第1.2节 动量定理（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理“动量定理”核心知识点，系统梳理冲量的概念、定义式及矢量性，动量定理的内涵、公式及与动能定理的区别，通过目标清单、教材精研、避坑指南等学习支架，构建从基础概念到实际应用的完整脉络。 该资料亮点在于通过对比表格（冲量与功、动量定理与动能定理）培养科学思维，结合蹦极、流体冲击等实例深化物理观念，配套真题闯关和三阶练习。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

第1.2节 动量定理 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 冲量 考点02 动量定理 03 避坑指南·解题通法 角度01 用动量定理求解平均力 角度02 用动量定理解释缓冲现象 角度03 利用动量定理求蹦极类的问题 角度04 用动量定理解决流体问题 角度05 利用动量定理求解其他问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解冲量的概念，理解动量定理的内涵。 2.知道动量定理和动能定理的区别。 3.能用动量定理解释生产生活中的有关现象和解决实际问题。 1.通过理论推导，掌握动量定理的表达式。 2.通过对比，理解动量定理和动能定理的区别。 3.通过分析生活中的缓冲现象，掌握动量定理的应用。 知识导图 考点01 冲量 1．定义：力与力的作用时间的乘积。 2．定义式：I＝FΔt。 3．物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。 4．单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。 5．矢量性：冲量是矢量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同；如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 【深化点拨】 1．冲量的理解 （1）冲量是过程量，它描述的是力作用在物体上的时间累积效应，求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）冲量是矢量，冲量的方向与力的方向相同。 2．冲量的计算 （1）求某个恒力的冲量：用该力和力的作用时间的乘积。 （2）求合冲量的两种方法： 可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。 （3）求变力的冲量： ①若力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。 ②若给出了力随时间变化的图象如图所示，可用面积法求变力的冲量。 ③利用动量定理求解。 1．物理学上用“冲量”来描述力在一段时间内对物体运动状态的影响，用符号“I”表示，即，冲量的单位用国际单位制基本单位表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据冲量定义，以及牛顿第二定律可知，冲量的单位用国际单位制基本单位表示为 故选C。 2．（多选）关于冲量的概念，以下说法错误的是（　　） A．作用在两个物体上的力大小不同，但这两个物体所受的冲量可能相同 B．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定很大 C．作用在物体上的力作用时间很短，物体所受的冲量一定很小 D．只要力的作用时间与力的大小的乘积相等，物体所受的冲量就相同 【答案】BCD 【详解】A．由冲量的定义式 可知，作用在两个物体上的力大小不同，作用时间不相等时，这两个物体所受的冲量可能相同，故A说法正确，不符合题意； B．作用在物体上的力很大，若力的作用时间很短，则物体所受的冲量不一定大，故B错误，符合题意； C．作用在物体上的力作用时间很短，若力很大，则冲量不一定很小，故C错误，符合题意； D．冲量是矢量，冲量的方向由力的方向决定，力的作用时间与力的大小的乘积相等，若力的方向不同，则冲量不同，故D错误，符合题意。 故选BCD。 【冲量和功的比较】 冲量 功 区 别 公式 I=Ft W=Fxcosθ 标、矢量 矢量 标量 单位 N ·S N ·m（J） 意义 力对时间的积累，对应一段时间 在F-t图像中可以用面积表示 力对位移的积累，对应一段位移 在F-x图像中可以用面积表示 正负 正负表示与正方向相同或相反 正负表示动力做功或阻力做功 作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能 考点02 动量定理 1、动量定理内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 公式：F(t′－t)＝mv′－mv或I＝p′－p。 2、用动量概念表示牛顿第二定律：由mv-mv0=Ft，得到，所以物体动量的变化率等于它受到的力，即，这是牛顿第二定律的动量表述。 3、用动量定理求平均作用力:对于涉及变力作用的动量问题，可以利用动量定理求解平均作用力。 公式为：Δt=mv2-mv1。 4、用动量定理求分析两类柱状模型 （1）流体类柱状模型 流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体 具 体 分 析 根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv，分两种情况： （1）作用后流体微元停止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2； （2）作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。 （2）微粒类柱状模型 微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 【深化点拨】 1．动量定理的内容和应用 （1）动量、动量的变化量、冲量、力都是矢量，解题时，先要规定正方向，与正方向相反的，要取负值。 （2）恒力的冲量用恒力与力的作用时间的乘积表示，变力的冲量计算，要看题目条件确定；如果力随时间均匀变化，可取平均力代入公式求出；力不随时间均匀变化，就用I表示这个力的冲量，用其它方法间接求出。 （3）只要涉及了力F和力的作用时间t，用牛顿第二定律能解答的问题、用动量定理也能解答，而用动量定理解题，更简捷。 2．应用动量定理的四点注意事项 （1）明确物体受到冲量作用的结果是导致物体动量的变化。冲量和动量都是矢量，它们的加、减运算都遵循平行四边形定则。 （2）列方程前首先要选取正方向，与规定的正方向一致的力或动量取正值，反之取负值，而不能只关注力或动量数值的大小。 （3）分析速度时一定要选取同一个参考系，未加说明时一般选地面为参考系，同一道题目中一般不要选取不同的参考系。 （4）公式中的冲量应是合外力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式计算，且要注意是末动量减去初动量。 1．玻璃杯从同一高度落下，落在坚硬地面上比落在地毯上容易碎，下列说法正确的是（　　） A．玻璃杯刚落在坚硬地面上比刚落在地毯上的动量大 B．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上受到合力的冲量大 C．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上的动量变化率大 D．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上的动量变化量大 【答案】C 【详解】玻璃杯从同一高度落下，玻璃杯落在坚硬地面上与刚落在地毯上时的速度相同，则动量相同，动量的变化量也相同，根据动量定理可知，受到的合力的冲量相同，但因落到坚硬地面上时作用时间较短，则动量变化率较大，由可知受到的合外力较大。 故选C。 2．（多选）一个质量为0.2kg 的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞过程中墙对小球的冲量 I大小、墙对小球做功的大小W为（    ） A．I=0 B．I=2.4kgm/s C．W=0 D．W=7.2J 【答案】BC 【详解】AB．规定初速度方向为正方向，初速度，末速度为 根据动量定理有 解得 负号表示方向，故碰撞过程中墙对小球的冲量 I大小为，故A错误，B正确； CD．根据动能定理有 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 3．排球运动是一项同学们喜欢的体育运动，为了了解排球的某些性能，某同学让排球从距地面高处自由落下，测出该排球从开始下落到第一次反弹到最高点所用的时间，第一次反弹的高度，已知排球的质量，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： (1)排球与地面作用过程中动量的变化量； (2)排球与地面的平均作用力大小F。 【详解】（1）自由下落过程，有 可得第一次落地前速度大小为，方向竖直向下 又 第一次下落时间     在竖直向上过程 有第一次反弹速度大小为，方向竖直向上 又 第一次反弹上升时间为 设竖直向上为正方向，则有，方向向上 （2）则与地面接触时间为 由动量定理可得 联立方程，解得F=299.7N 【动量定理和动能定理的比较】 动量定理 动能定理 区 别 公式 I合=Δp，即 F合=mv2-mv1 W合=ΔEk，即 标、矢量 矢量式（需规定正方向，用正负号表示方向） 标量式（无方向，直接代数运算） 单位 kg·m/s（与冲量单位一致，N·s=kg·m/s） J（焦耳，与功的单位一致，1J=1N·m） 意义 合外力的冲量是物体动量变化的原因，反映力对时间的积累效应 合外力做的功是物体动能变化的原因，反映力对位移的积累效应 正负 正负表示动量变化的方向，与合冲量方向一致 正负表示动能的增加或减少（正：动能增加；负：动能减少） 作用效果 改变物体的动量（速度的大小或方向改变都可引起动量变化） 改变物体的动能（只有速度的大小改变才会引起动能变化） 适用条件 普遍适用（恒力、变力、直线运动、曲线运动均可） 普遍适用（恒力、变力、直线运动、曲线运动均可） 联系 两者都是动力学定理，由牛顿运动定律推导而来，都适用于宏观低速物体；都是解决力学问题的重要工具，在处理变力、多过程问题时优势明显 动量定理的综合应用及解题步骤 1．动量定理的适用范围 （1）动量定理不仅适用于恒力，而且适用于随时间而变化的力。 （2）对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值。 （3）动量定理不仅能处理单一过程，也能处理多过程．在多过程中外力的冲量是各个力冲量的矢量和。 2．动量定理与牛顿第二定律的选用原则 （1）在合外力为恒力的情况下，可用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式v＝v0＋at，也可用动量定理F·Δt＝mv′－mv，但较牛顿第二定律，动量定理适用范围更广，且表达式中只涉及一个过程量F·Δt及两个状态量mv′和mv，而过程中的速度怎样，轨迹怎样，加速度怎样，位移怎样均不必考虑，因此解题时优先选用动量定理。 （2）对于多过程问题，牛顿第二定律仅能分段使用，求解过程较复杂，而动量定理可用于全过程，不必考虑中间量，使问题求解变得简捷。 3．应用动量定理定量计算的一般步骤： （1）选定研究对象，明确运动过程； （2）进行受力分析和运动的初、末状态分析； （3）选定正方向，根据动量定理列方程求解。 4、用动量定理求流体冲击问题解题思路点拨 （1）对于流体冲击类的问题，常用的解题思路是：取微元→计算动量变化→列方程。 （2）一个解题技巧是：设出时间Δt，利用时间Δt构建方程，最后往往可以把Δt消掉。 角度01 用动量定理求解平均力 1．高空抛物是严重危害人身安全的违法行为，质量为的鸡蛋从高空落下以的速度砸在地面上破裂，鸡蛋与地面的作用时间为，不计鸡蛋受到的重力，则该鸡蛋对地面的平均冲击力为（　　） A．1N B．10N C．100N D．1000N 【答案】C 【详解】设地面对鸡蛋的平均作用力大小为，设向上为正方向，根据动量定理有 代入数据解得 根据牛顿第三定律，可知鸡蛋对地面的平均冲击力大小为100N。 故选 C。 2．2026年2月11日，我国网系火箭回收技术已成功验证核心能力，是中国航天在可重复使用领域的重大自主创新，为载人登月等重大工程奠定了基础。如图所示为火箭落网时的情景，火箭发动机将大量初速度为零的正离子通过电场加速后从火箭下方射出，从而使火箭获得向上的反冲力。已知单个正离子的质量为，电荷量为，加速电压为，射出的正离子所形成的电流为。忽略离子间的相互作用力，忽略射出离子对火箭质量的影响。火箭发动机产生的平均推力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以正离子为研究对象，由动能定理得 时间内通过的总电荷量为 喷出的正离子总质量为 由动量定理可知正离子所受的平均冲量 联立以上式子可得 根据牛顿第三定律可知，发动机产生的平均推力，故选项B正确。 3．（多选）质量为0.1kg的小球从距离地面3.2m高处自由下落到水平的水泥地面上，从接触地面到速度减为零经历了0.001s，规定竖直向下的方向为正方向，重力加速度g取。则下列关于小球的说法正确的是（　　） A．小球落地时的速度大小为8m/s B．小球落地时的动量为kg·m/s C．0.001s内小球所受的平均力为-800N D．0.001s内地面对小球的平均力为N 【答案】AC 【详解】A．小球落地前做自由落体运动，由自由落体公式可知小球落地速度为，A正确； B．根据动量的定义式可知小球落地时的动量为，B错误； C．设小球与地面相互作用过程中小球受到的平均作用力为，由动量定理有 解得小球所受的平均力为，C正确； D．小球与地面作用过程中，小球受重力和地面对小球的作用力，由动量定理有 联立解得地面对小球的平均作用力为，D错误； 故选AC。 4．打篮球经常有一个动作就是传球，如图甲，一人将球扔向地面，通过地面反弹传给另外一人。情景简化如图乙，地面水平，篮球质量为600g，现篮球以与地面夹角撞向地面，反弹离开地面时水平速度不变，竖直速度等大反向，篮球与地面作用时间为0.05s，不计空气阻力，。，求： (1)篮球与地面作用过程的动量变化的大小； (2)地面对篮球的作用时的平均弹力的大小。 【详解】（1）由题意知反弹后水平速度不变，因此水平方向动量变化为0 竖直分量：碰撞前竖直向下 ，反弹后竖直向上，大小不变，即 规定竖直向上为正方向，竖直方向动量变化 代入数据可得 总动量变化只有竖直分量，因此动量变化大小为 （2）对篮球与地面作用过程，竖直方向应用动量定理 整理得平均弹力 代入数值计算 角度02 用动量定理解释缓冲现象 5．某次跳台跳水训练中，运动员进入水中深度后速度减为零，其质量，忽略空气阻力，且运动员在水中的运动近似为匀变速直线运动，重力加速度g取。则从入水到速度减为零的过程中，水给运动员的冲量大小最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在入水前，运动员做自由落体运动，只受重力作用，则有 可得入水时的速度 运动员入水后做匀减速直线运动，最后速度减为0，因此入水后的平均速度 从入水到速度减为0所用时间 以竖直向下为正方向，根据动量定理有 可得 即水给运动员的冲量大小约为，故选D。 6．（多选）如图，是上世纪七十年代农村修水库打硪夯土的情景，石硪通常由整块石材制成，周边设有孔洞，可插入木棍，一般情况下有四个人或者六个人抬起一定的高度后松手，让石硪自由下落来夯土。在一次打夯中将石硪提升0.45m后由静止释放，使其自由下落，石硪与土作用0.2s后静止。已知石硪与木棍的总质量为500 kg，重力加速度大小，不计空气阻力。则关于此次夯土过程，下列说法正确的是（　　） A．石硪静止释放到静止在地面上的过程中重力冲量大小为1500 B．石硪静止释放到静止在地面上的过程中重力冲量大小为2500 C．石硪与土相互作用中，石硪对土的平均作用力为12500N D．土质越软石硪受到的平均作用力越大 【答案】BC 【详解】AB．石硪自由下落至地面，有 可得所用时间为 石硪自由下落到静止这一过程中重力的冲量大小为，故A错误，B正确； C．从石硪自由下落到静止这一过程中全过程为研究对象，根据动量定理 解得，故C正确； D．土质越软，石硪与大地作用的时间越长，动量变化量不变，根据动量定理，可得受到的平均作用力越小，故D错误。 故选BC。 7．生活中常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效地保护手机。若一部带有手机套的手机总质量，从离地高处无初速度下落，落到地面后手机未反弹，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)用学过的知识解释一下手机套对手机起到的缓冲作用； (2)手机对地面的作用力。 【详解】（1）由动量定理可知，在一定的情况下，作用时间越长，越小，手机套延长了作用时间，减小了手机受到的冲击力。 （2）手机自由下落过程，竖直方向有 可得下落时间 设竖直向下为正，由整个过程动量定理得 得 由牛顿第三定律可知，手机对地面的作用力大小为7 N，方向竖直向下 角度03 利用动量定理求蹦极类的问题 8．某研究机构利用力传感器研究蹦床过程。传感器采集了某运动员在一次蹦床过程中对蹦床的压力随时间变化的关系，利用计算机绘制出图像如图所示。运动员视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度。则时间内图线与横轴围成的阴影面积约为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据图像判断，运动员的重力 运动员在时间段内做竖直上抛运动，离开蹦床时速度 在时间内根据动量定理有 解得 故选C。 9．（多选）蹦极是一项刺激的极限运动，如图，运动员将一端固定的弹性长绳绑在腰或踝关节处，从几十米高处跳下（忽略空气阻力）。在某次蹦极中质量为50kg的人在弹性绳绷紧后又经过2s人的速度减为零，假设弹性绳长为45m。若运动员从跳下到弹性绳绷紧前的过程称为过程Ⅰ，绳开始绷紧到运动员速度减为零的过程称为过程Ⅱ（重力加速度）。下列说法正确的是（　　） A．过程Ⅱ中弹性绳对人的平均作用力大小为1250N B．过程Ⅱ中运动员重力的冲量与弹性绳作用力的冲量大小相等 C．过程Ⅱ中运动员动量的改变量等于弹性绳的作用力的冲量 D．过程Ⅰ中运动员动量的改变量与重力的冲量相等，大小为1500N·s 【答案】AD 【详解】A．绳在刚绷紧时，人的速度为 绷紧过程中，根据动量定理 解得 故A正确； BC．绷紧过程中，根据动量定理 则过程Ⅱ中运动员重力的冲量与弹性绳作用力的冲量大小不相等，运动员动量的改变量等于弹性绳的作用力的冲量与重力的冲量之和，故BC错误； D．过程Ⅰ用动量定理 则过程Ⅰ中运动员动量的改变量与重力的冲量相等，大小为1500N·s，故D正确。 故选AD。 10．如图所示，为“蹦极”的简化情景：某游客用长度为的弹性橡皮绳拴住身体从高空悬点处由静止开始下落，弹性橡皮绳伸直后经过时间游客第一次到达最低点。弹性橡皮绳劲度系数为，始终处于弹性限度内，质量为的游客可看成质点，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)弹性橡皮绳刚伸直时游客的速度大小； (2)具有最大速度时，游客下落的高度； (3)时间内弹性橡皮绳平均作用力大小。 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）当游客的速度达到最大时， 解得 下落的高度 （3）从静止下落至最低点过程，对游客由动量定理得 又 解得 角度04 用动量定理解决流体问题 11．冲牙器通过喷出高压水流来冲洗牙齿。如图所示喷嘴直径为的冲牙器，工作时喷出的水柱速度为，水柱冲击到牙齿表面后散开，从而起到洗牙的作用。已知水的密度为，水柱冲到牙齿后速度减为零，不考虑水柱扩散效应，水柱横截面比牙齿小得多。下列说法正确的是（　　） A．单位时间内喷出水的质量为 B．单位时间内喷出水的动能为 C．水柱对牙齿的平均冲击力大小为 D．水柱对牙齿表面产生的压强为 【答案】D 【详解】A． 喷嘴直径为，横截面积 时间内喷出的水长度为，体积 质量 因此单位时间喷出水的质量 故A错误； B． 单位时间喷出水的动能为 故B错误； C．设牙齿对水柱的平均作用力为，对内冲击牙齿的水，取水流方向为正方向，由动量定理 整理得 根据牛顿第三定律，水柱对牙齿的冲击力大小为，故C错误； D．水柱对牙齿的压强 代入、得 故D正确； 故选D。 12．（多选）近年来，“娱乐风洞”成为备受年轻人喜爱的新型娱乐项目，它无需高空跳伞，就能让人们在安全的室内空间中体验“空中翱翔”的快感。其核心原理是通过大功率风机制造稳定的竖直向上气流，当气流的作用力与人体重力平衡时，人便能悬浮在风洞内，实现无束缚的“飞行”体验。该项目的简化模型如图所示：一质量为的游客身着专业飞行服，恰好悬浮在直径为的圆柱形竖直风洞内，已知气流密度为，游客受风面积（即游客在垂直于风力方向的投影面积）为，风洞内气流始终以恒定速度竖直向上“吹”出，重力加速度为。假设气流吹到游客身上后，速度瞬间变为零，不计空气阻力与游客受到的其他作用力，则下列说法正确的是（　　） A．气流速度大小为 B．单位时间内流过风洞内横截面的气体体积为 C．若风速变为原来的，游客开始运动时的加速度大小为 D．若风速变为原来的，游客开始运动时的加速度大小为 【答案】BC 【详解】A．设气流速度为，取单位时间内吹到游客身上的气体为研究对象， 气体质量 气体碰到游客后速度减为0 根据动量定理 代入得： 游客悬浮，气流对游客的作用力等于重力，即 联立可得，A错误； B．风洞横截面积​ 单位时间流过横截面的气体体积（流量） 代入风速 可得 ，B正确； CD．若风速变为原来的，即​ 新的作用力 根据牛顿第二定律 可得 ，C正确，D错误。 故选BC 。 13．生活中常用高压水枪清洗汽车，当高速水流射向车身时，会对车身表面产生冲击力，从而实现洗去污垢的效果。图为利用水枪喷水洗车的简化示意图。已知水枪喷水口的横截面积为S，水的密度为ρ ，不计流体内部的黏滞力。假设水流垂直打到车身表面后不反弹，测得水枪喷水口喷出的水流速度大小为。 (1)求水枪喷水口单位时间内喷出水流的体积Q； (2)清洗车身时，汽车静止不动，忽略水流喷出后在竖直方向的运动。计算水流对车身表面的平均作用力的大小F； (3)如果用该水枪冲洗一质量为m的玩具小汽车，使得玩具小汽车受到恒定的合外力，玩具小汽车在时间内动量的变化量为，请根据牛顿第二定律推导与的关系。 【详解】（1）水枪喷水口单位时间内喷出水流的体积为 （2）以水流的运动方向为正方向，在与车身碰撞过程，对时间内喷出的水，在水平方向由动量定理可得， 解得 根据牛顿第三定律可知，汽车受到的平均冲击力大小为 （3）根据牛顿第二定律得，， 其中 故 角度05  利用动量定理求解其他问题 14．质量为m的小球在黏滞液体中由静止释放，液体对小球的阻力大小与速率成正比，比例系数为k。小球受到的浮力大小恒为F，且重力大于浮力。当小球下落的时间为t时，恰好达到最大速度，重力加速度大小为g。则小球从释放至达到最大速度的下落高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当小球达到最大速度时，加速度为0，受力平衡： 整理得最大速度： 取向下为正方向，下落过程阻力冲量为 动量定理表达式为： 将代入上式， 整理得： 故选B 。 15．（多选）如图甲所示，质量的物块静止放在水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数，现用水平向右的拉力F作用在物块上，拉力F随时间t变化关系如图乙所示，重力加速度g取，下列说法正确的是（   ） A．拉力冲量大小为 B．时物块的速度大小为2m/s C．物块的速度最大值为3m/s D．物块的运动时间为4s 【答案】BD 【详解】A．在0～2内拉力冲量 拉力是变力，冲量等于包围的面积，即冲量，故A错误； B．由动量定理 代入解得物块的速度，故B正确； C．由图乙可知，时拉力 物块加速度为0，速度最大，拉力冲量 由动量定理 解得物块的速度最大值，故C错误； D．物块在后减速，最后速度减为0，由动量定理 解得物块的运动时间，故D正确。 故选BD。 16．如图所示，不可伸长的轻绳穿过轻质定滑轮连接水平桌面上的物块A和B，桌面下方的物块通过轻质滑轮挂在绳上，三个物块的质量均为。桌面上有一阻挡装置P，起初物块A到P的距离为。现由静止同时释放三个物块，一段时间后物块A与阻挡装置P发生碰撞，在极短时间内达到静止。不计一切摩擦，重力加速度大小为。求： (1)物块A与阻挡装置P碰撞前瞬间的速度大小； (2)物块A运动过程中绳上张力大小； (3)物块A与阻挡装置P碰撞过程中绳对物块B的冲量大小。 【详解】（1）物块A与阻挡装置P碰撞前通过的距离为，由对称性可知物块B向左通过的距离也为，所以物块C下降的高度为，根据动能定理有 解得 （2）对物块A分析，由运动学公式 物块A运动过程中绳上张力大小 （3）设物块A与阻挡装置P碰撞过程中绳上冲量大小为I，碰撞结束后瞬间物块B的速度大小为，物块C的速度大小为，极短时间内重力冲量可忽略。 对物块B由动量定理可得 对物块C由动量定理可得 碰后B、C的速度大小满足 解得 【例1】（2025·天津·高考真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　） A．动量保持不变 B．所受合外力做功为零 C．所受重力的冲量为零 D．始终处于受力平衡状态 【答案】B 【详解】座椅在水平面内做匀速圆周运动，速度大小不变，方向改变 A．根据可知动量大小不变，方向改变，故A错误； B．速度大小不变，则座椅的动能不变，根据动能定理可知所受合外力做功为零，故B正确； C．根据可知所受重力的冲量不为零，故C错误； D．座椅在水平面内做匀速圆周运动，一定有向心加速度，所以不是处于受力平衡状态，故D错误。 故选B。 【深化点拨】 1、动量的矢量性：动量p=mv是矢量，其方向与速度方向一致。匀速圆周运动中，速度的大小不变，但方向时刻改变，因此动量的方向也在时刻改变，不是恒定的，所以选项 A 错误。 2、合外力做功与动能定理：匀速圆周运动中，物体的动能大小不变。根据动能定理，合外力做功等于物体动能的变化量。动能变化为 0，因此合外力做功一定为 0。 补充：这里的合外力不为零（提供向心力），但因为向心力始终与速度方向垂直，不做功，所以合外力总功为 0，选项 B 正确。 3、冲量的计算：冲量I=Ft是矢量，其大小只和力的大小与作用时间有关，和物体的运动状态无关。重力是恒力，座椅运动一周的时间不为零，因此重力的冲量IG=mgt一定不为零，选项C错误。 4、受力平衡的条件：受力平衡的条件是合外力为零、加速度为零。匀速圆周运动存在向心加速度，合外力不为零（指向圆心），因此物体始终不处于平衡状态，选项 D 错误。 【变式1-1】如图所示，三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在甲环上，彼此间距相等。绳穿过与甲环半径相同的乙环，另一端用同样的方式系在半径较大的丙环上。甲环固定在水平面上，整个系统处于平衡，忽略绳与乙环之间的摩擦，经过一段时间t后，下列说法中正确的是（　　） A．甲环对绳子的弹力是由于绳子发生形变而产生的 B．每根绳对乙环的作用力均竖直向上 C．乙环对三根绳的总作用力的冲量竖直向下 D．三根绳对丙环作用力的总冲量为零 【答案】C 【详解】A．根据弹力产生的原因，可知甲环对绳子的弹力是由于甲环发生形变而产生的，故A错误； B．因甲乙两环的半径相等，则在它们之间的每段绳的上段都是竖直的。忽略绳与乙环之间的摩擦时，绳中各处张力相等。因每段绳的上段对乙环的拉力竖直向上，下段绳对乙环的拉力斜向外侧下方，每段绳对乙环的作用力肯定不是竖直向上，故B错误； C．乙环对三根绳的总作用力与三根绳对乙环的总作用力相等，而三根绳对乙环的总作用力与乙环的重力平衡，方向向上，故乙环对三根绳的总作用力的冲量与重力的冲量等大同向，故C正确； D．三根绳对丙环作用力不为零，根据I=Ft，则总冲量不为零，故D错误。 故选C。 【变式1-2】（多选）“无动力过山车”是以亲子互动为主的游乐设备。如图，家长通过链条驱动将质量为M的座舱和质量为m的小孩一起从轨道最低点沿轨道向上运动，座舱和小孩到轨道最高点时以一定的速度沿轨道滑下，最后停在轨道上，已知轨道最高点离轨道最低点的高度差为h，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在轨道最高点时，小孩对座舱的压力小于小孩的重力 B．在整个上升阶段，座舱和小孩的重力势能增加 C．在下降阶段，座舱所受支持力的冲量为零 D．在下降阶段，合外力对小孩做功等于其动能的变化量 【答案】ABD 【详解】A．在轨道最高点时，对小孩有 可知小孩受座舱的支持力小于小孩的重力，根据牛顿第三定律可得小孩对座舱的压力小于小孩的重力，故A正确； B．在整个上升阶段，根据重力势能定义可知座舱和小孩的重力势能增加，故B正确； C．在下降阶段，座舱所受支持力不为零，根据冲量定义，可知座舱所受支持力的冲量不为零，故C错误； D．在下降阶段，根据动能定理可知合外力对小孩做功等于其动能的变化量，故D正确。 故选ABD。 【例2】（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 【答案】C 【详解】鸡蛋触地后匀减速至静止，位移s=5cm=0.05m。匀减速平均速度为，故撞击时间 根据动量定理 代入数据解得 由自由落体公式 得高度 每层楼高约3m，对应楼层数为层。 故选C。 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）碰撞时间的估算，用匀减速运动的平均速度求时间，是这类题的常用方法。 （2）重力冲量的取舍：冲击力远大于重力时，可忽略重力简化计算。 （3）估算题的楼层换算，要记住常见的楼层高度（约3m/层）。 【变式2-1】滑板比赛中部分场景简化如图所示，选手和滑板总质量为，以速度从高度处的平台末端水平飞出，并在空中保持同一姿态落在水平地面上。忽略空气阻力，取重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．选手和滑板在空中相等时间内动能变化相等 B．选手和滑板在空中相等时间内动量变化相同 C．选手和滑板着地前瞬间重力的瞬时功率为 D．选手和滑板着地前瞬间动量大小为 【答案】B 【详解】A．根据动能定理可得， 选手和滑板在空中做平抛运动，则 则相等时间端内选手和滑板下降高度： 则选手和滑板在空中相等时间内动能变化量 可知相等时间内，选手和滑板在空中相等时间内动能变化逐渐增加，A错误； B．根据动量定理，则选手和滑板在空中相等时间内动量变化相同，B正确； C．选手和滑板着地前瞬间重力的瞬时功率为，C错误； D．选手和滑板着地前瞬间速度大小为 可知动量大小为，D错误。 故选B。 【变式2-2】（多选）如图所示，用0.5kg的铁锤往水平天花板上钉钉子，打击前铁锤的速度大小为4m/s，方向竖直向上。打击后铁锤的速度变为0，已知打击时间为0.01s，钉子质量为5g，忽略打击过程中手对锤柄的作用力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．钉钉子过程铁锤所受合力的冲量大小为1.95N·s B．钉钉子过程铁锤所受合力的冲量大小为2N·s C．钉钉子过程铁锤对钉子的平均作用力大小为195N D．钉钉子过程铁锤对钉子的平均作用力大小为200N 【答案】BC 【详解】AB．取竖直向上为正方向，根据动量定理，铁锤所受合力的冲量等于动量变化，则动量变化 因此合力冲量的大小为∣，故B正确，A错误； CD．对铁锤受力分析，打击过程中铁锤受竖直向下的重力、钉子对铁锤竖直向下的平均作用力，根据动量定理有 解得钉子对铁锤的作用力 根据牛顿第三定律，铁锤对钉子的平均作用力大小等于，故C正确，D错误。 故选BC。 【变式2-3】体育课上，质量的排球飞向某同学，该同学在距离地面高处击打排球。排球被击打前速度的大小，方向水平；被击打后反向水平飞回，速度的大小。排球在空中运动一段距离后落地，忽略空气阻力，取重力加速度。求： (1)排球被击打后在水平方向飞行的距离； (2)排球落地时的速度大小； (3)排球被击打过程中所受冲量的大小。 【详解】（1）排球被击打后做平抛运动，有， 解得 （2）排球在空中运动的过程机械能守恒，有 解得 （3）排球被击打过程，以排球被击打后的速度方向为正方向，根据动量定理有 解得 【例3】（2025·甘肃·高考真题）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。 求： (1)t=6s时F的大小，以及t在0~6s内F的冲量大小。 (2)t在0~6s内，摩擦力f随时间t变化的关系式，并作出相应的f−t图像。 (3)t=6s时，物块的速度大小。 【详解】（1）由图2可知F随时间线性变化，根据数学知识可知 所以当t=6s时， 0~6s内F的冲量为F−t图围成的面积，即 （2）由于初始时刻。物块刚好能静止在细杆上，则有 即 在垂直杆方向，当时， 则0−4s，垂直杆方向 摩擦力 在4−6s内，垂直杆方向 摩擦力 相应的f−t图像如图 （3）在0~6s内沿杆方向根据动量定理有 在0~6s内摩擦力的冲量为f−t图围成的面积，则 联立有 可得 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）初始临界条件的利用：题目中 “物块刚好静止” 是隐含条件，第一步必须用来求动摩擦因数，这是后续所有计算的基础。 （2）变力冲量的计算：线性变化的力的冲量，直接用F-t 图像的面积（平均力 × 时间）计算，避免复杂积分。 （3）摩擦力的分段分析：先通过受力分析找到 “静摩擦→滑动摩擦” 的分界时刻，再分阶段写摩擦力的表达式。 （4）动量定理的优先应用：变力作用下求速度，优先用动量定理，比牛顿定律 + 运动学公式更高效。 （5）支持力的动态变化：水平外F会改变杆的支持力，滑动摩擦力会随F线性增大，不能按恒力处理。 【变式3-1】如图所示，一个质量为的垒球，以的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小变为，设球棒与垒球的作用时间为，下列说法正确的是（     ） A．球棒打击垒球的过程中，垒球动量的变化量大小为 B．球棒打击垒球的过程中，垒球动量的变化量大小为 C．球棒对垒球的平均作用力大小为 D．球棒对垒球的平均作用力大小为 【答案】B 【详解】AB．设垒球的初速度的方向为正方向，则初速度为，末速度为 动量的变化量为矢量，有 即垒球的动量变化量大小为，负号表示方向与初速度方向相反，故A错误，B正确； CD．冲量的定义 动量定理 可知，球棒对垒球的平均作用力大小为故C错误，D错误。 故选B。 【变式3-2】（多选）在2026冬奥会滑雪大跳台比赛中，质量为可视为质点的运动员从处自由滑下，到处起跳，落在倾角为的斜直雪道上的点。起跳时，速度方向与夹角为，速率为，。不计空气阻力，重力加速度大小为，则运动员（　　） A．从到，运动时间为 B．从到，重力的冲量大小为 C．落在点前瞬间的动量大小为 D．落在点前瞬间的动量大小为 【答案】BD 【详解】A．以处为坐标原点，垂直于斜面向上为轴正方向，沿斜面向下为轴正方向建立坐标轴。沿轴正方向的初速度大小 沿轴负方向的加速度大小 从到，运动时间为 又 得 故，故A错误； B．从到，重力的冲量大小为，故B正确； CD．如图所示 重力方向竖直向下与初速度的夹角为 由动量定理，初动量，重力的冲量和末动量构成矢量三角形。由余弦定理得 ，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式3-3】（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 【详解】（1）小物块在平台做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有a = μg 则小物块从开始运动到离开平台有 小物块从平台飞出后做平抛运动有，x = vxt1 联立解得x = 0.6m （2）物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，则物块弹起至最大高度所用时间和弹起的初速度有，vy2 = gt2 则物块与地面接触的时间Δt = t－t1－t2 = 0.1s 物块与地面接触的过程中根据动量定理，取竖直向上为正，在竖直方向有IN－mgΔt = mvy2－m(－vy1)，vy1 = gt1 解得IN = 0.1N·s 取水平向右为正，在水平方向有， 解得vx′ = －1m/s 但由于vx′减小为0将无相对运动和相对运动的趋势，故vx′ = 0 ⚡基础速刷 1．快递员常会将易碎陶瓷碗放入铺有泡沫的纸箱内，这样做是为了在搬运时（　　） A．减小陶瓷碗受到的作用力 B．减小陶瓷碗的动量变化量 C．增大陶瓷碗所受力的冲量 D．减小陶瓷碗所受力的冲量 【答案】A 【详解】根据动量定理合外力的冲量等于物体动量的变化量，即 若搬运过程发生碰撞，陶瓷碗碰撞前后的速度变化、质量均固定，因此陶瓷碗的动量变化量为定值不变，即陶瓷碗所受力的冲量不变，而泡沫会延长碰撞的作用时间，由可知，陶瓷碗受到的作用力减小。 故选A。 2．一个质量为、以15m/s的速度飞来的网球被球拍击中，并以25m/s的速度沿与原方向相反的方向弹回，网球与球拍相接触的时间为，球拍对网球的平均作用力为（ ） A．80N B．60N C．70N D．50N 【答案】A 【详解】规定初速度方向为正方向，根据动量定理有 解得F=-80N 球拍对网球的平均作用力大小为80N，方向与初速度方向相反。 故选A。 3．如图所示，重力为G的物体静止在水平地面上，受到与水平方向成角的恒定拉力F作用时间t后，物体仍保持静止。下列说法正确的是（    ） A．物体所受重力G的冲量大小是 B．物体所受拉力F的冲量大小是 C．物体所受摩擦力的冲量大小为0 D．物体所受合力的冲量大小为 【答案】A 【详解】AB．根据冲量定义可知，物体所受重力G的冲量大小为 物体所受拉力F的冲量大小为，故A正确，B错误； C．根据平衡条件可得物体所受摩擦力大小为 则物体所受摩擦力的冲量大小为，故C错误； D．物体保持静止，所受合力为0，所以物体所受合力的冲量大小为0，故D错误。 故选A。 4．（多选）“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从人开始下落到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是（     ） A．人的动量一直增大 B．绳刚好伸直时，人的动量最大 C．人的动量最大时，绳对人的拉力大小与人所受的重力大小相等 D．全程绳对人的冲量与重力的冲量大小相等 【答案】CD 【详解】A．在下落过程中，人的速度先增大后减小，根据，可知人的动量先增大后减小，故A错误； BC．当弹性绳的拉力刚好等于重力时，加速度为零，人的速度最大，则人的动量最大，故B错误，C正确； D．取向上为正方向，根据动量定理有 因人的初、末速度都为零，故人的初、末动量都为零，故 可得 即全程绳对人的冲量与重力的冲量大小相等，故D正确。 故选CD。 5．（多选）汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。汽车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有效的方法。汽车发生碰撞时，关于安全气囊对驾驶员的保护作用，下列说法正确的是 （　　） A．改变了驾驶员的惯性 B．减小了驾驶员的动量变化率 C．减小了驾驶员受到的冲力 D．减小了驾驶员的动量变化 【答案】BC 【详解】A．惯性大小由物体的质量决定，安全气囊对驾驶员的保护作用并没有改变驾驶员的惯性，故A错误； D．汽车发生碰撞过程中，驾驶员始末状态的速度一定，即驾驶员的动量变化一定，故D错误； BC．根据动量定理有 可得 由于安全气囊对驾驶员的保护作用，作用时间变大，减小了驾驶员受到的冲力，结合上述可知，减小了驾驶员的动量变化率，故BC正确。 故选BC。 6．将质量为的小球，从距水平地面高处，以的水平速度抛出，不计空气阻力，取。求： (1)小球落地时的动能； (2)平抛运动过程中小球重力的冲量大小。 【详解】（1）法一、小球平抛过程中，只有重力做功。重力做功，初动能 由动能定理 解得 法二、竖直方向自由落体解得 落地速度大小 动能 （2）法一、重力为恒力，冲量，其中为飞行时间 竖直方向解得 重力冲量大小 法二、由动量定理，竖直方向动量变化量大小等于重力冲量大小 🚀能力跃升 7．下列说法正确的是（     ） A．冲量是矢量，冲量的方向一定与物体的速度的方向相同 B．动量是矢量，某一时刻物体动量的方向一定与此时该物体的速度的方向相同 C．做匀速圆周运动的物体，在任何相同的时间内动量的变化量都相同 D．质量一定的物体，动量增大为原来的2倍，其动能增大为原来的2倍 【答案】B 【详解】A．冲量是矢量，由冲量定义可知，冲量的方向与合力的方向一致，不一定与物体速度方向相同，例如匀减速直线运动中合力冲量方向与速度方向相反，故A错误； B．动量是矢量，由动量定义式可知，某一时刻物体动量的方向与该时刻瞬时速度的方向完全一致，故B正确； C．做匀速圆周运动的物体，合力为向心力，方向时刻变化，根据动量定理，相同时间内动量变化量等于合力冲量，冲量为矢量，方向随向心力方向变化，因此动量变化量不相同，故C错误； D．质量一定的物体，动能和动量的关系为，当动量增大为原来的2倍时，动能增大为原来的4倍，故D错误。 故选B。 8．舞中幡是中国传承千年的杂技项目之一。如图所示，杂技演员用手顶住中幡，将幡从胸口处竖直向上抛出，时在胸口处相同位置用手接幡，同时缓慢竖直下蹲，又经幡速度为零时稳稳接住。已知中幡质量为，，忽略空气阻力。设竖直向上为正方向。下列说法正确的是（     ） A．幡经上升到最高点 B．幡被抛出时的速度大小为 C．幡从胸口处抛出到落回胸口处，幡的动量变化为 D．杂技演员接幡过程中，手对幡的平均作用力大小为 【答案】D 【详解】A．竖直上抛运动的上升、下落过程对称，抛出到落回原位置总时间为，因此上升到最高点的时间为总时间的一半，即，故A错误； B．最高点速度为0，由得抛出速度，故B错误； C．取竖直向上为正方向，抛出初动量 由对称可知，落回原位置时速度为，末动量 动量变化，大小为，方向竖直向下，故C错误； D．接幡过程：初速度，末速度为，时间，根据动量定理得 代入数据解得，故D正确。 故选D。 9．弹弓是小朋友们特别喜爱的一种玩具。某次利用一弹弓竖直向上发射弹丸时，简化模型如下：原长为L的轻质弹性绳两端固定于相距为L的A、B两点，将质量为m的弹丸置于弹性绳的中点，随弹性绳竖直向下拉至C点，，并由静止释放，经时间t后弹丸离开弹性绳，此后弹丸继续上升的最大高度为h。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．弹性绳对弹丸的冲量大小为 B．弹性绳对弹丸的冲量大小为 C．弹性绳对弹丸的平均作用力大小为 D．弹性绳对弹丸的平均作用力大小为 【答案】C 【详解】弹丸从发射至运动到最高点，根据动量定理 解得弹性绳对弹丸的冲量大小 弹性绳对弹丸的平均作用力大小 故选C。 10．（多选）某同学原地竖直起跳进行摸高测试，从离地到上升到最高点所用时间为t，重心上升的总高度为H。若不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为 B．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为 C．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为 D．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为 【答案】AD 【详解】AB．该同学竖直向上做匀减速直线运动，末速度为零，由逆向思维可看成自由落体运动。则该同学在上升第一个与上升第三个的位移之比为 根据重力做的功 可知该同学在上述两个过程中克服重力做功之比为，故A正确，B错误； CD．该同学在上升第一个与上升第三个的时间之比为 根据重力的冲量 可知该同学在上述两个过程中重力的冲量之比为，故C错误，D正确。 故选AD。 11．（多选）如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴处的点有一质量为的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的有（　　） A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向 B．圆盘停止转动前，小物体运动半圈所受摩擦力的冲量大小为 C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动 D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为 【答案】BD 【详解】A．圆盘停止转动前，物体匀速圆周运动所受的静摩擦力提供向心力，方向沿半径指向圆心，故A错误； B．物体匀速转动半周时，速度的变化量 由动量定理可得， 故B正确； C．停止转动以后，物体做离心运动，不是沿着半径方向运动，故C错误； D．停止转动以后，物体初动量为，最后物体停下来，末动量为零，全程中摩擦力的冲量大小等于动量的变化量大小。 即，故D正确。 故选BD。 12．冬季，众多鸟类南飞入驻环境宜人的盐城滩涂，栖息于沿海湿地等水域。如图甲所示，一质量为的鸬鹚观察到猎物后在低空由静止开始竖直向下加速俯冲，入水后作减速直线运动。整个运动过程的图像如图乙所示，已知鸬鹚入水瞬间的速度大小为，在空中俯冲时受到的阻力，重力加速度大小取，求： (1)鸬鹚加速过程的时间； (2)从过程中水对鸬鹚作用力的冲量。 【详解】（1）加速过程中由牛顿第二定律可知 解得a=9m/s2 则鸬鹚加速过程的时间 （2）向上为正方向，则过程中由动量定理 解得 方向竖直向上。 🌟思维挑战 13．一架无人机从高为h的高空由静止释放质量为m的货物，货物沿直线下落，下落过程中受到的阻力与速率v的关系为f＝kv（k已知），最终货物能匀速到达地面。已知重力加速度为g，忽略货物受到的空气浮力，下列说法正确的是（     ） A．货物做加速度逐渐增大的加速运动直至匀速 B．货物到达地面时的速度大小为 C．货物下落的时间为 D．货物下落的时间为 【答案】C 【详解】A．货物在下落过程中受重力和阻力，两力方向相反，阻力随速率增大而增大，直到大小和重力相等，所以下落的过程中做加速度逐渐减小的加速运动，最后做匀速运动，A错误； B．如果物体做自由落体运动，根据速度—位移公式知 解得 但是物体不做自由落体运动，根据分析可知其到达地面时的速度小于，B错误； CD．规定向下为正方向，使用微元法将运动进行划分，根据动量定理有 整理得 货物最后匀速有 联立解得，C正确，D错误。 故选C。 14．运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量为m的弹性薄片沿倾斜方向落到足够大水平弹性面上，碰前瞬间速度为v0，方向与水平方向夹角α=30°。薄片与弹性面间的动摩擦因数μ=0.5。不计空气阻力，碰撞过程中忽略薄片重力。薄片每次碰撞前后竖直方向的速度大小保持不变，并且在运动过程中始终没有旋转。下列说法正确的是（　　） A．第一次碰撞过程中，薄片竖直方向的动量变化量大小为2mv0 B．前两次与水平面碰撞过程中，薄片受到的冲量相同 C．在与水平面多次碰撞后，薄片最终将静止在水平面上 D．与水平面碰撞两次后，薄片水平位移将不再增加 【答案】D 【详解】A．薄片第一次碰撞前竖直分速度 ，碰撞后竖直分速度 ，则竖直方向动量变化量大小，故A错误； B．薄片每次碰撞竖直方向动量变化量大小均为 ，根据动量定理，竖直方向受到的支持力冲量大小 若水平速度未减为零，水平方向受到的摩擦力冲量大小 第一次碰撞前水平动量 第一次碰撞过程中，水平动量减少 碰后水平动量，此时水平冲量 第二次碰撞过程中，由于剩余水平动量 ，薄片水平速度将减为零，故第二次受到的水平摩擦力冲量大小 两次碰撞受到的水平冲量大小不等，故总冲量不同，故B错误； C．由题意知，薄片每次碰撞前后竖直方向的速度大小保持不变，即竖直方向机械能无损失，薄片将在竖直方向持续往复运动，不会静止，故C错误； D．由B选项分析可知，第一次碰撞后水平动量 ，第二次碰撞过程中水平动量减为零，之后薄片仅在竖直方向运动，水平位移不再增加，故D正确。 故选D。 15．（多选）如图所示，一电动倾斜传送带上端与一水平面平滑相连，将物块A轻放在传送带底端，已知传送带顺时针方向匀速运行，与水平面夹角为，传送带长L=6 m，速度v=5 m/s，A与传送带间的动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），A的质量为m=2 kg，取g=10 m/s2。则（　　） A．物块A在传送带上加速运动的过程中，动量的变化率不变 B．物块A在传送带上运行的时间为2.2 s C．把A从底端运送到顶端的过程中，摩擦力对物块A做的功为90 J D．把A从底端运送到顶端的过程中，电动机多消耗的电能为160 J 【答案】ABD 【详解】B．物块A刚放在传送带上时先加速上滑，根据牛顿第二定律有 解得 加速到与传送带速度相等所用时间 加速过程的位移 之后物块A以速度匀速运动，匀速运动的时间 所以物块A在传送带上运行的总时间，故B正确； A．物块A在传送带上加速运动的过程中，加速度不变，则合力F不变，根据动量定理可知，物块A动量的变化率，保持不变，故A正确； CD．电动机多消耗的电能等于物块A增加的机械能与因摩擦产生的热量之和，物块A增加的机械能，故摩擦力对物块A做功为85J 在传送带上加速阶段，传送带位移 二者的相对位移 因摩擦产生的热量 所以电动机多消耗的电能，故C错误，D正确。 故选ABD。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.2节 动量定理 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 冲量 考点02 动量定理 03 避坑指南·解题通法 角度01 用动量定理求解平均力 角度02 用动量定理解释缓冲现象 角度03 利用动量定理求蹦极类的问题 角度04 用动量定理解决流体问题 角度05 利用动量定理求解其他问题 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.了解冲量的概念，理解动量定理的内涵。 2.知道动量定理和动能定理的区别。 3.能用动量定理解释生产生活中的有关现象和解决实际问题。 1.通过理论推导，掌握动量定理的表达式。 2.通过对比，理解动量定理和动能定理的区别。 3.通过分析生活中的缓冲现象，掌握动量定理的应用。 知识导图 考点01 冲量 1．定义：力与力的作用时间的乘积。 2．定义式：I＝FΔt。 3．物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大。 4．单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛秒，符号为N·s。 5．矢量性：冲量是矢量。如果力的方向恒定，则冲量的方向与力的方向相同；如果力的方向是变化的，则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。 【深化点拨】 1．冲量的理解 （1）冲量是过程量，它描述的是力作用在物体上的时间累积效应，求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量。 （2）冲量是矢量，冲量的方向与力的方向相同。 2．冲量的计算 （1）求某个恒力的冲量：用该力和力的作用时间的乘积。 （2）求合冲量的两种方法： 可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解。 （3）求变力的冲量： ①若力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量。 ②若给出了力随时间变化的图象如图所示，可用面积法求变力的冲量。 ③利用动量定理求解。 1．物理学上用“冲量”来描述力在一段时间内对物体运动状态的影响，用符号“I”表示，即，冲量的单位用国际单位制基本单位表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）关于冲量的概念，以下说法错误的是（　　） A．作用在两个物体上的力大小不同，但这两个物体所受的冲量可能相同 B．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定很大 C．作用在物体上的力作用时间很短，物体所受的冲量一定很小 D．只要力的作用时间与力的大小的乘积相等，物体所受的冲量就相同 【冲量和功的比较】 冲量 功 区 别 公式 I=Ft W=Fxcosθ 标、矢量 矢量 标量 单位 N ·S N ·m（J） 意义 力对时间的积累，对应一段时间 在F-t图像中可以用面积表示 力对位移的积累，对应一段位移 在F-x图像中可以用面积表示 正负 正负表示与正方向相同或相反 正负表示动力做功或阻力做功 作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能 考点02 动量定理 1、动量定理内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 公式：F(t′－t)＝mv′－mv或I＝p′－p。 2、用动量概念表示牛顿第二定律：由mv-mv0=Ft，得到，所以物体动量的变化率等于它受到的力，即，这是牛顿第二定律的动量表述。 3、用动量定理求平均作用力:对于涉及变力作用的动量问题，可以利用动量定理求解平均作用力。 公式为：Δt=mv2-mv1。 4、用动量定理求分析两类柱状模型 （1）流体类柱状模型 流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt 3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体 具 体 分 析 根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv，分两种情况： （1）作用后流体微元停止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2； （2）作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。 （2）微粒类柱状模型 微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 2 微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt 3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算 【深化点拨】 1．动量定理的内容和应用 （1）动量、动量的变化量、冲量、力都是矢量，解题时，先要规定正方向，与正方向相反的，要取负值。 （2）恒力的冲量用恒力与力的作用时间的乘积表示，变力的冲量计算，要看题目条件确定；如果力随时间均匀变化，可取平均力代入公式求出；力不随时间均匀变化，就用I表示这个力的冲量，用其它方法间接求出。 （3）只要涉及了力F和力的作用时间t，用牛顿第二定律能解答的问题、用动量定理也能解答，而用动量定理解题，更简捷。 2．应用动量定理的四点注意事项 （1）明确物体受到冲量作用的结果是导致物体动量的变化。冲量和动量都是矢量，它们的加、减运算都遵循平行四边形定则。 （2）列方程前首先要选取正方向，与规定的正方向一致的力或动量取正值，反之取负值，而不能只关注力或动量数值的大小。 （3）分析速度时一定要选取同一个参考系，未加说明时一般选地面为参考系，同一道题目中一般不要选取不同的参考系。 （4）公式中的冲量应是合外力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式计算，且要注意是末动量减去初动量。 1．玻璃杯从同一高度落下，落在坚硬地面上比落在地毯上容易碎，下列说法正确的是（　　） A．玻璃杯刚落在坚硬地面上比刚落在地毯上的动量大 B．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上受到合力的冲量大 C．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上的动量变化率大 D．玻璃杯落在坚硬地面上比落在地毯上的动量变化量大 2．（多选）一个质量为0.2kg 的弹性小球，在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞过程中墙对小球的冲量 I大小、墙对小球做功的大小W为（    ） A．I=0 B．I=2.4kgm/s C．W=0 D．W=7.2J 3．排球运动是一项同学们喜欢的体育运动，为了了解排球的某些性能，某同学让排球从距地面高处自由落下，测出该排球从开始下落到第一次反弹到最高点所用的时间，第一次反弹的高度，已知排球的质量，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： (1)排球与地面作用过程中动量的变化量； (2)排球与地面的平均作用力大小F。 【动量定理和动能定理的比较】 动量定理 动能定理 区 别 公式 I合=Δp，即 F合=mv2-mv1 W合=ΔEk，即 标、矢量 矢量式（需规定正方向，用正负号表示方向） 标量式（无方向，直接代数运算） 单位 kg·m/s（与冲量单位一致，N·s=kg·m/s） J（焦耳，与功的单位一致，1J=1N·m） 意义 合外力的冲量是物体动量变化的原因，反映力对时间的积累效应 合外力做的功是物体动能变化的原因，反映力对位移的积累效应 正负 正负表示动量变化的方向，与合冲量方向一致 正负表示动能的增加或减少（正：动能增加；负：动能减少） 作用效果 改变物体的动量（速度的大小或方向改变都可引起动量变化） 改变物体的动能（只有速度的大小改变才会引起动能变化） 适用条件 普遍适用（恒力、变力、直线运动、曲线运动均可） 普遍适用（恒力、变力、直线运动、曲线运动均可） 联系 两者都是动力学定理，由牛顿运动定律推导而来，都适用于宏观低速物体；都是解决力学问题的重要工具，在处理变力、多过程问题时优势明显 动量定理的综合应用及解题步骤 1．动量定理的适用范围 （1）动量定理不仅适用于恒力，而且适用于随时间而变化的力。 （2）对于变力，动量定理中的力F应理解为变力在作用时间内的平均值。 （3）动量定理不仅能处理单一过程，也能处理多过程．在多过程中外力的冲量是各个力冲量的矢量和。 2．动量定理与牛顿第二定律的选用原则 （1）在合外力为恒力的情况下，可用牛顿第二定律F＝ma和运动学公式v＝v0＋at，也可用动量定理F·Δt＝mv′－mv，但较牛顿第二定律，动量定理适用范围更广，且表达式中只涉及一个过程量F·Δt及两个状态量mv′和mv，而过程中的速度怎样，轨迹怎样，加速度怎样，位移怎样均不必考虑，因此解题时优先选用动量定理。 （2）对于多过程问题，牛顿第二定律仅能分段使用，求解过程较复杂，而动量定理可用于全过程，不必考虑中间量，使问题求解变得简捷。 3．应用动量定理定量计算的一般步骤： （1）选定研究对象，明确运动过程； （2）进行受力分析和运动的初、末状态分析； （3）选定正方向，根据动量定理列方程求解。 4、用动量定理求流体冲击问题解题思路点拨 （1）对于流体冲击类的问题，常用的解题思路是：取微元→计算动量变化→列方程。 （2）一个解题技巧是：设出时间Δt，利用时间Δt构建方程，最后往往可以把Δt消掉。 角度01 用动量定理求解平均力 1．高空抛物是严重危害人身安全的违法行为，质量为的鸡蛋从高空落下以的速度砸在地面上破裂，鸡蛋与地面的作用时间为，不计鸡蛋受到的重力，则该鸡蛋对地面的平均冲击力为（　　） A．1N B．10N C．100N D．1000N 2．2026年2月11日，我国网系火箭回收技术已成功验证核心能力，是中国航天在可重复使用领域的重大自主创新，为载人登月等重大工程奠定了基础。如图所示为火箭落网时的情景，火箭发动机将大量初速度为零的正离子通过电场加速后从火箭下方射出，从而使火箭获得向上的反冲力。已知单个正离子的质量为，电荷量为，加速电压为，射出的正离子所形成的电流为。忽略离子间的相互作用力，忽略射出离子对火箭质量的影响。火箭发动机产生的平均推力大小为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）质量为0.1kg的小球从距离地面3.2m高处自由下落到水平的水泥地面上，从接触地面到速度减为零经历了0.001s，规定竖直向下的方向为正方向，重力加速度g取。则下列关于小球的说法正确的是（　　） A．小球落地时的速度大小为8m/s B．小球落地时的动量为kg·m/s C．0.001s内小球所受的平均力为-800N D．0.001s内地面对小球的平均力为N 4．打篮球经常有一个动作就是传球，如图甲，一人将球扔向地面，通过地面反弹传给另外一人。情景简化如图乙，地面水平，篮球质量为600g，现篮球以与地面夹角撞向地面，反弹离开地面时水平速度不变，竖直速度等大反向，篮球与地面作用时间为0.05s，不计空气阻力，。，求： (1)篮球与地面作用过程的动量变化的大小； (2)地面对篮球的作用时的平均弹力的大小。 角度02 用动量定理解释缓冲现象 5．某次跳台跳水训练中，运动员进入水中深度后速度减为零，其质量，忽略空气阻力，且运动员在水中的运动近似为匀变速直线运动，重力加速度g取。则从入水到速度减为零的过程中，水给运动员的冲量大小最接近（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，是上世纪七十年代农村修水库打硪夯土的情景，石硪通常由整块石材制成，周边设有孔洞，可插入木棍，一般情况下有四个人或者六个人抬起一定的高度后松手，让石硪自由下落来夯土。在一次打夯中将石硪提升0.45m后由静止释放，使其自由下落，石硪与土作用0.2s后静止。已知石硪与木棍的总质量为500 kg，重力加速度大小，不计空气阻力。则关于此次夯土过程，下列说法正确的是（　　） A．石硪静止释放到静止在地面上的过程中重力冲量大小为1500 B．石硪静止释放到静止在地面上的过程中重力冲量大小为2500 C．石硪与土相互作用中，石硪对土的平均作用力为12500N D．土质越软石硪受到的平均作用力越大 7．生活中常出现手机滑落而导致损坏的现象，手机套能有效地保护手机。若一部带有手机套的手机总质量，从离地高处无初速度下落，落到地面后手机未反弹，由于手机套的缓冲作用，手机与地面的作用时间为。不计空气阻力，取，求： (1)用学过的知识解释一下手机套对手机起到的缓冲作用； (2)手机对地面的作用力。 角度03 利用动量定理求蹦极类的问题 8．某研究机构利用力传感器研究蹦床过程。传感器采集了某运动员在一次蹦床过程中对蹦床的压力随时间变化的关系，利用计算机绘制出图像如图所示。运动员视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度。则时间内图线与横轴围成的阴影面积约为（　　） A． B． C． D． 9．（多选）蹦极是一项刺激的极限运动，如图，运动员将一端固定的弹性长绳绑在腰或踝关节处，从几十米高处跳下（忽略空气阻力）。在某次蹦极中质量为50kg的人在弹性绳绷紧后又经过2s人的速度减为零，假设弹性绳长为45m。若运动员从跳下到弹性绳绷紧前的过程称为过程Ⅰ，绳开始绷紧到运动员速度减为零的过程称为过程Ⅱ（重力加速度）。下列说法正确的是（　　） A．过程Ⅱ中弹性绳对人的平均作用力大小为1250N B．过程Ⅱ中运动员重力的冲量与弹性绳作用力的冲量大小相等 C．过程Ⅱ中运动员动量的改变量等于弹性绳的作用力的冲量 D．过程Ⅰ中运动员动量的改变量与重力的冲量相等，大小为1500N·s 10．如图所示，为“蹦极”的简化情景：某游客用长度为的弹性橡皮绳拴住身体从高空悬点处由静止开始下落，弹性橡皮绳伸直后经过时间游客第一次到达最低点。弹性橡皮绳劲度系数为，始终处于弹性限度内，质量为的游客可看成质点，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)弹性橡皮绳刚伸直时游客的速度大小； (2)具有最大速度时，游客下落的高度； (3)时间内弹性橡皮绳平均作用力大小。 角度04 用动量定理解决流体问题 11．冲牙器通过喷出高压水流来冲洗牙齿。如图所示喷嘴直径为的冲牙器，工作时喷出的水柱速度为，水柱冲击到牙齿表面后散开，从而起到洗牙的作用。已知水的密度为，水柱冲到牙齿后速度减为零，不考虑水柱扩散效应，水柱横截面比牙齿小得多。下列说法正确的是（　　） A．单位时间内喷出水的质量为 B．单位时间内喷出水的动能为 C．水柱对牙齿的平均冲击力大小为 D．水柱对牙齿表面产生的压强为 12．（多选）近年来，“娱乐风洞”成为备受年轻人喜爱的新型娱乐项目，它无需高空跳伞，就能让人们在安全的室内空间中体验“空中翱翔”的快感。其核心原理是通过大功率风机制造稳定的竖直向上气流，当气流的作用力与人体重力平衡时，人便能悬浮在风洞内，实现无束缚的“飞行”体验。该项目的简化模型如图所示：一质量为的游客身着专业飞行服，恰好悬浮在直径为的圆柱形竖直风洞内，已知气流密度为，游客受风面积（即游客在垂直于风力方向的投影面积）为，风洞内气流始终以恒定速度竖直向上“吹”出，重力加速度为。假设气流吹到游客身上后，速度瞬间变为零，不计空气阻力与游客受到的其他作用力，则下列说法正确的是（　　） A．气流速度大小为 B．单位时间内流过风洞内横截面的气体体积为 C．若风速变为原来的，游客开始运动时的加速度大小为 D．若风速变为原来的，游客开始运动时的加速度大小为 13．生活中常用高压水枪清洗汽车，当高速水流射向车身时，会对车身表面产生冲击力，从而实现洗去污垢的效果。图为利用水枪喷水洗车的简化示意图。已知水枪喷水口的横截面积为S，水的密度为ρ ，不计流体内部的黏滞力。假设水流垂直打到车身表面后不反弹，测得水枪喷水口喷出的水流速度大小为。 (1)求水枪喷水口单位时间内喷出水流的体积Q； (2)清洗车身时，汽车静止不动，忽略水流喷出后在竖直方向的运动。计算水流对车身表面的平均作用力的大小F； (3)如果用该水枪冲洗一质量为m的玩具小汽车，使得玩具小汽车受到恒定的合外力，玩具小汽车在时间内动量的变化量为，请根据牛顿第二定律推导与的关系。 角度05  利用动量定理求解其他问题 14．质量为m的小球在黏滞液体中由静止释放，液体对小球的阻力大小与速率成正比，比例系数为k。小球受到的浮力大小恒为F，且重力大于浮力。当小球下落的时间为t时，恰好达到最大速度，重力加速度大小为g。则小球从释放至达到最大速度的下落高度为（     ） A． B． C． D． 15．（多选）如图甲所示，质量的物块静止放在水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数，现用水平向右的拉力F作用在物块上，拉力F随时间t变化关系如图乙所示，重力加速度g取，下列说法正确的是（   ） A．拉力冲量大小为 B．时物块的速度大小为2m/s C．物块的速度最大值为3m/s D．物块的运动时间为4s 16．如图所示，不可伸长的轻绳穿过轻质定滑轮连接水平桌面上的物块A和B，桌面下方的物块通过轻质滑轮挂在绳上，三个物块的质量均为。桌面上有一阻挡装置P，起初物块A到P的距离为。现由静止同时释放三个物块，一段时间后物块A与阻挡装置P发生碰撞，在极短时间内达到静止。不计一切摩擦，重力加速度大小为。求： (1)物块A与阻挡装置P碰撞前瞬间的速度大小； (2)物块A运动过程中绳上张力大小； (3)物块A与阻挡装置P碰撞过程中绳对物块B的冲量大小。 【例1】（2025·天津·高考真题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　） A．动量保持不变 B．所受合外力做功为零 C．所受重力的冲量为零 D．始终处于受力平衡状态 【深化点拨】 1、动量的矢量性：动量p=mv是矢量，其方向与速度方向一致。匀速圆周运动中，速度的大小不变，但方向时刻改变，因此动量的方向也在时刻改变，不是恒定的，所以选项 A 错误。 2、合外力做功与动能定理：匀速圆周运动中，物体的动能大小不变。根据动能定理，合外力做功等于物体动能的变化量。动能变化为 0，因此合外力做功一定为 0。 补充：这里的合外力不为零（提供向心力），但因为向心力始终与速度方向垂直，不做功，所以合外力总功为 0，选项 B 正确。 3、冲量的计算：冲量I=Ft是矢量，其大小只和力的大小与作用时间有关，和物体的运动状态无关。重力是恒力，座椅运动一周的时间不为零，因此重力的冲量IG=mgt一定不为零，选项C错误。 4、受力平衡的条件：受力平衡的条件是合外力为零、加速度为零。匀速圆周运动存在向心加速度，合外力不为零（指向圆心），因此物体始终不处于平衡状态，选项 D 错误。 【变式1-1】如图所示，三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在甲环上，彼此间距相等。绳穿过与甲环半径相同的乙环，另一端用同样的方式系在半径较大的丙环上。甲环固定在水平面上，整个系统处于平衡，忽略绳与乙环之间的摩擦，经过一段时间t后，下列说法中正确的是（　　） A．甲环对绳子的弹力是由于绳子发生形变而产生的 B．每根绳对乙环的作用力均竖直向上 C．乙环对三根绳的总作用力的冲量竖直向下 D．三根绳对丙环作用力的总冲量为零 【变式1-2】（多选）“无动力过山车”是以亲子互动为主的游乐设备。如图，家长通过链条驱动将质量为M的座舱和质量为m的小孩一起从轨道最低点沿轨道向上运动，座舱和小孩到轨道最高点时以一定的速度沿轨道滑下，最后停在轨道上，已知轨道最高点离轨道最低点的高度差为h，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在轨道最高点时，小孩对座舱的压力小于小孩的重力 B．在整个上升阶段，座舱和小孩的重力势能增加 C．在下降阶段，座舱所受支持力的冲量为零 D．在下降阶段，合外力对小孩做功等于其动能的变化量 【例2】（2025·浙江·高考真题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为，要产生的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（　　） A．5层 B．8层 C．17层 D．27层 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）碰撞时间的估算，用匀减速运动的平均速度求时间，是这类题的常用方法。 （2）重力冲量的取舍：冲击力远大于重力时，可忽略重力简化计算。 （3）估算题的楼层换算，要记住常见的楼层高度（约3m/层）。 【变式2-1】滑板比赛中部分场景简化如图所示，选手和滑板总质量为，以速度从高度处的平台末端水平飞出，并在空中保持同一姿态落在水平地面上。忽略空气阻力，取重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．选手和滑板在空中相等时间内动能变化相等 B．选手和滑板在空中相等时间内动量变化相同 C．选手和滑板着地前瞬间重力的瞬时功率为 D．选手和滑板着地前瞬间动量大小为 【变式2-2】（多选）如图所示，用0.5kg的铁锤往水平天花板上钉钉子，打击前铁锤的速度大小为4m/s，方向竖直向上。打击后铁锤的速度变为0，已知打击时间为0.01s，钉子质量为5g，忽略打击过程中手对锤柄的作用力，重力加速度，则下列说法正确的是（　　） A．钉钉子过程铁锤所受合力的冲量大小为1.95N·s B．钉钉子过程铁锤所受合力的冲量大小为2N·s C．钉钉子过程铁锤对钉子的平均作用力大小为195N D．钉钉子过程铁锤对钉子的平均作用力大小为200N 【变式2-3】体育课上，质量的排球飞向某同学，该同学在距离地面高处击打排球。排球被击打前速度的大小，方向水平；被击打后反向水平飞回，速度的大小。排球在空中运动一段距离后落地，忽略空气阻力，取重力加速度。求： (1)排球被击打后在水平方向飞行的距离； (2)排球落地时的速度大小； (3)排球被击打过程中所受冲量的大小。 【例3】（2025·甘肃·高考真题）如图1所示，细杆两端固定，质量为m的物块穿在细杆上。初始时刻。物块刚好能静止在细杆上。现以水平向左的力F作用在物块上，F随时间t的变化如图2所示。开始滑动瞬间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。细杆足够长，重力加速度为g，θ=30°。 求： (1)t=6s时F的大小，以及t在0~6s内F的冲量大小。 (2)t在0~6s内，摩擦力f随时间t变化的关系式，并作出相应的f−t图像。 (3)t=6s时，物块的速度大小。 【深化点拨】 解题关键技巧： （1）初始临界条件的利用：题目中 “物块刚好静止” 是隐含条件，第一步必须用来求动摩擦因数，这是后续所有计算的基础。 （2）变力冲量的计算：线性变化的力的冲量，直接用F-t 图像的面积（平均力 × 时间）计算，避免复杂积分。 （3）摩擦力的分段分析：先通过受力分析找到 “静摩擦→滑动摩擦” 的分界时刻，再分阶段写摩擦力的表达式。 （4）动量定理的优先应用：变力作用下求速度，优先用动量定理，比牛顿定律 + 运动学公式更高效。 （5）支持力的动态变化：水平外F会改变杆的支持力，滑动摩擦力会随F线性增大，不能按恒力处理。 【变式3-1】如图所示，一个质量为的垒球，以的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水平飞回，速度大小变为，设球棒与垒球的作用时间为，下列说法正确的是（     ） A．球棒打击垒球的过程中，垒球动量的变化量大小为 B．球棒打击垒球的过程中，垒球动量的变化量大小为 C．球棒对垒球的平均作用力大小为 D．球棒对垒球的平均作用力大小为 【变式3-2】（多选）在2026冬奥会滑雪大跳台比赛中，质量为可视为质点的运动员从处自由滑下，到处起跳，落在倾角为的斜直雪道上的点。起跳时，速度方向与夹角为，速率为，。不计空气阻力，重力加速度大小为，则运动员（　　） A．从到，运动时间为 B．从到，重力的冲量大小为 C．落在点前瞬间的动量大小为 D．落在点前瞬间的动量大小为 【变式3-3】（2025·河北·高考真题）如图，一长为2m的平台，距水平地面高度为1.8m。质量为0.01kg的小物块以3m/s的初速度从平台左端水平向右运动。物块与平台、地面间的动摩擦因数均为0.2。物块视为质点，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 (1)求物块第一次落到地面时距平台右端的水平距离。 (2)若物块第一次落到地面后弹起的最大高度为0.45m，物块从离开平台到弹起至最大高度所用时间共计1s。求物块第一次与地面接触过程中，所受弹力冲量的大小，以及物块弹离地面时水平速度的大小。 ⚡基础速刷 1．快递员常会将易碎陶瓷碗放入铺有泡沫的纸箱内，这样做是为了在搬运时（　　） A．减小陶瓷碗受到的作用力 B．减小陶瓷碗的动量变化量 C．增大陶瓷碗所受力的冲量 D．减小陶瓷碗所受力的冲量 2．一个质量为、以15m/s的速度飞来的网球被球拍击中，并以25m/s的速度沿与原方向相反的方向弹回，网球与球拍相接触的时间为，球拍对网球的平均作用力为（ ） A．80N B．60N C．70N D．50N 3．如图所示，重力为G的物体静止在水平地面上，受到与水平方向成角的恒定拉力F作用时间t后，物体仍保持静止。下列说法正确的是（    ） A．物体所受重力G的冲量大小是 B．物体所受拉力F的冲量大小是 C．物体所受摩擦力的冲量大小为0 D．物体所受合力的冲量大小为 4．（多选）“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下。将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从人开始下落到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是（     ） A．人的动量一直增大 B．绳刚好伸直时，人的动量最大 C．人的动量最大时，绳对人的拉力大小与人所受的重力大小相等 D．全程绳对人的冲量与重力的冲量大小相等 5．（多选）汽车安全性能是当今衡量汽车品质的重要指标。汽车碰撞试验是综合评价汽车安全性能最有效的方法。汽车发生碰撞时，关于安全气囊对驾驶员的保护作用，下列说法正确的是 （　　） A．改变了驾驶员的惯性 B．减小了驾驶员的动量变化率 C．减小了驾驶员受到的冲力 D．减小了驾驶员的动量变化 6．将质量为的小球，从距水平地面高处，以的水平速度抛出，不计空气阻力，取。求： (1)小球落地时的动能； (2)平抛运动过程中小球重力的冲量大小。 🚀能力跃升 7．下列说法正确的是（     ） A．冲量是矢量，冲量的方向一定与物体的速度的方向相同 B．动量是矢量，某一时刻物体动量的方向一定与此时该物体的速度的方向相同 C．做匀速圆周运动的物体，在任何相同的时间内动量的变化量都相同 D．质量一定的物体，动量增大为原来的2倍，其动能增大为原来的2倍 8．舞中幡是中国传承千年的杂技项目之一。如图所示，杂技演员用手顶住中幡，将幡从胸口处竖直向上抛出，时在胸口处相同位置用手接幡，同时缓慢竖直下蹲，又经幡速度为零时稳稳接住。已知中幡质量为，，忽略空气阻力。设竖直向上为正方向。下列说法正确的是（     ） A．幡经上升到最高点 B．幡被抛出时的速度大小为 C．幡从胸口处抛出到落回胸口处，幡的动量变化为 D．杂技演员接幡过程中，手对幡的平均作用力大小为 9．弹弓是小朋友们特别喜爱的一种玩具。某次利用一弹弓竖直向上发射弹丸时，简化模型如下：原长为L的轻质弹性绳两端固定于相距为L的A、B两点，将质量为m的弹丸置于弹性绳的中点，随弹性绳竖直向下拉至C点，，并由静止释放，经时间t后弹丸离开弹性绳，此后弹丸继续上升的最大高度为h。重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．弹性绳对弹丸的冲量大小为 B．弹性绳对弹丸的冲量大小为 C．弹性绳对弹丸的平均作用力大小为 D．弹性绳对弹丸的平均作用力大小为 10．（多选）某同学原地竖直起跳进行摸高测试，从离地到上升到最高点所用时间为t，重心上升的总高度为H。若不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为 B．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为 C．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为 D．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为 11．（多选）如图所示，圆盘在水平面内以角速度绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴处的点有一质量为的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的有（　　） A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向 B．圆盘停止转动前，小物体运动半圈所受摩擦力的冲量大小为 C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动 D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为 12．冬季，众多鸟类南飞入驻环境宜人的盐城滩涂，栖息于沿海湿地等水域。如图甲所示，一质量为的鸬鹚观察到猎物后在低空由静止开始竖直向下加速俯冲，入水后作减速直线运动。整个运动过程的图像如图乙所示，已知鸬鹚入水瞬间的速度大小为，在空中俯冲时受到的阻力，重力加速度大小取，求： (1)鸬鹚加速过程的时间； (2)从过程中水对鸬鹚作用力的冲量。 🌟思维挑战 13．一架无人机从高为h的高空由静止释放质量为m的货物，货物沿直线下落，下落过程中受到的阻力与速率v的关系为f＝kv（k已知），最终货物能匀速到达地面。已知重力加速度为g，忽略货物受到的空气浮力，下列说法正确的是（     ） A．货物做加速度逐渐增大的加速运动直至匀速 B．货物到达地面时的速度大小为 C．货物下落的时间为 D．货物下落的时间为 14．运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量为m的弹性薄片沿倾斜方向落到足够大水平弹性面上，碰前瞬间速度为v0，方向与水平方向夹角α=30°。薄片与弹性面间的动摩擦因数μ=0.5。不计空气阻力，碰撞过程中忽略薄片重力。薄片每次碰撞前后竖直方向的速度大小保持不变，并且在运动过程中始终没有旋转。下列说法正确的是（　　） A．第一次碰撞过程中，薄片竖直方向的动量变化量大小为2mv0 B．前两次与水平面碰撞过程中，薄片受到的冲量相同 C．在与水平面多次碰撞后，薄片最终将静止在水平面上 D．与水平面碰撞两次后，薄片水平位移将不再增加 15．（多选）如图所示，一电动倾斜传送带上端与一水平面平滑相连，将物块A轻放在传送带底端，已知传送带顺时针方向匀速运行，与水平面夹角为，传送带长L=6 m，速度v=5 m/s，A与传送带间的动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），A的质量为m=2 kg，取g=10 m/s2。则（　　） A．物块A在传送带上加速运动的过程中，动量的变化率不变 B．物块A在传送带上运行的时间为2.2 s C．把A从底端运送到顶端的过程中，摩擦力对物块A做的功为90 J D．把A从底端运送到顶端的过程中，电动机多消耗的电能为160 J 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $