第2讲：简谐运动的回复力和能量【六大考点+六大题型】-2025-2026学年高二上学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第一册）

第2讲：简谐运动的回复力和能量 · 考点一：回复力概念 · 考点二：简谐运动的能量 · 考点三：弹簧振子的物理量分析 · 考点四：根据振动图像判断振子的运动状态和受力 · 考点五：弹簧振子模型迁移问题 · 考点六：简谐运动的能量的综合计算问题 知识点一：回复力 (1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置． (2)回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供． 2．回复力公式：F＝－kx. (1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关． (2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反． 3．简谐运动的加速度 由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反． 4．物体做简谐运动的判断方法 (1)简谐运动的回复力满足F＝－kx； (2)简谐运动的振动图像是正弦曲线． 知识点二、简谐运动的能量 简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒． 1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大． 2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去． 3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能． 4．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型． 知识点三、简谐运动中各物理量的变化 1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表． 振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同． (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大． (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大． 题型一：回复力概念 【典例1】．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．回复力一定是物体受到的合力 B．回复力是根据力的作用效果命名的 C．振动中，位移的方向是不变的 D．物体振动到平衡位置时，加速度一定等于零 【变式1】．（20-21高二下·山东青岛·期中）质量的小球做简谐运动，当小球经过A点时，小球加速度大小为，方向指向B点；当小球经过B点时，其加速度大小为，方向指向A点，已知A、B两点间的距离为10cm，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动的振幅为6cm B．若该简谐运动为小球与轻质弹簧组成的弹簧振子的运动，则弹簧的劲度系数 C．该简谐运动的回复力满足 D．小球经过A点时的速度小于经过B点时的速度 【变式2】．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，一质量为m的物块与轻弹簧相连在光滑水平面上往复运动。当物块运动到距弹力为0处最远的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两物块恰好始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后一起运动的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．下面物块的回复力是弹簧的弹力 B．上面物块在运动过程中所受摩擦力不变 C．整体做简谐运动的振幅会变小 D．在平衡位置两物块间摩擦力为0 【变式3】．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）关于物体做简谐运动的规律，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力可以是恒力 B．简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置 C．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小 D．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的 题型二：简谐运动的能量 【典例2】．（24-25高二上·河北邯郸·期中）简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式，回复力和能量，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动位移的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 B．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 C．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 【变式1】．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．两弹簧振子具有相同的相位 B．甲的振幅比乙大，所以甲的能量比乙大 C．甲、乙两弹簧振子回复力最大值之比一定为 D．时甲具有负向最大速度，乙具有正向最大位移 【变式2】．（23-24高二下·陕西西安·期末）下列关于弹簧振子做简谐运动时能量变化的说法正确的是（　　） A．小球通过平衡位置时，动能最大，势能为零 B．在任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的 C．振幅越大，机械能越大 D．小球靠近平衡位置运动时，势能会增大 【变式3】．（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法不正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 题型三：弹簧振子的物理量分析 【典例3】．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为4cm B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功 C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小 D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大 【变式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　） A．振子的运动周期是0.2s B．时，振子位于M点 C．时，振子具有最小速度 D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小 【变式2】．（2025·贵州·模拟预测）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平地面上M、N两点之间做简谐运动，规定O点为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．0.4s~0.8s内，振子向正方向运动 B．时和时振子的速度相同 C．时和时振子的势能不同 D．时振子的动能大于时的动能 【变式3】．（24-25高二下·河南·期中）如图甲所示，一水平弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，以向右为x轴正方向，振子的振动图像如图乙所示，已知时振子的回复力大小为，下列说法正确的是（　　） A．时振子的速度最大，加速度最小 B．该弹簧振子的劲度系数为 C．内振子的弹性势能先减小后增大 D．振子在内通过的路程为 题型四：根据振动图像判断振子的运动状态和受力 【典例4】．（25-26高二上·河南·月考）一质点做简谐运动的加速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点振动的周期为6s B．时间内，质点振动的位移均沿负方向 C．时刻，质点的速度最小 D．时间内，振动系统的机械能减小 【变式1】．（25-26高三上·山东日照·月考）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐运动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为8s B．0~2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s~4s和4s~5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s~3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 【变式2】．（24-25高二下·广东佛山·期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 【变式3】．（24-25高二下·浙江·期中）如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 题型五：弹簧振子模型迁移问题 【典例5】．（24-25高一下·湖北·期末）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 【变式1】．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【变式2】．（2025·湖北襄阳·三模）某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压后静止释放，木棒开始在液体中上下振动（不计液体粘滞阻力），其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．时，木棒的重力大于其所受的浮力 B．振动过程中木棒的机械能不守恒 C．开始计时内木棒所经过的路程是 D．木棒的位移函数表达式是 【变式3】．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，一根长度为L的光滑水平滑杆固定在两墙壁之间，质量为m的小球套在滑杆上，两根原长为0.6L的弹性绳（可等效成轻弹簧）一端固定在墙上，另一端与小球相连，小球静止在滑杆中央，现给小球向右的初速度，小球将做周期性的往复运动，小球运动过程距滑杆中心位置最大距离为0.2L，且始终未与墙壁碰撞，弹性绳拉伸过程中周期为（m为小球质量，k为弹性绳的劲度系数，弹性势能表达式为，x为形变量），下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动 B．弹性绳的劲度系数为 C．小球运动的周期为 D．改变小球初速度其运动周期不变 题型六：简谐运动的能量的综合计算问题 【典例6】．（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图所示，劲度系数的竖直轻质弹簧下端固定，上端连接质量的物块，系统处于静止状态。质量的物块从正上方高度处由静止下落。已知弹簧的弹性势能，弹簧振子的周期为弹簧的劲度系数，为振子的质量。不计空气阻力，重力加速度。 (1)若碰后物块粘在一起，求碰撞过程中合力对的冲量； (2)若物块发生弹性碰撞，碰后立即移走物块。求： （1）弹簧的最大压缩量； （2）从碰撞结束至弹簧首次恢复原长的时间。 【变式1】．（25-26高二上·河南·月考）如图所示，质量分别为mP=0.2kg和mQ=0.1kg可视为质点的小球P和Q用细线相连，P与一端固定的劲度系数k=50N/m的轻弹簧连接，系统静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，剪断细线。 (1)试证明剪断细线后球P的运动是简谐运动； (2)求P的振幅A及其在最高点受到弹簧的弹力大小。 【变式2】．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=32N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为5J，问： (1)滑块的加速度的最大值am为多少？ (2)求滑块的最大速度vm (3)滑块完成5次全振动时走过的路程s 【变式3】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，轻质弹簧的上端固定在水平天花板上，下端悬挂一个质量为m，带电量为+q的小物块，最初物块静止。某时刻在空间中平行于纸面向上的方向加一个匀强电场，场强大小满足关系Eq=0.5mg（g为重力加速度），加电场后物块开始运动。当物块的速度为零时，将匀强电场反向但大小保持不变；当物块的速度再次为零时，又将匀强电场反向但大小保持不变，如此反复，第五次改变电场强度后保持场强不变。最终物块在竖直方向上做机械振动。已知整个过程中弹簧始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，且弹性势能满足关系Ep=0.5kx²（x为弹簧的形变量），求 (1)电场第二次改变方向时，弹簧的形变量； (2)最终物块做机械振动时，动能的最大值； (3)最终物块做机械振动的振幅 一、单选题 1．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图所示，劲度系数的轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂着质量的小球M，M的下端用细线连接质量的小球N。现剪断细线，M沿竖直方向振动，重力加速度g取，则M的最大回复力F及其振动的振幅A分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二上·浙江宁波·月考）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由O运动至P0，所用的时间为 D．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 3．（25-26高二上·江苏连云港·期末）如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（    ） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（    ） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．内，木筷的机械能减小 D．内，木筷的路程为 5．（25-26高三上·江西·月考）图甲为水平弹簧振子（弹簧质量忽略不计），弹簧左端连接在力传感器上，弹簧振子做简谐运动后，力传感器显示弹簧的弹力大小F随时间t变化规律如图乙所示，弹簧的劲度系数为，则弹簧振子做简谐运动时，下列说法正确的是（　　） A．振幅为 B．周期为 C．时，振子的速度为零 D．时，振子的动能为零 6．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小球处于平衡位置 B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s² C．0-2s内，弹力对小球做的功为0 D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期末）如题图所示，足够大的光滑水平桌面上，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与一质量为m的小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接相同小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂。已知弹簧振子的振动周期（其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球B距下方地面足够远，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。则细线断裂后（　　） A．小球A做简谐振动的振幅为 B．小球A第一次向右运动至最远点时到O点的距离为 C．小球A返回O点时速度大小为 D．从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为 二、多选题 8．（25-26高二下·安徽六安·开学考试）如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上的A、B两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知，，下列说法正确的是（　　） A． B．振子在点的动能等于在点的动能 C．振子在点的加速度大于在点的加速度 D．振子在点的弹性势能小于在点的弹性势能 9．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 10．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 11．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）一弹簧振子中的小球做简谐运动的x-t关系为。下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，小球的振幅是3cm B．t=0时刻，小球的动能最小 C．时刻，小球受到的回复力最大，位移负方向最大 D．时刻，弹簧的弹性势能最小，小球的动能最大 12．（23-24高一下·河北雄安·期末）竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的物体a拴接。质量也为的物体b叠放在a上并处于静止状态。现在b上施加竖直向下的压力。使a、b两物体再次处于静止状态，如图所示。a、b均可看作质点，运动中不考虑空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．如果，撤去瞬间，物体a对物体b的支持力为 B．如果，撤去后，物体a、b能一起做简谐振动 C．如果，撤去后，b物体运动的最大加速度为 D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中机械能始终守恒 13．（2025·重庆北碚·模拟预测）物理实验室研究物体在弹簧弹力作用下的运动规律。如图甲所示，弹簧竖直放置，下端固定在地面上，当弹簧处于自然长度时，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，测出物体的速度与弹簧长度l的关系如图乙，图线与横轴交点坐标为已知薄板与弹簧的质量可忽略，盒子的质量为，弹簧一直处在弹性限度内，重力加速度大小为，空气阻力不计，则（　　） A．盒子做匀变速直线运动 B．当弹簧长度为时，盒子的加速度大小等于 C．弹簧的劲度系数为 D．盒子的最大速度为 三、解答题 14．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示是一个质点做简谐运动的图像，求： (1)质点振动的振幅； (2)写出此振动质点的运动表达式； (3)振动质点在的时间内通过的路程； (4)振动质点在这段时间内速度和加速度是怎样变化的？ 15．（24-25高二下·河北张家口·期中）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动。从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，弹簧振子的振幅为A，图像的坐标值为已知量，求： (1)小球的质量； (2)从计时开始，弹簧振子的振动方程； (3)从计时开始到13t0时，小球运动的路程。 16．（2025·山东菏泽·二模）粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向为正方向。 (1)证明木筷做简谐运动； (2)已知简谐运动的周期，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。 17．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）如图所示，质量均为的物块C和B由轻质弹簧相连，初始时C、B均静止，现将C缓慢下压一段距离后释放，C在竖直方向上做简谐运动，振动过程中，B恰好不能离开水平面。弹簧的劲度系数，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小。 (1)求C做简谐运动的振幅A； (2)已知弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能，求C在运动过程中的最大速度； (3)已知C做简谐运动的周期，以竖直向上为正方向，求C从负向位移最大处运动到弹簧恢复原长所用的最短时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：简谐运动的回复力和能量 · 考点一：回复力概念 · 考点二：简谐运动的能量 · 考点三：弹簧振子的物理量分析 · 考点四：根据振动图像判断振子的运动状态和受力 · 考点五：弹簧振子模型迁移问题 · 考点六：简谐运动的能量的综合计算问题 知识点一：回复力 (1)回复力的方向总是指向平衡位置，回复力为零的位置就是平衡位置． (2)回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力．例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力由静摩擦力提供． 2．回复力公式：F＝－kx. (1)k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数．其值由振动系统决定，与振幅无关． (2)“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反． 3．简谐运动的加速度 由F＝－kx及牛顿第二定律F＝ma可知：a＝－x，加速度a与位移x的大小成正比，方向与位移方向相反． 4．物体做简谐运动的判断方法 (1)简谐运动的回复力满足F＝－kx； (2)简谐运动的振动图像是正弦曲线． 知识点二、简谐运动的能量 简谐运动的能量是指物体在经过某一位置时所具有的势能和动能之和．在振动过程中，势能和动能相互转化，机械能守恒． 1．简谐运动的能量由振动系统和振幅决定，对同一个振动系统，振幅越大，能量越大． 2．在简谐运动中，振动的能量保持不变，所以振幅保持不变，只要没有能量损耗，它将永不停息地振动下去． 3．在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．物体的位移减小，势能转化为动能，位移增大，动能转化为势能． 4．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型． 知识点三、简谐运动中各物理量的变化 1．如图所示为水平的弹簧振子示意图，振子运动过程中各物理量的变化情况如下表． 振子的运动 A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向 向右 向左 向左 向右 大小 减小 增大 减小 增大 回复力 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 加速度 方向 向左 向右 向右 向左 大小 减小 增大 减小 增大 速度 方向 向左 向左 向右 向右 大小 增大 减小 增大 减小 振子的动能 增大 减小 增大 减小 弹簧的势能 减小 增大 减小 增大 系统总能量 不变 不变 不变 不变 2.说明：(1)简谐运动中各个物理量对应关系不同．位置不同，则位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同． (2)简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek＝0；在平衡位置处，F＝0，a＝0，Ep＝0，Ek最大． (3)位移增大时，回复力、加速度和势能增大，速度和动能减小；位移减小时，回复力、加速度和势能减小，速度和动能增大． 题型一：回复力概念 【典例1】．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．回复力一定是物体受到的合力 B．回复力是根据力的作用效果命名的 C．振动中，位移的方向是不变的 D．物体振动到平衡位置时，加速度一定等于零 【答案】B 【详解】A．回复力可以是某个力、某个力的分力或几个力的合力，比如单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是合外力，因此回复力不一定是物体受到的合力，故A错误； B．回复力的作用效果是使物体回到平衡位置，是按力的作用效果命名的，故B正确； C．简谐运动的位移定义为从平衡位置指向物体所在位置的有向线段，物体在平衡位置两侧往复运动时，位移方向会发生变化，故C错误； D．物体在平衡位置时回复力为零，但合外力不一定为零，比如单摆运动到平衡位置时存在向心加速度，因此加速度不一定为零，故D错误。 故选B。 【变式1】．（20-21高二下·山东青岛·期中）质量的小球做简谐运动，当小球经过A点时，小球加速度大小为，方向指向B点；当小球经过B点时，其加速度大小为，方向指向A点，已知A、B两点间的距离为10cm，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动的振幅为6cm B．若该简谐运动为小球与轻质弹簧组成的弹簧振子的运动，则弹簧的劲度系数 C．该简谐运动的回复力满足 D．小球经过A点时的速度小于经过B点时的速度 【答案】C 【详解】AB．简谐运动中，加速度与位移成正比，方向相反，即 设平衡位置为O，A点位移为，B点位移为，且 根据加速度公式， 代入 解得，， 振幅为最大位移，不一定为6cm，故AB错误； C．回复力公式为，代入 解得，故C正确； D．简谐运动中速度大小与位移成反比。A点位移较小，速度较大；B点位移较大，速度较小，故D错误。 故选C。 【变式2】．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，一质量为m的物块与轻弹簧相连在光滑水平面上往复运动。当物块运动到距弹力为0处最远的时刻，把另一质量也为m的物块轻放在其上，两物块恰好始终一起振动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。放上质量也为m的物块后一起运动的过程中，下列说法正确的是（　　）    A．下面物块的回复力是弹簧的弹力 B．上面物块在运动过程中所受摩擦力不变 C．整体做简谐运动的振幅会变小 D．在平衡位置两物块间摩擦力为0 【答案】D 【详解】A．下面物块的回复力是弹簧的弹力和摩擦力的合力，故A错误； B．把两物块看成一个整体有 对上面物体有 联立解得上面物块在运动过程中所受摩擦力 由此可知上面物块在运动过程中所受摩擦力随着振动的位移做周期性变化，故B错误； C．弹簧振子的总机械能在放上另一物块后并未发生变化，振动过程中系统机械能守恒，而弹簧振子的总机械能与振幅的平方成正比，所以振幅不变，故C错误； D．由上分析可知在平衡位置时振子的加速度为零，所以在平衡位置两物块间摩擦力为0，故D正确。 故选D。 【变式3】．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）关于物体做简谐运动的规律，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动的回复力可以是恒力 B．简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置 C．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小 D．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的 【答案】C 【详解】A．回复力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，故A错误； B．平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置，回复力可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，故B错误； C．做简谐运动的质点，速度增大时，靠近平衡位置，回复力减小，其加速度一定减小，C正确； D．做简谐运动的质点先后通过同一点，速度的方向有可能是相反的，但回复力、加速度、位移都是相同的，故D错误。 故选C。 题型二：简谐运动的能量 【典例2】．（24-25高二上·河北邯郸·期中）简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式，回复力和能量，下列说法正确的是（　　） A．简谐运动位移的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 B．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 C．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 【答案】B 【详解】A．简谐运动位移x的一般函数表达式中，表示圆频率，表示初相位，（）表示相位，A错误； B．在单摆运动中并不是合外力提供回复力，只是沿切线方向上的合力提供回复力，半径方向上的合力提供向心力，B正确； C．振动能量是振动系统的动能和势能的总和，虽然振动能量中动能和势能不断相互转化，但是总和保持不变，C错误； D．简谐运动的回复力与质点偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，大小方向都在改变，D错误。 故选B。 【变式1】．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）两个弹簧振子甲、乙沿水平方向放置，取向右为正方向，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．两弹簧振子具有相同的相位 B．甲的振幅比乙大，所以甲的能量比乙大 C．甲、乙两弹簧振子回复力最大值之比一定为 D．时甲具有负向最大速度，乙具有正向最大位移 【答案】D 【详解】A．由图像可知，甲的周期为4s，乙的周期为8s，两个弹簧振子的周期不同，只是初相位相同，所以相位不同，故A错误； B．由图像可知，甲的振幅为2cm，乙的振幅为1cm，但是两个弹簧振子的劲度系数不确定，所以两个弹簧振子的能量大小无法比较，故B错误； C．弹簧振子的最大回复力为 振幅之比为，但是无法确定两弹簧振子的劲度系数，所以两个弹簧振子回复力的最大值无法比较，故C错误； D．由图像可知，当 时，甲处于平衡位置且向x轴的负向运动，此时的速度最大；乙处于正方向的最大位移处，速度为0，故D正确。 故选D。 【变式2】．（23-24高二下·陕西西安·期末）下列关于弹簧振子做简谐运动时能量变化的说法正确的是（　　） A．小球通过平衡位置时，动能最大，势能为零 B．在任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的 C．振幅越大，机械能越大 D．小球靠近平衡位置运动时，势能会增大 【答案】B 【详解】A．小球通过平衡位置时，速度最大，动能最大，势能最小，如果时竖直悬挂的小球弹簧系统则不为零，故A错误； B．弹簧振子做简谐运动，系统的机械能守恒，即动能与势能之和保持不变，故B正确； C．弹簧振子做简谐运动，机械能跟弹簧劲度系数和振子质量都有关，所以振幅越大，机械能不一定越大，故C错误； D．小球靠近平衡位置运动时，速度增大，动能增大，势能减小，故D错误。 故选B。 【变式3】．（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法不正确的有（　　） A．等于在平衡位置时振子的动能 B．等于在最大位移时弹簧的弹性势能 C．等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和 D．位移越大振动能量也越大 【答案】D 【详解】A．平衡位置时振子的弹性势能为零，故简谐运动时的能量等于在平衡位置时振子的动能，故A正确； B．最大位移时弹簧的动能全部转化为弹性势能，故简谐运动时的能量等于在最大位移时弹簧的弹性势能，故B正确； CD．简谐运动过程中机械能守恒，故简谐运动时的能量等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和，无论位移大小，振动能量不变，故C正确，D错误。 本题选错误项，故选D。 题型三：弹簧振子的物理量分析 【典例3】．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子的振幅为4cm B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功 C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小 D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，振子的振幅为，故A错误； B．振子在运动过程中，只有弹簧弹力做功，由图乙可知，从1s至3s振子的位移大小先减小后增大，则振子的速度先增大后减小，即振子的动能先增大后减小，所以弹簧弹力先做正功后做负功，故B错误； C．3s至4s振子位移为正且在减小，所以振子从B点向O振动，速度增大，加速度减小，故C错误； D．2s至3s振子位移为正且在增大，所以振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大，故D正确。 故选D。 【变式1】．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　） A．振子的运动周期是0.2s B．时，振子位于M点 C．时，振子具有最小速度 D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小 【答案】A 【详解】A．因，可知振子的运动周期是，故A正确； B．由，可知时，，即振子位于N点，故B错误； C．由可知s时，，此时振子在O点，振子速度最大，故C错误； D．从M→O，形变量减小，振子加速度减小，弹力做正功，振子的动能增加，故D错误。 故选A。 【变式2】．（2025·贵州·模拟预测）如图甲所示，弹簧振子在光滑水平地面上M、N两点之间做简谐运动，规定O点为平衡位置，以向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．0.4s~0.8s内，振子向正方向运动 B．时和时振子的速度相同 C．时和时振子的势能不同 D．时振子的动能大于时的动能 【答案】D 【详解】A．图像的斜率代表速度，0.4s~0.8s内，振子向负方向运动，故A错误； B．时和时振子的速度大小相等但方向相反，速度不同，故B错误； C．时和时振子的位移大小相等，根据对称性可知，势能相同，故C错误； D．振子在时比时更靠近平衡位置，速度更大，所以时振子的动能大于时振子的动能，故D正确。 故选D。 【变式3】．（24-25高二下·河南·期中）如图甲所示，一水平弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，以向右为x轴正方向，振子的振动图像如图乙所示，已知时振子的回复力大小为，下列说法正确的是（　　） A．时振子的速度最大，加速度最小 B．该弹簧振子的劲度系数为 C．内振子的弹性势能先减小后增大 D．振子在内通过的路程为 【答案】B 【详解】A．时振子位移最大，则速度为零，加速度最大，故A错误； B．根据胡克定律可知，劲度系数，故B正确； C．内振子的位移先增大后减小，故弹性势能先增大后减小，故C错误； D．由图可知周期为2s，则内振子通过的路程为，故D错误。 故选B。 题型四：根据振动图像判断振子的运动状态和受力 【典例4】．（25-26高二上·河南·月考）一质点做简谐运动的加速度随时间变化的规律如图所示，下列说法正确的是（　　） A．质点振动的周期为6s B．时间内，质点振动的位移均沿负方向 C．时刻，质点的速度最小 D．时间内，振动系统的机械能减小 【答案】C 【详解】A．由图可知，质点振动的周期为4s，故A错误； B．0~1s时间内，质点的加速度沿负方向，即简谐运动的回复力沿负方向，根据可知，质点振动的位移均沿正方向，故B错误； C．时刻，质点的加速度正向，即简谐运动的回复力沿正方向最大，则质点位于负向最大位移处，此时质点的速度最小，故C正确； D．简谐运动过程中，只有弹簧的弹力做功，所以振动系统的机械能守恒，即时间内，振动系统的机械能不变，故D错误。 故选C。 【变式1】．（25-26高三上·山东日照·月考）如图甲所示，在拉力传感器的下端竖直悬挂一个弹簧振子，拉力传感器可以实时测量弹簧弹力大小。图乙是小球简谐运动时传感器示数随时间变化的图像。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为0.8kg，振动的周期为8s B．0~2s内，小球受回复力的冲量大小为0 C．3s~4s和4s~5s内，小球受弹力的冲量相同 D．1s~3s内，小球受弹力的冲量大小为16N·s，方向向上 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，t=1s时，弹簧弹力最大，为16N，小球位于最低点；t=3s时，弹簧弹力最小，为零，小球位于最高点。由对称性可知，小球振动的周期为4s，小球位于平衡位置时，弹力为 解得，故A错误； B．小球受到的合外力提供回复力，0~2s内，小球初速度和末速度不为零且大小相等，而方向相反，则速度变化量不为零，根据动量定理可知回复力的冲量大小不为0，故B错误； C．3s~4s和4s~5s内，平均弹力大小不同，小球受弹力的冲量不同，故C错误； D．1s~3s内，由动量定理得 解得，方向向上，故D正确。 故选D。 【变式2】．（24-25高二下·广东佛山·期末）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球在O点时弹簧处于原长状态 B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大 C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动 D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反 【答案】C 【详解】A．O点为静止时小球的位置，小球在O点时弹簧处于伸长状态，故A错误； B．t=0.2s时，弹簧振子处于下方振幅处，可知加速度为负向最大，故B错； C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子的位移减小、速度变大、加速度减小，所以，振子做加速度减小的变加速直线运动，故C正确; D．根据图乙可知，在t=0.1s与t=0.7s时弹簧振子的速度大小相等、方向相同，故D错误。 故选C。 【变式3】．（24-25高二下·浙江·期中）如图甲所示，一轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧上端连接物块，将物块缓慢向下压，松手后，物块在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），则（　　） A．时，物块的速度和加速度方向相反 B．物块振动周期为，振幅为 C．时间内，速度和加速度都减小 D．时，物块的位移为 【答案】A 【详解】A．由图像可知，时，物块的速度方向向上，加速度方向向下，即速度和加速度方向相反，选项A正确； B．由图像可知，物块振动周期为，振幅为，选项B错误； C．时间内，振子从平衡位置向最低点运动，可知速度减小，加速度增加，选项C错误； D．时，物块的位移为 选项D错误。 故选A。 题型五：弹簧振子模型迁移问题 【典例5】．（24-25高一下·湖北·期末）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．箱子与地面碰撞损失的机械能为 【答案】D 【详解】AB．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有 弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点 在最高点 联立解得 而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为3mg，此时加速度最大为2g，故AB错误； C．小球做简谐振动，在平衡位置时有，解得 即弹簧被拉伸时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置下落的高度 而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得 解得，故C错误； D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得 解得箱子损失的机械能，故D正确。 故选D。 【变式1】．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（    ） A．释放瞬间，物块加速度为零 B．物块和木箱最终仍有相对运动 C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零 D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误； B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律 设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律 可得 即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误； C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误； D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。 故选D。 【变式2】．（2025·湖北襄阳·三模）某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压后静止释放，木棒开始在液体中上下振动（不计液体粘滞阻力），其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是（　　） A．时，木棒的重力大于其所受的浮力 B．振动过程中木棒的机械能不守恒 C．开始计时内木棒所经过的路程是 D．木棒的位移函数表达式是 【答案】B 【详解】A．时，木棒在最低点，合力向上，木棒的重力小于其所受的浮力，故A错误； B．由于木棒振动过程中除重力外浮力做功，振动过程中木棒的机械能不守恒，故B正确； C．振幅，由 开始计时内木棒所经过的路程是，故C错误； D．圆频率 振动方程为 由时，解得 木棒的位移函数表达式是，故D错误。 故选B。 【变式3】．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，一根长度为L的光滑水平滑杆固定在两墙壁之间，质量为m的小球套在滑杆上，两根原长为0.6L的弹性绳（可等效成轻弹簧）一端固定在墙上，另一端与小球相连，小球静止在滑杆中央，现给小球向右的初速度，小球将做周期性的往复运动，小球运动过程距滑杆中心位置最大距离为0.2L，且始终未与墙壁碰撞，弹性绳拉伸过程中周期为（m为小球质量，k为弹性绳的劲度系数，弹性势能表达式为，x为形变量），下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动 B．弹性绳的劲度系数为 C．小球运动的周期为 D．改变小球初速度其运动周期不变 【答案】C 【详解】A．小球从中点向一侧运动时，先做匀速运动再做简谐振动，然后再做匀速运动后做简谐振动，整个过程不是简谐振动，故A错误； B．小球先做匀速运动位移为 小球距离中心位置最大距离为，即小球做简谐振动振幅 由能量守恒有 得，故B错误； C．小球整个匀速运动时间 小球做简谐振动周期 小球运动的周期，故C正确； D．改变小球的速度，小球做匀速运动时间变化，做简谐振运动周期不变，小球运动周期发生变化，故D错误。 故选C。 题型六：简谐运动的能量的综合计算问题 【典例6】．（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图所示，劲度系数的竖直轻质弹簧下端固定，上端连接质量的物块，系统处于静止状态。质量的物块从正上方高度处由静止下落。已知弹簧的弹性势能，弹簧振子的周期为弹簧的劲度系数，为振子的质量。不计空气阻力，重力加速度。 (1)若碰后物块粘在一起，求碰撞过程中合力对的冲量； (2)若物块发生弹性碰撞，碰后立即移走物块。求： （1）弹簧的最大压缩量； （2）从碰撞结束至弹簧首次恢复原长的时间。 【答案】(1)，方向竖直向上 (2)（1）；（2） 【详解】（1）设物块碰撞前的速度为，根据 设碰撞后，物块的速度为，根据动量守恒 对物块，设向下为正方向，合力的冲量为，根据动量定理 解得 合力对物块的冲量大小为，方向竖直向上。 （2）（1）设碰撞前弹簧的压缩量为，则 设碰撞后物块速度为，物块速度为，根据动量守恒 根据机械能守恒 设弹簧最大压缩量为，根据机械能守恒定律 解得或（舍） （2）物块碰撞后，以初位置为平衡位置做简谐振动，振幅 根据题意，周期 设物块返回平衡位置所用时间，则 设物块由平衡位置第一次到达弹簧原长所用时间，由 运动时间 解得 【变式1】．（25-26高二上·河南·月考）如图所示，质量分别为mP=0.2kg和mQ=0.1kg可视为质点的小球P和Q用细线相连，P与一端固定的劲度系数k=50N/m的轻弹簧连接，系统静止在倾角为θ=30°的光滑斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，剪断细线。 (1)试证明剪断细线后球P的运动是简谐运动； (2)求P的振幅A及其在最高点受到弹簧的弹力大小。 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）设球P在平衡位置时，弹簧的伸长量为x0，有     剪断细线后，设P离开平衡位置的位移为x，取沿斜面向下为正方向，则 弹簧的拉力     球P沿斜面方向受到的合力     所以球P的运动是简谐运动 （2）球P在平衡位置时，弹簧的伸长量 代入数据得     剪断细线时，弹簧的伸长量为x1，有 代入数据得 P的振幅 P在最高点弹簧的形变量 则弹簧被压缩1cm，所以球P所受弹力 【变式2】．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子，已知振子滑块的质量m=0.1kg，弹簧劲度系数为k=32N/m，将振子滑块从平衡位置O向左移4cm，由静止释放后在B、C间运动，设系统在B处时具有的弹性势能为5J，问： (1)滑块的加速度的最大值am为多少？ (2)求滑块的最大速度vm (3)滑块完成5次全振动时走过的路程s 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在B点加速度最大，由 可得 （2）系统的机械能守恒 得 （3）滑块完成5次全振动时走过的路程 【变式3】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，轻质弹簧的上端固定在水平天花板上，下端悬挂一个质量为m，带电量为+q的小物块，最初物块静止。某时刻在空间中平行于纸面向上的方向加一个匀强电场，场强大小满足关系Eq=0.5mg（g为重力加速度），加电场后物块开始运动。当物块的速度为零时，将匀强电场反向但大小保持不变；当物块的速度再次为零时，又将匀强电场反向但大小保持不变，如此反复，第五次改变电场强度后保持场强不变。最终物块在竖直方向上做机械振动。已知整个过程中弹簧始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，且弹性势能满足关系Ep=0.5kx²（x为弹簧的形变量），求 (1)电场第二次改变方向时，弹簧的形变量； (2)最终物块做机械振动时，动能的最大值； (3)最终物块做机械振动的振幅 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）初始静止时弹簧伸长量 加向上电场后物块向上运动到物块的速度为零时，设此过程中物块上升，由动能定理有 解得 此时弹簧形变量为零，弹簧处于原长状态。弹簧处于原长状态时电场第一次改变方向，当物块的速度再次为零时，设弹簧伸长量为，由动能定理有 解得 电场第二次改变方向，加向上电场后物块向上运动到物块的速度为零时，设此过程中物块上升，由动能定理有 解得 （2）根据A、B项计算结果可知第一次加电场后，物块做机械振动的振幅为 第一次改变电场方向后，物块做机械振动的振幅为 第二次改变电场方向后，物块做机械振动的振幅为 由此可知每改变一次电场方向物块做机械振动的振幅增加 那么第五次改变电场强度后物块做机械振动的振幅为 第五次改变电场强度后，电场强度方向向下保持不变，物块做机械振动时，物块运动到平衡位置时动能最大，物块在平衡位置时弹簧伸长量为，由受力分析弹簧伸长量 物块从最低点运动到平衡位置过程中，由动能定理得 解得 （3）根据（2）分析可知最终物块做机械振动的振幅 一、单选题 1．（25-26高二上·河南商丘·月考）如图所示，劲度系数的轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂着质量的小球M，M的下端用细线连接质量的小球N。现剪断细线，M沿竖直方向振动，重力加速度g取，则M的最大回复力F及其振动的振幅A分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】系统静止时弹簧的弹力 剪断细线，M由静止向上运动，最大回复力 M运动的平衡位置时，有 振动的振幅 故选A。 2．（25-26高二上·浙江宁波·月考）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的MN之间做往复振动，振幅为A，周期为T，O为平衡位置，P0为ON的中点，下列说法正确的是（　　） A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 B．弹簧振子每经过时间，通过的距离均为A C．振子由O运动至P0，所用的时间为 D．振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小 【答案】D 【详解】A．弹簧振子受重力、支持力、弹簧弹力的作用，回复力是效果力，由其他力提供，故A错误； B．弹簧振子每经过时间，通过的距离不一定为A，可能为0，故B错误； C．由简谐振动位移关系式有 当时，有， 解得，故C错误； D．由简谐振动的回复力公式，则振子由N向O运动过程中，回复力和位移逐渐减小，故D正确。 故选D。 3．（25-26高二上·江苏连云港·期末）如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（    ） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 【答案】B 【详解】AB．A、B静止时，根据平衡条件可得 解得 振幅最大的位置，回复力最大，加速度最大，形变量最大，设为，对整体，由牛顿第二定律得 对磁铁B，由牛顿第二定律得 解得， A、B做简谐运动的最大振幅为，故A错误，B正确； C．铁块A在最高点时，根据简谐运动的对称性可知，磁铁B的加速度为，方向竖直向下，对磁铁B，由牛顿第二定律得 解得，故C错误； D．铁块A从最低点运动到最高点的竖直高度差为 其重力势能的变化量为，故D错误。 故选B。 4．（25-26高二上·江苏连云港·期末）如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（    ） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．内，木筷的机械能减小 D．内，木筷的路程为 【答案】C 【详解】A．木筷振动周期为，故A错误； B．木筷的回复力由浮力和重力的合力提供，故B错误； C．由题意可知，内，木筷向下运动，浮力做负功，所以木筷的机械能减小，故C正确； D．时，木筷的位移为 时，木筷的位移为 则内，木筷的路程为，故D错误。 故选C。 5．（25-26高三上·江西·月考）图甲为水平弹簧振子（弹簧质量忽略不计），弹簧左端连接在力传感器上，弹簧振子做简谐运动后，力传感器显示弹簧的弹力大小F随时间t变化规律如图乙所示，弹簧的劲度系数为，则弹簧振子做简谐运动时，下列说法正确的是（　　） A．振幅为 B．周期为 C．时，振子的速度为零 D．时，振子的动能为零 【答案】D 【详解】A．由题可知，弹簧的弹力大小最大为20N，可知弹簧振子的振幅，故A错误； B．由图可得振动周期为，故B错误； C．时，弹力为零，回复力为零，可知振子在平衡位置，速度最大，故C错误； D．时，振子离平衡位置最远，此时弹性势能最大，动能最小为零，故D正确。 故选D。 6．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，小球处于平衡位置 B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s² C．0-2s内，弹力对小球做的功为0 D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4 【答案】D 【详解】A． t=0时，弹簧弹力最大；小球处于平衡位置时弹簧弹力的大小与小球的重力相等，故A错误； B．弹簧与小球组成的系统，静止时弹簧处于伸长状态，伸长量为x，此时弹簧弹力等于小球重力，根据题中信息可知，小球运动到最上端时，弹簧的弹力为0，弹簧处于原长，根据弹簧运动的对称性可知，弹簧位于最下端时，弹簧的伸长量为2x，此时弹簧的弹力为4N，因此当弹簧伸长量为x时，弹力大小为2N，此时弹力等于小球的重力，因此小球的质量为 小球在最低点时 解得，故B错误； C．0-2s内，小球从最低点到最高点，弹力对小球做的功不为0，故C错误； D．根据动量定理可知，外力的冲量之和等于动量的变化量，即 零时刻小球位于最低点，速度为零，第2s末时刻小球位于最高点，速度也是零，因此可知 所以弹簧弹力的冲量大小是，故D正确。 故选D。 7．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期末）如题图所示，足够大的光滑水平桌面上，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端，另一端与一质量为m的小球A拴接。开始时，小球A用细线跨过光滑的定滑轮连接相同小球B，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球A的位置记为O。现用外力缓慢推小球A至弹簧原长后释放，在小球A向右运动至最远点时细线断裂。已知弹簧振子的振动周期（其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数），弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球B距下方地面足够远，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。则细线断裂后（　　） A．小球A做简谐振动的振幅为 B．小球A第一次向右运动至最远点时到O点的距离为 C．小球A返回O点时速度大小为 D．从细线断裂开始计时，小球A第一次返回O点所用的时间为 【答案】C 【详解】B．当小球静止于O位置时，此时弹簧弹力等于B球重力，伸长量 之后用外力推至原长位置，设释放后A运动到最远点，此时 此过程中A、B和弹簧机械能守恒 可解得 即小球A第一次向右运动至最远时离O点的距离为，故B错误； A．之后细线断掉，小球在做简谐运动的平衡位置即弹簧原长位置，故振幅为，故A错误； C．从最远点返回O点，由机械能守恒，得，故C正确； D．从细线断裂到第一次返回O点。即对应简谐运动从最大位移处运动到一半振幅处，时间应为，故D错误。 故选C。 二、多选题 8．（25-26高二下·安徽六安·开学考试）如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上的A、B两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知，，下列说法正确的是（　　） A． B．振子在点的动能等于在点的动能 C．振子在点的加速度大于在点的加速度 D．振子在点的弹性势能小于在点的弹性势能 【答案】AC 【详解】A．设弹簧振子做简谐运动的周期为，可知振子从到所用时间为，由题意可知 设振子振幅为A，以向右通过平衡位置O点为时刻，则其简谐运动的表达式为 代入 当振子通过D点时，所对应时刻满足 解得 因此振子从D运动到B所用时间为 振子从C运动到D所用时间为，故A正确； B．根据简谐运动的对称性可知，振子偏离平衡位置相同距离，对应速度大小相等；振子离平衡位置越远，速度越小。由图可知与点相比，点离平衡位置更远，因此振子在点时的速度较小，动能较小，故B错误； C．与点相比，点离平衡位置更远，受到的弹簧的回复力更大，因此振子在点的加速度大小大于在点的加速度大小，故C正确； D．弹性势能与弹簧的形变有关，因点离平衡位置更远，可知振子在点的弹性势能大于在点的弹性势能，故D错误。 故选AC。 9．（25-26高二上·广西桂林·期末）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的之间做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．小球运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用 C．小球由向运动过程中，动能逐渐减小 D．小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向 【答案】AC 【详解】AB．小球运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，其中弹簧弹力充当回复力，故A正确，B错误； C．小球由向运动过程中，弹簧弹力做负功，弹簧弹性势能增加，小球动能减小，故C正确； D．回复力方向总是指向平衡位置，所以小球由向运动过程中，回复力的方向一直为由指向，故D错误。 故选AC。 10．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）一质点作简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图。下列说法正确的是（　　） A．振幅为4cm B．第2s末到第3s末这段时间内，质点的加速度减小，方向沿x负方向 C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的速度减小，方向沿x正方向 D．质点的振动方程为 【答案】CD 【详解】A．由题图可知，质点的振幅为2cm，故A错误； B．第2s末到第3s末这段时间内，位移为负方向减小，根据可知，回复力为正方向减小，所以质点的加速度减小，方向沿x正方向，故B错误； C．第3s末到第4s末这段时间内，质点的位移沿x正方向增大，所以质点的速度减小，方向沿x正方向，故C正确； D．由题图可知，周期为 该质点振动的角频率为 振动方程为，故D正确。 故选CD。 11．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）一弹簧振子中的小球做简谐运动的x-t关系为。下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，小球的振幅是3cm B．t=0时刻，小球的动能最小 C．时刻，小球受到的回复力最大，位移负方向最大 D．时刻，弹簧的弹性势能最小，小球的动能最大 【答案】BC 【详解】A．振幅是标量，根据小球做简谐运动的x-t关系，可知振幅为3cm，故A错误； B．t=0时刻，代入解得此时位移为，为正方向位移最大，速度为零，动能最小，故B正确； CD．时刻，代入解得此时位移为，位移负方向最大，速度为零，动能最小，弹性势能最大，根据可知此时小球受到的回复力最大。 故C正确，D错误。 故选BC。 12．（23-24高一下·河北雄安·期末）竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端与质量为的物体a拴接。质量也为的物体b叠放在a上并处于静止状态。现在b上施加竖直向下的压力。使a、b两物体再次处于静止状态，如图所示。a、b均可看作质点，运动中不考虑空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．如果，撤去瞬间，物体a对物体b的支持力为 B．如果，撤去后，物体a、b能一起做简谐振动 C．如果，撤去后，b物体运动的最大加速度为 D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中机械能始终守恒 【答案】BCD 【详解】A．如果，撤去前，弹簧弹力为 撤去瞬间，弹簧弹力不变，整体分析有 对物体b有 解得，，故A错误； B．由A分析可知，如果，撤去后，物体a、b的加速度小于g，则a、b间弹力，物体a、b能一起做简谐振动，故B正确； C．如果，撤去前，弹簧弹力为 撤去瞬间，弹簧弹力不变，整体分析有 解得，则b物体运动的最大加速度为，故C正确； D．撤去后，a、b两物体与弹簧系统在之后的运动过程中只有系统内部弹力和重力做功，机械能始终守恒，故D正确； 故选BCD。 13．（2025·重庆北碚·模拟预测）物理实验室研究物体在弹簧弹力作用下的运动规律。如图甲所示，弹簧竖直放置，下端固定在地面上，当弹簧处于自然长度时，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，测出物体的速度与弹簧长度l的关系如图乙，图线与横轴交点坐标为已知薄板与弹簧的质量可忽略，盒子的质量为，弹簧一直处在弹性限度内，重力加速度大小为，空气阻力不计，则（　　） A．盒子做匀变速直线运动 B．当弹簧长度为时，盒子的加速度大小等于 C．弹簧的劲度系数为 D．盒子的最大速度为 【答案】BCD 【详解】A．盒子在运动过程中受到重力和弹簧的弹力，弹簧的弹力不断变化，其合力不断变化，加速度不断变化，所以盒子做的是非匀变速直线运动，故A错误； BCD．根据题意可知，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，盒子将做简谐运动，开始弹簧处于自然长度，弹簧的弹力为0，只受重力，则盒子的加速度大小等于，之后盒子开始压缩弹簧，盒子速度先增大，当弹力等于重力时，盒子的速度最大，之后开始减速，运动到最低点时，速度为0，弹簧长度最短，结合图像可知，弹簧原长为，当弹簧长度为时，盒子运动到最低点，由对称性可知，此时盒子的加速度大小等于，方向向上，由牛顿第二定律有 解得 当盒子速度最大时，弹簧弹力等于重力，此时弹簧的形变量为 由能量守恒定律有 解得，故BCD正确。 故选BCD。 三、解答题 14．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示是一个质点做简谐运动的图像，求： (1)质点振动的振幅； (2)写出此振动质点的运动表达式； (3)振动质点在的时间内通过的路程； (4)振动质点在这段时间内速度和加速度是怎样变化的？ 【答案】(1)质点振动的振幅为 (2) (3) (4)其速度是越来越小的,而加速度越来越大 【详解】（1）由振动图像可以看出，质点振动的振幅为，即为质点离开平衡位置的最大距离。 （2）由此质点的振动图像可知，，， 所以 （3）在的时间内质点通过的路程为 （4）由振动图像可以看出，在这段时间，其速度是越来越小的，而加速度越来越大。 15．（24-25高二下·河北张家口·期中）如图甲所示的弹簧振子沿竖直方向做简谐运动。从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，得到弹簧对小球的弹力F与运动时间t的关系图像如图乙所示，若重力加速度为g，弹簧振子的振幅为A，图像的坐标值为已知量，求： (1)小球的质量； (2)从计时开始，弹簧振子的振动方程； (3)从计时开始到13t0时，小球运动的路程。 【答案】(1) (2)或 (3)39A 【详解】（1）小球做简谐运动，利用对称性，根据牛顿第二定律，小球在最高点有     小球在最低点有     解得 （2）利用简谐运动的对称性，由题图乙可知 解得 t=0时刻小球所受弹力最大，方向竖直向上，所以小球处于最低点，则弹簧振子的振动方程为 也可表示为 （3）结合上述可知     则小球的路程为s=9×4A+3A=39A 16．（2025·山东菏泽·二模）粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向为正方向。 (1)证明木筷做简谐运动； (2)已知简谐运动的周期，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）木筷静止在水中时，设木筷在水中部分的长度为，有 木筷在静止位置上方x处时，以竖直向上为正方向，合外力为 联立两式得 故木筷做简谐运动。 （2）木筷放手后做简谐运动，有 又 其中 整理可知放手后木筷位移随时间变化的关系式为。 17．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）如图所示，质量均为的物块C和B由轻质弹簧相连，初始时C、B均静止，现将C缓慢下压一段距离后释放，C在竖直方向上做简谐运动，振动过程中，B恰好不能离开水平面。弹簧的劲度系数，运动过程中弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小。 (1)求C做简谐运动的振幅A； (2)已知弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能，求C在运动过程中的最大速度； (3)已知C做简谐运动的周期，以竖直向上为正方向，求C从负向位移最大处运动到弹簧恢复原长所用的最短时间。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设C位于平衡位置时，弹簧的压缩量为，根据受力平衡有 设C位于最高点时，弹簧的伸长量为，此时B恰好不能离开水平面，则有 C做简谐运动的振幅 解得 （2）C经过平衡位置时速度最大，根据功能关系有  ，解得 （3）C做简谐运动的周期  ，C的圆频率 则从C经过负向位移最大处开始计时，C的振动方程可表示为 弹簧恢复原长时有   解得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $