0.6s时和1.0s时的位移相同 D．质点在内的回复力方向始终不变 【答案】B 【详解】A．0.4s时质点处于平衡位置向负方向运动，速度最大；0.8s时质点处于平衡位置向正方向运动，速度最大，故A错误。 B．加速度与位移成正比，方向相反。0.2s时位移为正向最大，加速度为负向最大；0.6s时位移为负向最大，加速度为正向最大，两者大小相等、方向相反，故B正确。 C．0.6s时位移为负向最大，1.0s时位移为正向最大，位移不同，故C错误。 D．内质点从正向最大位移向负向最大位移运动，位移由正变负，回复力方向由负变正，方向改变，故D错误。 故选B。 2．（多选）一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知（　　） A．质点振动频率是0.25Hz B．时，质点的加速度最小 C．质点的振幅为2cm D．时，质点所受的合力不一定为零 【答案】ACD 【详解】AC．由题图可知，质点的振幅为，振动的周期为，所以质点振动的频率为，故AC正确； B．时，质点处于负的最大位移处，可知此时质点的加速度最大，故B错误； D．时，质点处于平衡位置，此时质点的回复力为0，但质点所受的合力不一定为0，比如单摆运动，摆球在平衡位置时所受合力不为0，故D正确。 故选ACD。 3．某个质点的简谐运动图像如图所示。求： (1)振动的振幅和周期； (2)写出简谐运动的表达式。 【详解】（1）根据图像可知振动的振幅为2cm，周期为4s。 （2）角频率为 简谐运动的表达式为 简谐运动的描述的综合应用及解题步骤 1.核心物理量：必须“分清”振幅、周期与频率 （1）描述简谐运动的三个基本物理量，决定了振动的“样子”和“快慢”。 振幅（A）：振动物体离开平衡位置的最大距离。 注意：振幅是标量，表示振动的强弱（能量大小）。一次全振动路程是 4A。 周期（T）与频率（f）： 周期 T：完成一次全振动所需的时间。 频率 f：单位时间内完成全振动的次数。 关系： 。它们由振动系统本身决定（固有周期/频率），与振幅无关（等时性）。 （2）避坑点：振幅不是位移，位移是矢量且随时间变化，振幅是标量且恒定不变。 2.振动方程：必须“读懂”相位与初相（简谐运动的数学表达式为 x=Asin（ωt+ϕ））。 （1）圆频率 ω： ω==2πf，表示振动的快慢。 （2）相位（ωt+ϕ）：决定质点在t时刻的运动状态（位置和速度方向）。 （3）初相ϕ：t=0时刻的相位，决定了计时的起点状态。 若从平衡位置向正方向运动开始计时，ϕ=0； 若从正向最大位移处开始计时， ϕ= (若是余弦函数则为0)。 3.x−t图像分析：必须“掌握”斜率与截距（振动图像（x−t图）是正弦或余弦曲线，解题时需从图中提取信息）。 （1）直接读取： 纵轴最大值→振幅A。 横轴一个完整波形的宽度→周期T。 （2）判断方向（上下坡法）： 看下一时刻的位置：如果图像往“上”走，说明质点向正方向运动（v>0）；如果往“下”走，说明向负方向运动（v<0）。 或者看斜率：斜率为正代表速度为正，斜率为负代表速度为负。 4.特殊时间与路程计算：必须“警惕”非整数倍（计算质点在某段时间t内通过的路程s）。 （1）整周期规律：若 t=n.T（n为整数），则路程s=n.4A。 （2）半周期规律：若 t=n.，则路程 s=n.2A（无论起点在哪里都成立）。 （3）四分之一周期陷阱：若 t=，只有当起点在平衡位置或最大位移处时，路程才等于A。 避坑：如果从其他位置开始运动，路程 s≠A（靠近平衡位置时 s>A，靠近最大位移时 s<A）。此时建议画草图辅助判断。 角度01 简谐运动的表达式及振幅、周期、频率、相位等参数 1．如图所示为一弹簧振子做简谐振动的位移—时间图像。振子的振动周期为T，振幅为A，t0（t0为未知量）时刻该振子处于平衡位置，则下列说法正确的是（     ） A．时刻，振子的加速度最大 B．t=0时刻振子正在向远离平衡位置的方向运动 C． D．振子的振动方程为 【答案】A 【详解】A．时刻，振子位于正向位移最大处，可知此时的加速度为负向最大，A正确； B．由图像可知，t=0时刻振子正在从平衡位置上方向平衡位置的方向运动，B错误； CD．因，则根据振子的振动方程为 当时x=0，即； 当时，即 可得， 振子的振动方程为，则CD错误； 故选A。 2．（多选）一水平放置、质量为m的弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动，其加速度与时间的关系图像如图所示，规定水平向右为正方向，弹簧振子的周期，m为振子质量，k为劲度系数（未知），根据图像所提供的已知信息，下列说法正确的是（　　） A．时刻，振子处在平衡位置向左运动 B．弹簧振子的周期为 C．弹簧振子的振幅为 D．弹簧的劲度系数为 【答案】AC 【详解】A．由题图可知，时刻加速度为0，时刻后正向变大，根据牛顿第二定律可知时刻，振子处在平衡位置向左运动，故A正确； B．根据题图可知弹簧振子的周期为，故B错误； CD．根据题图可知振子的最大加速度为，根据以及 联立可得，，故C正确，D错误。 故选AC。 3．如图所示是某弹簧振子的振动图像。 (1)求振子振动的振幅、周期、频率和初相； (2)当时，振子相对平衡位置的位移是多少？它在一次全振动中所通过的路程是多少？ (3)如果从点开始计时，写出振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式。如果从点开始计时，表达式又是怎样的？ 【详解】（1）振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由题图可知，最大距离为，即振幅 周期是完成一次全振动所需要的时间，图中之间表示一次全振动，所对应的时间是，所以 可得 初相是时的相位，可知 （2）由题图可知，当时，振子相对平衡位置的位移是 它在一次全振动中所通过的路程就是振幅的倍，即 （3）由（1）知， 如果从点开始计时，振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式为 如果从点开始计时，振子做简谐运动的位移与时间关系的表达式为。 角度02 简谐运动的某一时刻或某段时间内质点的运动情况 4．如图甲所示，水面上有两个浮球A、B，水面上的振源O垂直于水面持续沿竖直方向振动，形成沿水面传播、波长λ=20m的水波。当浮球B起振时开始计时，以竖直向上为z轴正方向，浮球B的振动图像如图乙所示。已知OB=15m，OA=20m，下列说法正确的是（　　） A．浮球的振动频率为1.5Hz B．t=1s时，浮球A开始振动 C．t=1.5s时，浮球A位于最高点 D．t=1.5s时，浮球A的速度最大 【答案】C 【详解】A．由图乙可知，波的周期为T=1s 频率，故A错误； B．因为 浮球A的振动比浮球B的振动滞后，所以时，浮球A开始振动，故B错误； CD．浮球A在t=1.5s时相对平衡位置的位移等于浮球B在t=1.25s时相对平衡位置的位移，此时浮球位于波峰位置，速度为零，故C正确，D错误。 故选C。 5．（多选）如图是一质点做简谐运动的图像，由图可知（     ） A．振动的周期是5s B．振动的振幅是2cm C．s时刻质点的位移是-2cm D．s时刻质点向x轴负方向振动 【答案】BD 【详解】A．周期是质点完成一次全振动的时间。由图像可知，从平衡位置再回到平衡位置时间为 因此周期，故A错误； B．振幅是简谐运动中质点偏离平衡位置的最大距离，由图可知最大位移大小为，因此振幅为，故B正确； C．由图像可知，时刻质点在平衡位置，位移为，不是，故C错误； D．根据简谐运动的周期性 则时运动状态和完全相同；之后一段时间内，质点位移从向变化，说明质点向轴负方向振动，因此质点也向轴负方向振动，故D正确。 故选BD。 6．如图是一物体做简谐运动的振动图像。请根据图像回答下列问题： (1)这个振动的频率是多大？ (2)在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？ (3)求t＝0.5s时刻到t＝5s时刻该物体所通过的路程大小。 【详解】（1）由题图可知，周期为，则振动的频率为 （2）由题图可知，图中t1时刻和t2时刻，物体的位移分别为， （3）从时刻到时刻，经过的时间为 由于物体处于平衡位置，则该段时间通过的路程为 角度03 简谐运动的图像问题 7．如图所示为一水平方向弹簧振子的振动图像，弹簧的劲度系数为20N/cm，下列说法正确的是（　　） A．图中A点对应的时刻振子所受的弹力大小为50N，方向指向x轴正方向 B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段 C．在0~1.5s内振子做了3.75次全振动 D．在0~1.5s内振子通过的路程为75cm 【答案】B 【详解】A．图中A点对应的时刻振子离开平衡位置的位移为2.5cm，故所受的弹力大小为 方向指向x轴负方向，故A错误； B．由振动图线可知，图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴正方向，且处于减速运动阶段，故B正确； C．振子振动的周期为 故在0~1.5s内振子做了7.5次全振动，故C错误； D．在0~1.5s内振子通过的路程为，故D错误。 故选B。 8．（多选）如图甲所示，滑块以点为平衡位置，在、两点之间做简谐运动。取向右为正方向，滑块的位移随时间的变化如图乙所示，则可知（　　） A．时，滑块的加速度方向向左 B．时，滑块的回复力为零 C．时，滑块的速度方向向左 D．到时间内，滑块的动能逐渐增大 【答案】ACD 【详解】A．在时，滑块的位移为正，且正在远离平衡位置。根据简谐运动的性质，加速度方向与位移方向相反，因此加速度方向向左，故A正确。 B．在时，滑块的位移为正最大，根据简谐运动的回复力公式，此时回复力最大，不为零，故B错误。 C．在时，滑块的位移为正，且正在向平衡位置运动。根据简谐运动的性质，此时速度方向与位移方向相反，因此速度方向向左，故C正确。 D．在到时间内，滑块的位移从正向最大逐渐减小到0，速度从零逐渐增大到最大，因此动能一直增大，故D正确。 故选ACD。 9．如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动，其振动图像如图乙所示。完成以下问题： (1)该振子在到内运动的路程是多少？ (2)写出该振子简谐运动的振动方程。 【详解】（1）由图乙可知：周期，而，恰为两个周期，则路程 （2）因 该振子简谐运动的振动方程为 【例1】（2024·福建·高考真题）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管（　　） A．振幅为 B．振动频率为 C．在时速度为零 D．在时加速度方向竖直向下 【答案】B 【详解】AB．根据图像(b)可知，振幅为；周期为 则频率为 故A错误，B正确； C．根据图像可知，时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误； D．根据图像可知，时质点处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。 故选B。 【深化点拨】 （1）考查简谐运动基本物理量辨析，能从振动图像直接读出振幅、周期，理解周期和频率的对应关系。 （2）考查振动位移图像的物理含义，平衡位置速度最大，最大位移处速度等于零。 （3）考查简谐运动加速度特点，加速度永远指向平衡位置，由位移位置就能判断加速度方向。 （4）考查浮力作为回复力的简谐运动实物模型，掌握漂浮试管竖直振动的受力本质。 【变式1-1】（2024·浙江·高考真题）如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则（　　） A．时刻小球向上运动 B．时刻光源的加速度向上 C．时刻小球与影子相位差为 D．时刻影子的位移为 【答案】D 【详解】A．以竖直向上为正方向，根据图2可知，时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知，时刻小球向下运动，故A错误； B．以竖直向上为正方向，时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据 可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误； C．根据图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即时刻小球与影子相位差为0，故C错误； D．根据图2可知，时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有 解得 即时刻影子的位移为5A，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（多选）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动     D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【答案】AD 【详解】B．如果a球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即b球初始时刻位置，则可知b的振幅为，B错误； ACD．a球发生运动的临界条件为弹簧对a球向上的弹力大于a球的重力，则此时对a球有 对b球有此时加速度 由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，则有 解得 即，否则a球会发生运动，AD正确，C错误。 故选AD。 【变式1-3】如图是某简谐运动的振动图像，试根据图像回答下列问题。 (1)该简谐运动的振幅、周期、频率各是多大？ (2)从C点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次全振动？ (3)曲线上A、B、C、D、E、F、G、H各点中，哪些点表示振子的动能最大，哪些点表示振子的势能最大？ 【详解】（1）由图可知，简谐振动的振幅为 周期 频率 （2）由图可知，从C点算起，到曲线上的G点，该简谐振动完成了一次全振动 （3）根据简谐振动的特点及图像可知，振子在B、D、F、H平衡位置处动能最大，在A、C、E、G处具有势能最大。 ⚡基础速刷 1．如图甲所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做简谐运动，O为平衡位置。以水平向右为正方向，从t=0时刻起，振子的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．该振子的振动周期为1s B．A、B之间的距离为4cm C．0~0.5s内，该振子从O向B运动，且其加速度不断减小 D．该振子在1.5cm处和在-1.5cm处的速度一定相同 【答案】B 【详解】A．由图乙振动图像可知，从到经历了半个周期，则该振子的周期为2s，故A错误； B．由图乙可知该振子的振幅，图甲中、两点分别对应简谐运动的正、负最大位移处，因此、之间的距离为，故B正确； C．由图乙可知，在内，该振子从点向点（平衡位置）运动，加速度不断增大，故C错误； D．根据简谐运动的对称性，振子在处和在处的速度大小相同，但方向可能相同也可能相反，因此速度不一定相同，故D错误。 故选B。 2．如图甲，钓鱼浮标在竖直方向振动，该振动可视为简谐运动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，浮标的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．浮标的振幅为2.0cm B．浮标的振动频率为0.4Hz C．时，浮标的速度最大 D．时，浮标的振动方向向上 【答案】D 【详解】A．根据图乙，振幅为1.0cm，A错误； B．根据图乙，周期为，则频率，B错误； C．时，质点处于负向最大位置处，此时速度为零，C错误； D．时，质点处于平衡位置且向上振动，D正确。 故选D。 3．用小球和轻弹簧组成弹簧振子，使其沿水平方向振动，振动图像如图所示，下列描述正确的是（     ） A．时，小球的加速度和位移均为负的最大值 B．内，小球的速度逐渐减小，加速度逐渐增大 C．内，弹簧的势能逐渐减小，弹簧弹力逐渐增大 D．时，小球的动能达到最大值，弹簧的势能达到最小值 【答案】D 【详解】A．在时，由图像可知小球位移，为正向最大值，根据简谐运动的加速度公式 可知此时加速度为负向最大值，加速度与位移方向相反，故A错误； B．在内，小球从正向最大位移处向平衡位置运动，其速度逐渐增大，位移大小逐渐减小，则加速度逐渐减小，故B错误； C．在内，小球从平衡位置向负向最大位移处运动，位移大小逐渐增大，弹簧形变量随之增大，根据胡克定律，弹力逐渐增大，弹性势能也逐渐增大，故C错误； D．在时，小球经过平衡位置，此时速度达到最大值，动能最大；由于此时弹簧形变量为零，弹性势能最小，故D正确。 故选D。 4．（多选）如图所示，光滑水平面上自然伸长的轻弹簧一端连接小滑块，另一端固定于竖直墙壁。将滑块缓慢向右拉动一小段距离，0时刻松开，时刻滑块第二次达到最大速度。弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。关于小滑块加速度、小滑块相对于平衡位置点的位移随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】时刻小滑块第二次达到最大速度，可知，即 因0时刻小滑块在位移正向最大位置，此时加速度负向最大，速度为零；可知图像为B，图像为D。 故选BD。 5．（多选）如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移-时间图像，下列有关该图像的说法中正确的是（　　） A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置处 B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿横轴方向运动的 C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直横轴的方向做匀速直线运动 D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同 【答案】AD 【详解】AB．由图看出，弹簧振子在沿x轴即纵轴方向做简谐运动，由对称性可知，该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置，故A正确，B错误； C．类似于沙摆实验，为了显示小球在不同时刻偏离平衡的位移，让底片沿垂直x轴方向即沿横轴方向匀速运动，故C错误； D．图像中小球的疏密反映了小球在x方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故D正确。 故选AD。 6．如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的位移时间关系的表达式； (2)求出在t=19s时振子相对平衡位置的位移是多少；振子在前19s的路程是多少？ 【详解】（1）由图可知，该振子的振幅和周期分别为 该振子的圆频率和初相分别为 所以，该振子的简谐运动的位移时间关系的表达式为 （cm） （2）将t=19s代入振子的简谐运动的位移时间关系的表达式得 因 所以，振子在前19s的路程是 7．一水平弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，如图所示为该弹簧振子的振动图像，求： （1）该振子简谐运动的表达式； （2）该振子在100s内通过的路程是多少？ （3）该振子从时刻到时刻，其经过的路程是多少？ 【详解】（1）如图所示，可得周期 圆频率为 振幅为 时，从平衡位置开始振动，那么初相位为零，得振子简谐运动的表达式为 （2）振子振动100s与周期关系为 振子在100s内通过的路程是 （3）振子从时刻时 由图可知至2s的路程为 2s至的路程为 其经过的路程是 🚀能力跃升 8．如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则（　　） A．弹簧振子在O点时弹力为零 B．弹簧振子从点经过点再回到点为一次全振动 C．弹簧振子的振动方程为 D．弹簧振子在前内的路程为 【答案】D 【详解】A．弹簧振子在O点时弹力等于振子重力，故A错误； B．由于点不是图像的极值点，因此弹簧振子从点经过点再回到点的过程不是一次全振动，故B错误； C．由图乙知周期为，弹簧振子的振幅为 根据角速度与周期之间的公式有 规定竖直向下为正方向，振子到达点开始计时,时刻位移为，可知初相为 则弹簧振子的振动方程为，故C错误； D．弹簧振子在前内的路程为 代入得，故D正确。 故选D。 9．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动。小球经过B点时开始计时，小球离开平衡位置的位移x和时间t的关系式为。不计一切阻力，下列说法正确的是（ ） A．小球振动的周期为2.0s B．BC两点相距0.2m C．小球由C点到O点加速度不断减小 D．振动过程中小球机械能守恒 【答案】C 【详解】A．小球振动的周期为，故A错误； B．BC两点之间的距离为，故B错误； C．根据简谐运动特点，小球由C点到O点，小球的回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知小球的加速度不断减小，故C正确； D．振动过程中小球机械能不守恒，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，故D错误。 故选C。 10．如图1所示，可视为质点的两相同物块A、B和中间拴接的轻质弹簧组成一个系统，静止放在光滑水平地面上。其中物块A被锁定在固定位置，解锁后可自由滑动。时刻给物块B一个瞬时冲量，物块A解锁前，物块B位移随时间变化的规律如图2，物块B最大动能为2J。下列说法中正确的是（　　） A．物块B的振动方程为m B．任意0.1s内物块B的路程一定为10cm C．在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，系统的机械能和动量都相同 D．在0.05s时刻或0.35s时刻解锁后，系统的机械能相同，动量不同 【答案】C 【详解】A．根据图2可知，物块B的振动方程为，故A错误； B．根据图2可知，周期 由于 当B从平衡位置（或远离平衡位置最大距离的位置）开始运动，则0.1s内运动路程为10cm，若从平衡位置到远离平衡位置最大距离的位置之间的某一位置开始运动，当B初速度方向远离平衡位置时，0.1s内运动的路程小于10cm，当B初速度方向靠近平衡位置时，0.1s内运动的路程大于10cm，故B错误； C．当解锁A后，对A、B与弹簧构成的系统，只有弹簧弹力做功，则系统的机械能守恒，由于系统所受外力的合力为0，则系统的动量守恒，即解锁A后，系统的机械能和动量都守恒，在0.1s时刻或0.3s时刻解锁后，由于刚刚解锁时，B的速度为0，则系统的机械能相同，系统的动量均为零，故C正确； D．根据简谐运动的对称性可知，在0.05s时刻或0.35s时刻解锁时，B的速度相同，结合上述可知，系统的机械能相同，系统的动量也相同，动量均不为零，故D错误。 故选C。 11．（多选）如图甲所示，质量为m的底座B放在水平面上，通过轻弹簧与质量同样为m的物块A连接，现在竖直方向给物块A一初速度，当物块A运动到最高点时，底座B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物块A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．振动过程中物块A的机械能守恒 B．物块A在任意1s内通过的路程均为20m C．底座B对水平面的最大压力为4mg D．物块A的振动方程为 【答案】CD 【详解】A．振动过程中，由于弹簧弹力对A做功，所以物块A的机械能不守恒，故A错误； B．物块A做简谐运动，任意一个周期内通过的路程均为，物块A振动的周期为，而 所以任意1s内通过的路程小于，故B错误； C．物块A运动至最高点时，设弹簧弹力大小为，根据题意有 物块A运动至最低点时，设弹簧弹力大小为，根据简谐运动回复力的对称性可知 联立解得 根据物块B受力平衡得 解得 根据牛顿第三定律可知，底座B对水平面的最大压力为 故C正确； D．物块A的振动方程的形式为 由图乙可知，物块A的振幅为，又 当时， 得 所以物块A的振动方程为 故D正确。 故选CD。 12．（多选）如图所示，实线为质点甲做简谐运动的振动图像，虚线为质点乙做简谐运动的振动图像。下列说法中正确的是（） A．甲的周期是0.2s B．甲的频率是0.4Hz C．t=3s时，质点乙的速度为0 D．t=0时，甲、乙的相位差的绝对值是 【答案】CD 【详解】AB．实线是甲的振动图像，甲从到完成一次全振动，因此甲的周期 甲的频率，故AB错误； C．虚线是乙的振动图像，乙的周期和甲相同，。，时乙在负向最大位移处，经过个周期后，乙到达正向最大位移处；简谐运动中质点在最大位移处速度为，因此时乙的速度为，故C正确； D．甲乙的振动方程： 甲，初相位 时乙在负最大位移，，初相位 相位差的绝对值，故D正确； 故选CD。 13．如图甲所示，原长的竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端连接质量的小球（视为质点），初始时小球静止在点。现将小球拉至点正上方距地面高度为的点后由静止释放，此后小球在竖直方向上做简谐运动。从小球被释放开始计时，小球的位移随时间变化的规律如图乙所示，已知。取重力加速度大小，不计空气阻力。 (1)求点距地面的高度以及弹簧的劲度系数； (2)求小球到达最低点（图中未画出）的时刻； (3)若用质量为的小球替代小球，将小球拉至点后由静止释放，求此种情况下小球在从点运动到点的过程中克服弹簧弹力做的功以及小球到达点时的速度大小。 【详解】（1）根据题图乙可知，小球做简谐运动的振幅 又 解得 根据物体的平衡条件有 解得 （2）根据题图乙可知，小球做简谐运动的周期 小球从点至第一次到达点的时间 解得 结合简谐运动的周期性可得 （3）设小球在从点运动到点的过程中克服弹簧弹力做的功为，根据动能定理有 经分析可知 解得 对小球从点运动到点的过程，根据动能定理有 解得 🌟思维挑战 14．如图甲所示，质量为1kg的物块A与竖直放置的轻弹簧上端连接，弹簧下端固定在地面上。t=0时，物块A处于静止状态，物块B从A正上方一定高度处自由落下，与A发生碰撞后粘连一起向下运动（碰撞时间极短），到达最低点后又向上运动，已知B运动的v—t图像如图乙所示，其中0~0.1s的图线为直线，不计空气阻力，已知弹簧弹性势能的表达式，其中劲度系数k=100N/m，x为弹簧的形变量，则（　　） A．物块B的质量为2kg B．t=1.0s时，弹簧处于原长 C．t=0.6s时，物块B速度为零 D．弹簧在振动过程中不会恢复原长 【答案】D 【详解】A根据图乙可知，B与A碰撞前后速度大小分别为， 根据动量守恒定律有 解得，故A错误； B．根据图乙，1.0s时，速度大小为1.0m/s，该速度为A、B碰撞后的最大速度，可知，此时，A、B恰好处于平衡位置，弹簧弹力与重力平衡，则t=1.0s时，弹簧处于压缩状态，故B错误； C．A、B碰撞后做简谐运动，令正弦波形的周期为T，根据数学函数规律有 解得 根据图乙可知，图乙中物块B速度为零时的时刻为 可知，t=0.6s时，物块B速度不为零，故C错误； D．t=0时，物块A处于静止状态，此时弹簧处于压缩状态，则有 解得 结合上述，1.0s时，A、B恰好处于平衡位置，弹簧处于压缩状态，此时有 解得 1.0s后A、B向上运动到最高点速度为0时有 表明1.0s时弹簧仍然处于压缩状态，即弹簧在振动过程中不会恢复原长，故D正确。 故选D。 15．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的物块，组成一竖直的弹簧振子，在物块上装有一记录笔，在竖直面内放置有记录纸。当弹簧振子沿竖直方向上下自由振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的余弦型函数曲线印迹，图中的、、、、为记录纸上印迹的位置坐标值，P、Q分别是印迹上纵坐标为和的两个点。若空气阻力、记录笔的质量及其与纸之间的作用力均可忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子在P点时的加速度最大，在Q点时的加速度最小 B．若拉纸的速度v变大，该弹簧振子的周期变大 C．由图可计算该弹簧振子的周期为 D．在记录笔留下P印迹时，物块速度有最小值 【答案】D 【详解】A．该弹簧振子在点时的加速度最大，在点时的加速度也最大，故A错误； B．若拉纸的速度变大，不影响弹簧振子运动，该弹簧振子周期不变，弹簧振子的振动与纸带的运动无关，故B错误； C．弹簧振子的周期应当是两次相邻波峰之间经过的时间，为，故C错误； D．P印迹对应振子运动到最大位移处，弹簧振子偏离平衡位置最远，速度为0，故D正确。 故选D。 16．（多选）质量为的物块和劲度系数为的弹簧构成的弹簧振子如图甲所示，物块做简谐运动的过程中，物块的动能和弹簧的弹性势能随时间变化的图像如图乙所示，已知弹簧的弹性势能满足关系式（为弹簧的形变量），重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．0时刻，物块处于平衡位置 B．时刻，物块的加速度大小为 C．时刻物块的动能与弹簧的弹性势能相等 D．弹簧上的最大弹性势能为 【答案】BC 【详解】A．0时刻，物块的动能为0，速度为0，物块位于最大位移处，选项A错误； B．0时刻，弹簧的弹性势能为0，对物块受力分析可知，物块在最大位移处的加速度大小，因此时刻，物块的加速度大小为，选项B正确； C．时刻物块经过平衡位置，此时弹簧上的弹力大小 弹簧的弹性势能 对物块有 解得，可知时刻物块的动能与弹簧的弹性势能相等，选项C正确； D．物块从最高点运动到最低点的过程中，有 解得，选项D错误。 故选BC。 17．如图甲，方形木块A、B叠放在光滑水平地面上，在水平轻质弹簧的作用下一起做简谐运动，以运动过程中的某时刻开始计时，以其平衡位置为位移零点，其位移时间图像如图乙所示，已知A的质量，B的质量，弹簧的劲度系数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。求： (1)A的位移随时间变化的方程； (2)A、B间的动摩擦因数需要满足什么条件？ 【详解】（1）A做简谐运动的振幅，周期，位移方程为 时，， 时，， 则可得， 代入，得位移方程为 （2）在振幅处整体有最大加速度，由牛顿第二定律，有 解得 对A，有 且 联立，解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $