第2.1节 简谐运动（高效培优·讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理简谐运动核心知识点，从机械振动的定义及往复性特征切入，通过弹簧振子模型（含理想化条件、平衡位置、位移分析）的构建，结合位移-时间图像，系统过渡到简谐运动的定义、特征（F=-kx）及对称性规律，形成递进式学习支架。 资料以目标导航强化物理观念，通过避坑指南和深化点拨培养科学思维（如弹簧振子模型建构、简谐运动图像分析），配套知识导图、真题闯关及分层练习。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过精准练习查漏补缺，提升对简谐运动规律的理解与应用能力。

第2.1节 简谐运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 弹簧振子 考点02 简谐运动 03 避坑指南·解题通法 角度01 弹簧振子模型 角度02 弹簧振子的位移—时间图像 角度03 简谐运动的定义及特征 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.知道机械振动的定义，识别往复运动特征 2.理解弹簧振子模型，掌握理想化条件 3.依据位移随时间变化规律判定简谐运动 1.简谐运动核心判定：位移与回复力满足（F=-kx）关系 2.弹簧振子忽略弹簧质量、不计空气阻力 3.振动位移以平衡位置为起点，区别于路程 知识导图 考点01 弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来静止时的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为0。 （2）经过平衡位置时，小球速度最快。 4、弹簧振子的位移 （1）振子在某时刻的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在某段时间内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 （3）振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置；如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如右图所示． 5、弹簧振子的位移—时间图像 （1）用横坐标表示振子运动的时间（t），纵坐标表示振子离开平衡位置的位移（x），描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 （2）图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是振子的运动轨迹。 6、弹簧振子的位移—时间图像的应用 （1）任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示；如图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4。 （2）速度跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反；如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零。 【深化点拨】 1．实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 2．弹簧振子的解题思路点拨 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 1．关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 【答案】A 【详解】A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型，故A正确； BC．弹簧的质量需要很轻，小球的质量远大于弹簧的质量，故BC错误； D．弹簧和小球组成的系统机械能守恒，故D错误。 故选A。 2．（多选）关于在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．振子通过同一位置时，速度一定相同 B．振子通过同一位置时，加速度一定相同 C．振子在水平方向受到弹力和回复力作用 D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置 【答案】BD 【详解】A．振子通过同一位置时，速度大小相同，方向不一定相同，故A错误； B．振子通过同一位置时，位移相同，回复力相同，加速度一定相同，故B正确； C．弹簧振子做简谐运动，合力总是指向平衡位置，又称回复力，回复力是按照力的作用效果命名的，故C错误； D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置，故D正确。 故选BD。 考点02 简谐运动 1、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。 2、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的位移随时间的变化规律。 （2）简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 3、简谐运动图象应用 （1）任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 （2）任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向上振动。图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b此刻向上振动。 （3）斜率：该时刻速度的大小和方向。 4、简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 5、简谐运动的规律 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 【深化点拨】 1．判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 2．简谐运动的位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。 1．关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】C 【详解】A．简谐运动受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误； B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误； C．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确； D．根据可知加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，D错误。 故选C。 2．（多选）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．物体所受的回复力终指向平衡位置，方向不变 B．如果物体的速度越来越大，加速度一定越来越小 C．在恒力作用下，物体不可能做简谐运动 D．物体的加速度方向和速度方向有时相同有时相反 【答案】BD 【详解】A．物体所受的回复力终指向平衡位置，方向不断在变化，A错误； B．如果物体的速度越来越大，说明在靠近平衡位置，位移越来越小，加速度一定越来越小，B正确； C．在恒力作用下，物体可能做简运动，比如竖直方向的弹簧振子，受到恒定的重力，C错误； D．在物体靠近平衡位置时，物体的加速度方向和速度方向相同，在物体远离平衡位置时，物体的加速度方向和速度方向相反，D正确。 故选BD。 3．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有________的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置________的大小成________，并且总是指向________________，物体的运动就是简谐运动。 【答案】 位移 正比 平衡位置 【详解】[1]理论上可以证明，如果物体所受的力具有的形式，物体就做简谐运动。 [2][3][4]也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。 简谐运动的综合应用及解题步骤 1.动力学特征：简谐运动是最基本、最简单的机械振动，其核心定义在于受力特点。 （1）定义式：F=−kx。 F是回复力：它是效果力，由物体受到的合外力（或合外力在振动方向的分力）提供，方向永远指向平衡位置。 x 是位移：特指从平衡位置指向物体所在位置的有向线段（注意：不是从出发点开始算的位移）。 “ −”号：表示回复力F的方向与位移x的方向永远相反。 （2）避坑点：做题时看到F=−kx就要条件反射这是简谐运动；反之，判断一个运动是否为简谐运动，就看它是否满足这个受力特征。 2.运动学特征：简谐运动是一种变加速运动，解题时要动态分析各物理量的变化。 （1）两个“极值点”的对比： 平衡位置（ x=0）：回复力 F=0，加速度 a=0，速度 v最大，动能最大，势能最小。 最大位移处（ x=A）：回复力F最大，加速度a最大，速度v=0，动能为0，势能最大。 （2）变化趋势：物体向平衡位置运动时，位移减小，加速度减小，速度增大（“位加小，速大”）；远离平衡位置时反之。 3.图像问题：简谐运动的位移-时间图像是一条正弦（或余弦）曲线，它是解题的重要工具。 （1）读图技巧： 看轴：横轴是时间 t，纵轴是位移x（相对于平衡位置）。 看斜率：x−t图像切线的斜率代表速度v。斜率为正表示速度为正方向，斜率大小表示速度大小。 看凹凸：图像的凹凸性对应加速度方向（或者直接根据 a∝−x判断，位移为正，加速度必为负）。 （2）避坑点：千万不要把x−t图像当成物体的运动轨迹！物体是在一条直线上往复运动，图像只是描述位移随时间的变化。 4.特殊模型辨析：必须“分清”弹簧振子与单摆（虽然都是简谐运动，但不同模型的回复力来源不同）。 （1）弹簧振子： 理想化模型（忽略摩擦、弹簧质量）。 回复力由弹簧弹力（或弹力与重力的合力）提供。 周期公式： （与振幅无关，即等时性）。 （2）单摆（在小角度 θ<5∘下）： 回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供（）。 注意：在最低点（平衡位置），合力不为零（合力提供向心力），但在切线方向合力为零。 周期公式：（单摆的“钟摆”原理）。 角度01 弹簧振子模型 1．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　）    A．位移不断减小 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度减小，弹性势能增大 【答案】D 【详解】振子从O→B运动的过程是远离平衡位置，故位移增大，回复力增大，加速度增大，位移方向与加速度方向相反，速度减小，弹性势能增大。 故选D。 2．（多选）一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（     ） A．若t时刻和时刻振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍 B．若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍 C．若，则在t时刻到时刻的时间内振子的位移可能大于振幅，可能等于振幅，可能小于振幅 D．若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等 【答案】CD 【详解】ABD．根据波时间的周期性，若时刻与时刻质点的振动情况（位移、速度、加速度）都相同，则 若质点的振动情况（位移、速度、加速度）大小相等方向相反，则 所以若t时刻和时刻只有振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则不一定等于T的整数倍；若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则不一定等于的整数倍；若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等，但方向相反，AB错误，D正确； C．由于质点在不同位移处速度不同，越靠近平衡位置速度越大，则若，则在t时刻到时刻的时间内，若质点从平衡位置一侧靠近平衡位置的位置向另一侧运动，该段时间内的过程位移大小可能大于振幅；若质点从平衡位置开始或者从最高点（最低点）开始振动，则位移等于振幅；若质点从距离平衡位置的某点向远离平衡位置振动，则振子的位移小于振幅，所以C正确。 故选CD。 3．如图所示，一个弹簧振子沿x轴在B、O、C间做简谐运动，O为平衡位置，当振子从B点向O点向右运动过程中，弹簧振子的速度在________，弹簧振子的加速度为________（填“增加”“减少”或“不变”）。 【答案】 增加 减少 【详解】[1] 振子从B点向O点向右运动过程中，弹簧的弹性势能减少，振子的动能增加，速度增加； [2]振子的加速度 随着向O点靠近，位移x在减小，振子的加速度减少。 角度02 弹簧振子的位移—时间图像 4．如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．向右为正方向，时刻，小球在右方最大位移处，位移是正向最大，A错误； B．由 可知振子的加速度随位移变化的图像为斜向下的直线，B正确； C．小球运动过程中，合力 可知振子的回复力随位移变化的图像为斜向下的直线，C错误； D．小球运动过程中加速度大小不是恒定的，不会做匀变速运动，D错误。 故选B。 5．（多选）如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x­t图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　）    A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 【答案】AC 【详解】AB．振子在A点和B点时的位移最大，由于取向右为正方向，所以振子在A点有正向最大位移，在B点有负向最大位移，则t2时刻振子在A点，t4时刻振子在B点， A正确，B错误； CD．振子的位移是以平衡位置为参考点的，所以在t1～t2和t3～t4时间内振子的位移都在增大， C正确，D错误。 故选AC。 角度03 简谐运动的定义及特征 6．下列关于简谐运动的说法中正确的是（　　） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置所受的合外力为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与加速度方向一定相反 【答案】D 【详解】A．简谐运动中加速度大小和方向变化，所以是变加速运动，A错误； B．做简谐运动的物体在平衡位置所受回复力为零，但合外力不一定为零，例如单摆在平衡位置时合外力不为0，B错误； C．做简谐运动的物体经过同一位置时速度大小一定相同，但方向可能相反，C错误； D．做简谐运动的物体位移方向总是背离平衡位置，而加速度方向总是指向平衡位置，所以位移方向与加速度方向一定相反，D正确。 故选D。 7．如图甲所示，沿竖直方向放置的轻质弹簧将小球a、b连接起来，一根轻质硬杆将小球a固定在天花板上O点处，小球a、b均保持静止，现将小球c通过轻质硬杆固定在小球b的正下方（该过程小球b的位置不变），如图乙所示，之后将小球b、c由静止释放，经过t时间小球b第一次运动到最低点，该过程小球b的位移为x，则（     ） A．释放后小球b做的不是简谐运动 B．释放后小球b做振幅为x的简谐运动 C．释放后小球b做周期大于4t的简谐运动 D．释放后小球b做周期小于4t的简谐运动 【答案】D 【详解】A．设弹簧劲度系数为，总质量。甲图中，静止时弹簧伸长量 乙图中挂上后，系统新平衡位置对应弹簧伸长量 以整体为研究对象，取平衡位置为原点，向下为正方向。弹簧弹力，其中为平衡位置弹簧伸长量，平衡时。合力 合力满足（回复力与位移反向、成正比），因此、整体做简谐运动，故A错误； B．释放位置在平衡位置上方，振幅。题中从释放到最低点的位移为，该位移大小为，故，故B错误； CD．释放点为简谐运动的最大位移处（最高点），从最高点第一次运动到最低点的时间为半个周期，即，可得，故C错误，D正确。 故选D。 8．（多选）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．位移的方向总指向平衡位置 B．加速度方向总和位移方向相反 C．物体运动到平衡位置时所受合外力一定等于零 D．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反 【答案】BD 【详解】A．做简谐运动物体的位移方向总是背离平衡位置，故A错误； B．物体做简谐振动的回复力满足 F=−kx 即加速度的方向总与位移方向相反，故B正确； C．物体振动到平衡位置时回复力为零，但所受合外力不一定等于零，故C错误； D．做简谐运动物体的位移方向总是背离平衡位置，所以当物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反，故D正确。 故选BD。 【例1】（重庆·高考真题）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相平衡的位置，取竖直向上为正方向，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，在平衡位置上方为正向最大位移，之后位移—时间关系图像是余弦曲线。 故选D。 【深化点拨】 （1）考查简谐运动平衡位置判断，试管漂浮时重力和浮力相等的位置就是振动平衡位置。 （2）考查简谐运动初始状态分析，向上提起释放，计时起点位于平衡位置正向最大位移处。 （3）考查简谐运动 x-t 图像识别，根据正方向规定和初始位移，匹配振动图像的起始点形态。 （4）考查浮力充当回复力的简谐运动模型，理解液体浮力变化提供往复运动的回复力。 【变式1-1】某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。O、P、Q是木筷上等间距的各点，静止时O点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则木筷做简谐振动的周期为（　　） A．12s B．4s C．6s D．3s 【答案】D 【详解】O、P、Q是木筷上等间距的各点,令间距为，则振幅 把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，则振动方程 释放时，P点的位移为 解得图像中P点对应的时刻 令再经历时间后P点进入水面下，则有 一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则有 解得 故选D。 【变式1-2】弹簧振子在做简谐运动时（　　） A．加速度大小和位移大小成正比，方向相反 B．加速度大小和位移大小成正比，方向相同 C．速度和位移大小成正比，方向相同 D．速度和位移大小成正比，方向相反 【答案】A 【详解】AB．根据弹簧振子回复力与位移之间的关系 可知，回复力与与位移的大小成正比，但方向相反，而回复力即为弹簧振子振动过程中所受到的合外力，根据牛顿第二定律有 可知，加速度大小和位移大小成正比，方向相反，故A正确，B错误； CD．弹簧振子越靠近平衡位置速度越大，位移越小，速度与位移方向相反，而当弹簧振子远离平衡位置时，速度越小，位移越大，速度与位移方向相同，并且速度与位移并不成正比关系，故CD错误。 故选A。 【变式1-3】（多选）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 【答案】AD 【详解】A．振子受的力指向平衡位置，振子的位移为负值时，受到的力为正值，振子的加速度为正值，故A正确； B．当振子通过平衡位置时，位移为零，速度最大，故B错误； C．振子每次通过平衡位置时，速度大小相等，方向不一定相同，但位移相同，故C错误； D．振子每次通过同一位置时，位移相同，速度大小一样，但速度方向可能相同，也可能不同，故D正确。 故选AD。 ⚡基础速刷 1．下列关于简谐运动的说法正确的是（    ） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置的速度为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与回复力方向必然相反 【答案】D 【详解】A．简谐运动的合外力时刻发生变化，是一种变加速运动，故A错误； B．做简谐运动的物体在平衡位置的速度最大，不为0，故B错误； C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度大小一定相同，速度方向不一定相同，故C错误； D．做简谐运动的物体的位移方向与回复力方向必然相反，故D正确。 故选D。 2．如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（　　）    A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 【答案】D 【详解】AB．物体做简谐运动，O点是平衡位置，所以物体从O点向左运动到A点的过程中，物体做减速运动，弹簧的弹性势能一直增大，故A、B错误； CD．物体从A点运动到O点时，物体做加速运动，经过O点继续向右时，物体做减速运动，所以弹簧的弹性势能先减小后增大，故C错误，D正确。 故选D。 3．如图所示，一个倾斜的弹簧振子从A点释放，点为振动的平衡位置，振子在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（  ） A．振子在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振子运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．弹簧振子在点的弹性势能一定比在A点的弹性势能大 D．从A向运动的过程中，振子的速度和加速度方向始终相同 【答案】C 【详解】A．点为振动的平衡位置，则振子在O点时，振子受到的合外力为零，则弹力沿斜面向上与重力的下滑分力平衡，则弹簧处于伸长状态，弹性势能大于零，选项A错误； B．在振子运动的过程中，由弹簧弹力与重力的分力mgsinθ的合力充当回复力，选项B错误； C．弹簧振子在振动过程中，机械能和弹性势能的总量不变，在AB两点的动能均为零，且在B点时重力势能比A点小，则在B点的弹性势能一定比在A点的弹性势能大，选项C正确； D．从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同；从O向B运动的过程中，振子的速度减小，则速度和加速度方向相反，选项D错误。 故选C。 4．下列关于简谐运动，说法正确的是（　　） A．位移的方向总是指向平衡位置 B．位移总是由平衡位置指向物体所在位置 C．位移的方向总是跟速度的方向相反 D．速度的方向总是跟位移的方向相同 【答案】B 【详解】AB．质点的回复力方向总是指向平衡位置，根据牛顿第二定律分析得知，加速度方向总是指向平衡位置，而位移方向总是离开平衡位置，由平衡位置指向物体所在位置，故A错误，B正确； CD．质点的位移方向总是离开平衡位置，而速度方向有时离开平衡位置，有时靠近平衡位置。所以速度的方向有时跟位移的方向相同，有时跟位移的方向相反，故CD错误。 故选B。 5．（多选）物体做简谐运动的过程中，有两点A、A'关于平衡位置对称，则物体（　　） A．在A点和A'点的位移相同 B．在两点处的速度可能相同 C．在两点处的加速度可能相同 D．在两点处的动能一定相同 【答案】BD 【详解】A．根据简谐运动的特点可知，关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，故A错误； B．关于平衡位置的对称点，物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故B正确； C．关于平衡位置的对称点，物体的加速度大小相等，但方向相反，故C错误； D．由于动能只跟速度的大小有关，与方向无关，而两点处速度大小相等，故动能一定相同，故D正确。 故选BD。 6．（多选）质点以O为平衡位置，在A、B间作简谐振动，以下说法中错误的是(    ) A．质点离开平衡位置O作匀减速运动 B．质点通过O点时，加速度方向发生改变 C．回复力的方向总跟质点的速度方向相反 D．质点在A和B处的加速度为零 【答案】ACD 【详解】A.由做简谐振动质点的回复力F=-kx知，做简谐振动质点的加速度a=-x，则质点离开平衡位置O作变减速运动，故选项A符合题意； B.做简谐振动质点通过平衡位置O点时，位移方向发生改变，而质点的加速度a=-x，则加速度方向发生改变，故选项B不合题意； C.做简谐振动质点的回复力总跟质点的位移方向相反；当质点由端点A、B向平衡位置振动时，回复力的方向跟质点的速度方向相同，故选项C符合题意； D.质点在A和B处位移最大，加速度最大，故选项D符合题意． 🚀能力跃升 7．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 【答案】C 【详解】根据图乙可知，与的函数关系为 物块所受合力为 当时， 令 则有 故物块以处为平衡位置做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知，物块到达处的时间可能为 故选C。 8．如图所示，一水平弹簧振子在P、Q间做简谐运动，振幅为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，则图中表示振子速度v与振动位移x关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据能量守恒 结合数学知识可知，速度与位移的关系是一个椭圆，故选D。 9．质量为的物块与弹簧上端连接，弹簧的下端固定在挡板上，O点是弹簧处于原长状态时上端的位置，物块静止时位于A点。斜面上另外有B、C、D三点，，其中BD段粗糙，其余部分光滑，物块与斜面BD段间的动摩擦因数为，重力加速度为，物块静止在A点时弹簧的弹性势能为E，用外力将物块拉到D点由静止释放，第一次经过O点时的速度大小为，已知弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（    ） A．物块最终在A、B之间做简谐运动 B．物块在D点时的弹性势能为 C．物块运动的全过程中因摩擦产生的热量为 D．物块从D点向下运动到A点的过程中，最大加速度大小为 【答案】B 【详解】D．物块静止在A点时，由平衡条件有 物块从D点向下运动到A点的过程中，在BD段动摩擦因数为，则 即物块在BD段所受的合力等于弹簧的弹力，分析知物块在D点时的合力最大，加速度最大，设为，根据牛顿第二定律可得 联立解得 故D错误； A．物块在BD段上运动时，要克服摩擦力做功，系统的机械能不断减少，系统的平衡位置在A点，设A点沿斜面向下为处的点为E，则最终物块在E、B之间做简谐运动，故A错误； B．设物块在D点时的弹性势能为，从D到O，由能量守恒定律得 根据在BD段动摩擦因数为，则 联立解得 故B正确； C．最终物块在E、B之间做简谐运动，对全过程，运用能量守恒定律得 由于，所以物块位于B点和A点时，弹簧的弹性势能相等，均为E，联立解得，全过程中因摩擦产生的热量为 故C错误。 故选B。 10．（多选）如图，一轻质弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质量m=0.5kg的小球。开始时小球静止于O点，现将小球从O点竖直向下缓慢拉下5cm后由静止释放，小球在竖直方向上做简谐运动。已知弹簧的劲度系数k=100N/m，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的振幅为5cm B．小球运动到最高点时弹簧处于压缩状态 C．小球经过平衡位置O时加速度最大 D．小球振动过程中最大加速度大小为10m/s2 【答案】AD 【详解】A．根据题意，小球从平衡位置竖直向下缓慢拉下5cm后由静止释放，可知小球做简谐运动的振幅为A=5cm，A正确； B．在O点时弹簧的伸长量为 小球运动到最高点时，即从O点向上运动A=5cm 则此时弹簧处于原长，B错误； C．小球经过平衡位置O时处于平衡位置，加速度为零，C错误； D．小球振动过程中在最高点或最低点时加速度最大，因最高点时弹簧处于原长状态，可知最大加速度大小为，D正确。 故选AD。 11．（多选）如图，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，A质量为0.4 kg，B质量为0.8 kg，弹簧的劲度系数k=40 N/m。现将一个质量也为0.4 kg的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为6 N，则（　　） A．物块AC做简谐运动的振幅为0.2 m B．弹簧的最大压缩量为0.4 m C．B对地面的最大压力为26 N D．弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反 【答案】CD 【详解】A．物体B对地面的弹力最小时B受到的支持力最小，此时弹簧对B的作用力为拉力，对B 解得 x1=0.05m 平衡位置 解得 x2=0.2m 所以物块AC做简谐运动的振幅为 故A错误； B．根据对称性可知，弹簧的最大压缩量为 故B错误； C．B对地面的最大压力为 故C正确； D．根据对称性可知，平衡位置在压缩量为0.2m处，所以弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反，故D正确。 故选CD。 🌟思维挑战 12．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘，圆盘处于静止状态。现将质量为m的粘性小球自离圆盘h高处静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动 B．圆盘做简谐运动的振幅为 C．振动过程中圆盘的最大速度为 D．碰后向下运动过程中，小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大 【答案】D 【详解】A．以小球和圆盘组成的系统为研究对象，系统做简谐运动，平衡位置处合外力应为零，而碰后瞬间，系统合外力不为零，A错误； B．上述分析可知，开始的位置不是最大位移处，开始时 球粘在盘子上一起静止的位置满足 所以从开始碰撞到平衡位置距离为 故振幅应大于，B错误； C．小球自h处静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，由动量守恒 由匀变速直线运动，速度位移关系 联立解得 两者碰撞瞬间由牛顿第二定律 即碰后两者做加速度减小的加速运动，当时，速度最大，之后做减速运动到最低点，故振动过程中，圆盘的速度应大于，C错误； D．设小球和圆盘所具有的总能量为E，则由能量守恒可知 因为系统速度读先增大后减小，故小球的动能先增大后减小，所以小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大。D正确。 故选D。 13．某鱼漂的示意图如图所示O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．鱼漂的运动是简谐运动 B．点O过水面时，鱼漂的加速度最大 C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 D．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大 【答案】A 【详解】A．鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德浮力定律可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，故A正确； B．点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，故B错误； C．点M到达水面时，鱼漂达到了向下的最大位移，所受合力方向向上，所以具有向上的加速度，故C错误； D．由简谐运动的特点可知，鱼漂由上往下运动时，速度越来越大，达到最大后则开始减小，故D错误。 故选A。 14．（多选）如图所示，由细线连接的质量相等的A、B两个小球，悬挂在轻质弹簧下端，弹簧的上端固定于天花板。现在A球上施加一个外力，使弹簧恢复至原长后，突然撤去外力并计时，经过时间t，两个小球运动至最低点，此时立刻剪断细线。已知重力加速度为g，简谐运动的周期为（m是做简谐运动物体的质量，k是弹簧的劲度系数），忽略一切阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球A第一次从最低点上升到弹簧原长位置时的时间为t B．剪断细线前，小球A由释放位置到最低点运动的距离为 C．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为3g D．小球A第一次上升到最高点时，小球B的速度为 【答案】BCD 【详解】A．撤去外力后，两个小球的运动可看成简谐振动，初态两个小球的速度为0，为振动的最高点，末态两个小球在最低点，速度也为0，为振动的最低点，故从最高点到最低点经历的时间为半个周期，即 设小球质量为，根据简谐运动的周期公式，有 剪断细线后，弹簧振子只有小球A，周期变为，有 剪断细线后，A单独做简谐运动，周期 则小球A第一次从最低点上升到最高的时间为 根据功能关系可知，剪断细线后原长位置不再是A做简谐运动的最高点，所以小球从最低点到原长的时间小于，故A错误； B．释放位置在弹簧原长（伸长量），A、B整体的平衡位置伸长量，振幅等于，因此最低点伸长量​ 由题意知 整理得 ，即运动距离为，故B正确； C．剪断瞬间，弹簧弹力不变，（向上），小球A受重力向下，根据牛顿第二定律 联立可得，故C正确； D．剪断细线时，小球B在最低点，速度为0，剪断后小球B做自由落体运动。小球A单独做简谐运动，从最低点（最大位移处）第一次到最高点，时间为半个周期 ，小球B自由下落速度，故D正确。 故选BCD。 15．（多选）质点在x轴的[-10m，+10 m]区间内做简谐运动，平衡位置在坐标原点。在一个周期的时间内，对质点做随机观察，则下列说法正确的有（     ） A．观察到质点在[-5 m，+5 m]区间内的概率是 B．观察到质点在[-1 m，9 m]区间内的概率是 C．观察到质点在[-2 m，+m]区间内的概率是 D．观察到质点在[-10 m，0]区间内的概率是 【答案】CD 【详解】A．由振动方程 研究一个周期内即 令 解得满足该条件的ωt范围为、、 对应的总角度跨度为 对应总时间为 因此概率，故A错误； B．若质点处于[−1 m,9 m]，即排除x<−1 m和x>9 m的区域 x>9 m时，10sinωt>9即sinωt>0.9，对应一个周期内的角度区间长度为2arccos0.9； x<−1 m时：10sinωt<−1即sinωt<−0.1，对应一个周期内的角度区间长度为2arccos0.1。 两个区间总对应角度和远大于π，因此质点落在[−1 m，9 m]的总时长小于 概率小于，故B错误； C．将代入运动方程得 在一个周期内，不满足该区间的位置为x<−2和 对应 角度范围为 跨度为 x<−2对应sinωt<−0.2， 角度范围为π+arcsin0.2<ωt<2π−arcsin0.2 跨度为2π−2arcsin0.2 利用三角恒等式可证 因此不满足的总角度跨度同样为π，对应时间为。 满足条件的时间为，概率， 故C正确； D．令−10≤x≤0， 即sinωt≤0，在一个周期内对应的ωt范围为[π,2π]，总角度跨度为π，对应时间为。 因此概率，故D正确。 故选CD 16．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，为一固定挡板，轻质弹簧的一端连接物体，另一端固定在挡板上。物体在上方斜面的某处。用力控制、保持静止，且使弹簧处于自然状态，现同时释放物体、，物体完成一次全振动，经过时间时，和恰好相碰且粘为一体。物体的质量为，物体的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为。求： (1)释放前物体、间的距离； (2)和粘为一体后的最大速度； (3)若和达到物体释放位置上方处时其速度恰好为零，则运动过程中弹簧弹力的最大值与的关系。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，当物体A处于平衡位置时，受力平衡 解得此时弹簧的压缩量为 物体A完成一次全振动时，又回到了最初释放的位置。物体B在这段时间内沿着斜面向下做匀加速直线运动，加速度为 由匀变速直线运动的位移时间关系可得 （2）由匀变速直线运动的速度时间关系可得，物体B下滑到刚与物体A接触时的速度为 物体A和物体B发生碰撞，根据动量守恒定律可得 物体A和物体B粘为一体，此时的平衡位置满足 解得 分析AB整体的运动可知，当AB整体到达平衡位置时，速度最大。从AB粘为一体到平衡位置，由动能定理得 其中 化简可得，最大速度为 （3）根据简谐运动的对称性，由题意可知，运动过程中弹簧弹力的最大值为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2.1节 简谐运动 目录 01 本节导航·目标清单 02 教材精研·内容全解 考点01 弹簧振子 考点02 简谐运动 03 避坑指南·解题通法 角度01 弹簧振子模型 角度02 弹簧振子的位移—时间图像 角度03 简谐运动的定义及特征 04 真题闯关·溯源演练 05 课后三阶·精准练习 目标导航 方法指导 1.知道机械振动的定义，识别往复运动特征 2.理解弹簧振子模型，掌握理想化条件 3.依据位移随时间变化规律判定简谐运动 1.简谐运动核心判定：位移与回复力满足（F=-kx）关系 2.弹簧振子忽略弹簧质量、不计空气阻力 3.振动位移以平衡位置为起点，区别于路程 知识导图 考点01 弹簧振子 1、机械振动：我们把物体或物体的一部分在一个位置附近的 称为机械振动，简称振动。 （1）有一个“中心位置”，也是振动物体静止时的位置。 （2）运动具有往复性。 2、弹簧振子 （1）弹簧振子：我们把 组成的系统称为弹簧振子，有时也简称为振子。 （2）弹簧振子是一种理想模型：①小球看成质点；②不计阻力；③忽略弹簧的质量；④弹簧始终在弹性限度内。 3、平衡位置：振子原来 的位置。 （1）位于平衡位置时，小球所受合力为 。 （2）经过平衡位置时，小球速度 。 4、弹簧振子的位移 （1）振子在 的位移：从平衡位置指向振子在该时刻位置的有向线段；若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正，则它在平衡位置左侧时位移为负。 （2）振子在 内的位移：由初位置指向末位置的有向线段。 （3）振子在某时刻的位移与在某段时间内的位移的区别：振子在某时刻的位移方向总是背离平衡位置；如图所示，振子在AA′之间振动，O为平衡位置，t1时刻振子在M点的位移为xM，t2时刻振子在N点的位移为xN，而振子在Δt＝t2－t1时间内的位移为xMN，方向如右图所示． 5、弹簧振子的位移—时间图像 （1）用横坐标表示振子运动的时间（t），纵坐标表示振子离开 的位移（x），描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图所示。 （2）图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它 振子的运动轨迹。 6、弹簧振子的位移—时间图像的应用 （1）任一时刻质点离开平衡位置的位移：某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示；如图所示，在t1时刻振子的位移为x1；t4时刻振子的位移为－x4。 （2）速度跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正、负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反；如图所示，在x坐标轴上，设O点为平衡位置，A、B为位移最大处，则在O点速度最大，在A、B两点速度为零。 【深化点拨】 1．实际物体看作弹簧振子的四个条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。 （2）构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。 （3）忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。 （4）小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。 2．弹簧振子的解题思路点拨 （1）弹簧振子的平衡位置不一定在弹簧的原长位置，比如弹簧振子竖直放置的时候，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，钢球便上下振动，其振动的平衡位置不在弹簧的原长位置，而是在弹力与重力的合力为零的位置。 （2）速度和位移是彼此独立的两个物理量，如振动物体通过同一个位置，其位移的方向是一定的，而其速度方向却有两种可能（两个“端点”除外）：指向或背离平衡位置，且振子在两“端点”速度改变方向)。 （3）弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大。 1．关于弹簧振子，以下说法正确的是（　　） A．弹簧振子是研究机械振动的物理模型 B．小球的质量远小于弹簧的质量 C．弹簧的质量不需要很轻 D．弹簧和小球组成的系统机械能不守恒 2．（多选）关于在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法正确的是（　　） A．振子通过同一位置时，速度一定相同 B．振子通过同一位置时，加速度一定相同 C．振子在水平方向受到弹力和回复力作用 D．振子在运动过程中，回复力的方向始终指向平衡位置 考点02 简谐运动 1、简谐运动定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x−t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是 。 2、简谐运动的图像：表示一个振子不同时刻所在的位置或者一个振子位移随时间的变化规律。 （1）描述振动物体的 的变化规律。 （2）简谐运动的图像是 ，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的 大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势。 3、简谐运动图象应用 （1）任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。 （2）任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a点此刻向上振动。图乙中b点,下一时刻离平衡位置更近,故b此刻向上振动。 （3）斜率：该时刻速度的大小和方向。 4、简谐运动的对称性 如图所示，物体在A与B间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则有： （1）时间的对称：tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO，tDB＝tBD＝tAC＝tCA。 （2）速度的对称: ①物体连续两次经过同一点（如D点）的速度大小相等，方向相反。 ②物体经过关于O点对称的两点（如C与D两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 （3）位移和加速度的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移和加速度均相同。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移与加速度均大小相等，方向相反。 （4）动能、势能、机械能的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)时的动能、势能、机械能均相等。 ②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时的动能、势能、机械能均相等。 5、简谐运动的规律 O→B B→O O→A A→O 时间 0→t1 t1→t2 t2→t3 t3→t4 速度v 减小 增大 减小 增大 速度方向 向右（正） 向左（负） 向左（负） 向右（正） 加速度a 增大 减小 增大 减小 加速度方向 向左（负） 向左（负） 向右（正） 向右（正） 路程 A A A A 位移 增大 减小 增大 减小 位移的正负 正 正 负 负 【深化点拨】 1．判断一个振动为简谐运动的方法 （1）通过对位移的分析，列出位移—时间表达式，利用位移—时间图像是否满足正弦规律来判断。 （2）对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受的回复力是否满足F=-kx 进行判断。 （3）根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征a=-x是进行判断。 2．简谐运动的位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。 1．关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 2．（多选）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．物体所受的回复力终指向平衡位置，方向不变 B．如果物体的速度越来越大，加速度一定越来越小 C．在恒力作用下，物体不可能做简谐运动 D．物体的加速度方向和速度方向有时相同有时相反 3．简谐运动 理论上可以证明，如果物体所受的力具有________的形式，物体就做简谐运动。也就是说：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置________的大小成________，并且总是指向________________，物体的运动就是简谐运动。 简谐运动的综合应用及解题步骤 1.动力学特征：简谐运动是最基本、最简单的机械振动，其核心定义在于受力特点。 （1）定义式：F=−kx。 F是回复力：它是效果力，由物体受到的合外力（或合外力在振动方向的分力）提供，方向永远指向平衡位置。 x 是位移：特指从平衡位置指向物体所在位置的有向线段（注意：不是从出发点开始算的位移）。 “ −”号：表示回复力F的方向与位移x的方向永远相反。 （2）避坑点：做题时看到F=−kx就要条件反射这是简谐运动；反之，判断一个运动是否为简谐运动，就看它是否满足这个受力特征。 2.运动学特征：简谐运动是一种变加速运动，解题时要动态分析各物理量的变化。 （1）两个“极值点”的对比： 平衡位置（ x=0）：回复力 F=0，加速度 a=0，速度 v最大，动能最大，势能最小。 最大位移处（ x=A）：回复力F最大，加速度a最大，速度v=0，动能为0，势能最大。 （2）变化趋势：物体向平衡位置运动时，位移减小，加速度减小，速度增大（“位加小，速大”）；远离平衡位置时反之。 3.图像问题：简谐运动的位移-时间图像是一条正弦（或余弦）曲线，它是解题的重要工具。 （1）读图技巧： 看轴：横轴是时间 t，纵轴是位移x（相对于平衡位置）。 看斜率：x−t图像切线的斜率代表速度v。斜率为正表示速度为正方向，斜率大小表示速度大小。 看凹凸：图像的凹凸性对应加速度方向（或者直接根据 a∝−x判断，位移为正，加速度必为负）。 （2）避坑点：千万不要把x−t图像当成物体的运动轨迹！物体是在一条直线上往复运动，图像只是描述位移随时间的变化。 4.特殊模型辨析：必须“分清”弹簧振子与单摆（虽然都是简谐运动，但不同模型的回复力来源不同）。 （1）弹簧振子： 理想化模型（忽略摩擦、弹簧质量）。 回复力由弹簧弹力（或弹力与重力的合力）提供。 周期公式： （与振幅无关，即等时性）。 （2）单摆（在小角度 θ<5∘下）： 回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供（）。 注意：在最低点（平衡位置），合力不为零（合力提供向心力），但在切线方向合力为零。 周期公式：（单摆的“钟摆”原理）。 角度01 弹簧振子模型 1．如图所示，光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，取向左为正方向，则振子从O点运动到B点的过程中（　　）    A．位移不断减小 B．加速度不断减小 C．位移方向与加速度方向始终相同 D．速度减小，弹性势能增大 2．（多选）一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是（     ） A．若t时刻和时刻振子对平衡位置的位移大小相等，方向相同，则一定等于T的整数倍 B．若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则一定等于的整数倍 C．若，则在t时刻到时刻的时间内振子的位移可能大于振幅，可能等于振幅，可能小于振幅 D．若，则在t时刻和时刻振子的速度大小一定相等 3．如图所示，一个弹簧振子沿x轴在B、O、C间做简谐运动，O为平衡位置，当振子从B点向O点向右运动过程中，弹簧振子的速度在________，弹簧振子的加速度为________（填“增加”“减少”或“不变”）。 角度02 弹簧振子的位移—时间图像 4．如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，时刻把小球向右拉到C点静止释放。以水平向右为正方向，下列描述小球相对O点的位移x、小球的速度v随时间t变化的关系图像，小球的加速度a、所受回复力F随位移x变化的关系图像中，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（多选）如图甲所示，一弹簧振子在A、B间振动，取向右为正方向，振子经过O点时开始计时，其振动的x­t图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　）    A．t2时刻振子在A点 B．t2时刻振子在B点 C．在t1～t2时间内，振子的位移在增大 D．在t3～t4时间内，振子的位移在减小 角度03 简谐运动的定义及特征 6．下列关于简谐运动的说法中正确的是（　　） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置所受的合外力为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与加速度方向一定相反 7．如图甲所示，沿竖直方向放置的轻质弹簧将小球a、b连接起来，一根轻质硬杆将小球a固定在天花板上O点处，小球a、b均保持静止，现将小球c通过轻质硬杆固定在小球b的正下方（该过程小球b的位置不变），如图乙所示，之后将小球b、c由静止释放，经过t时间小球b第一次运动到最低点，该过程小球b的位移为x，则（     ） A．释放后小球b做的不是简谐运动 B．释放后小球b做振幅为x的简谐运动 C．释放后小球b做周期大于4t的简谐运动 D．释放后小球b做周期小于4t的简谐运动 8．（多选）关于简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．位移的方向总指向平衡位置 B．加速度方向总和位移方向相反 C．物体运动到平衡位置时所受合外力一定等于零 D．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向跟位移方向相反 【例1】（重庆·高考真题）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动，若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【深化点拨】 （1）考查简谐运动平衡位置判断，试管漂浮时重力和浮力相等的位置就是振动平衡位置。 （2）考查简谐运动初始状态分析，向上提起释放，计时起点位于平衡位置正向最大位移处。 （3）考查简谐运动 x-t 图像识别，根据正方向规定和初始位移，匹配振动图像的起始点形态。 （4）考查浮力充当回复力的简谐运动模型，理解液体浮力变化提供往复运动的回复力。 【变式1-1】某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。O、P、Q是木筷上等间距的各点，静止时O点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点Q与水面平齐后由静止释放，一个周期内P点在水面以下的时间是2s，则木筷做简谐振动的周期为（　　） A．12s B．4s C．6s D．3s 【变式1-2】弹簧振子在做简谐运动时（　　） A．加速度大小和位移大小成正比，方向相反 B．加速度大小和位移大小成正比，方向相同 C．速度和位移大小成正比，方向相同 D．速度和位移大小成正比，方向相反 【变式1-3】（多选）如图所示，一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是（　　） A．若位移为负值，则加速度一定为正值 B．振子通过平衡位置时，速度为零，位移最大 C．振子每次经过平衡位置时，位移相同，速度也一定相同 D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但位移一定相同 ⚡基础速刷 1．下列关于简谐运动的说法正确的是（    ） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置的速度为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与回复力方向必然相反 2．如图所示，一水平轻质弹簧左端固定在竖直墙上，右端连接一物体，物体静止在光滑水平地面上的O点，现向左推物体，使物体到达A点后由静止释放，在弹力作用下物体向右运动，在物体整个运动过程中，弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（　　）    A．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 B．物体从O点向左运动到A点的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 C．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小 D．物体从A点向右运动的过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大 3．如图所示，一个倾斜的弹簧振子从A点释放，点为振动的平衡位置，振子在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是（  ） A．振子在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0 B．在振子运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力 C．弹簧振子在点的弹性势能一定比在A点的弹性势能大 D．从A向运动的过程中，振子的速度和加速度方向始终相同 4．下列关于简谐运动，说法正确的是（　　） A．位移的方向总是指向平衡位置 B．位移总是由平衡位置指向物体所在位置 C．位移的方向总是跟速度的方向相反 D．速度的方向总是跟位移的方向相同 5．（多选）物体做简谐运动的过程中，有两点A、A'关于平衡位置对称，则物体（　　） A．在A点和A'点的位移相同 B．在两点处的速度可能相同 C．在两点处的加速度可能相同 D．在两点处的动能一定相同 6．（多选）质点以O为平衡位置，在A、B间作简谐振动，以下说法中错误的是(    ) A．质点离开平衡位置O作匀减速运动 B．质点通过O点时，加速度方向发生改变 C．回复力的方向总跟质点的速度方向相反 D．质点在A和B处的加速度为零 🚀能力跃升 7．如图甲所示，一质量为m＝0.4kg的物块放置在倾角为的光滑斜面底端，时刻对物块施加一沿斜面方向的外力F，外力F随位移x变化的图像如图乙所示，规定沿斜面向上为F的正方向，若物块从开始运动到第一次速度变为0所用时间为4s，重力加速度g取，则从物块开始运动至运动到处所用的时间可能为（    ） A．4s B．8s C．10s D．12s 8．如图所示，一水平弹簧振子在P、Q间做简谐运动，振幅为A，取平衡位置O处为原点，向右为正，则图中表示振子速度v与振动位移x关系的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 9．质量为的物块与弹簧上端连接，弹簧的下端固定在挡板上，O点是弹簧处于原长状态时上端的位置，物块静止时位于A点。斜面上另外有B、C、D三点，，其中BD段粗糙，其余部分光滑，物块与斜面BD段间的动摩擦因数为，重力加速度为，物块静止在A点时弹簧的弹性势能为E，用外力将物块拉到D点由静止释放，第一次经过O点时的速度大小为，已知弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是（    ） A．物块最终在A、B之间做简谐运动 B．物块在D点时的弹性势能为 C．物块运动的全过程中因摩擦产生的热量为 D．物块从D点向下运动到A点的过程中，最大加速度大小为 10．（多选）如图，一轻质弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质量m=0.5kg的小球。开始时小球静止于O点，现将小球从O点竖直向下缓慢拉下5cm后由静止释放，小球在竖直方向上做简谐运动。已知弹簧的劲度系数k=100N/m，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（     ） A．小球做简谐运动的振幅为5cm B．小球运动到最高点时弹簧处于压缩状态 C．小球经过平衡位置O时加速度最大 D．小球振动过程中最大加速度大小为10m/s2 11．（多选）如图，在水平地面上，有两个用轻质弹簧相连的物块A和B，A质量为0.4 kg，B质量为0.8 kg，弹簧的劲度系数k=40 N/m。现将一个质量也为0.4 kg的物体C从A的正上方一定高度处由静止释放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在竖直方向做简谐运动。在简谐运动过程中，物块B对地面的最小弹力为6 N，则（　　） A．物块AC做简谐运动的振幅为0.2 m B．弹簧的最大压缩量为0.4 m C．B对地面的最大压力为26 N D．弹簧压缩量为0.15 m和0.25 m时，物块AC加速度大小相等，方向相反 🌟思维挑战 12．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘，圆盘处于静止状态。现将质量为m的粘性小球自离圆盘h高处静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动 B．圆盘做简谐运动的振幅为 C．振动过程中圆盘的最大速度为 D．碰后向下运动过程中，小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大 13．某鱼漂的示意图如图所示O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点O。用手将鱼漂向下压，使点M到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是（　　） A．鱼漂的运动是简谐运动 B．点O过水面时，鱼漂的加速度最大 C．点M到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 D．鱼漂由上往下运动时，速度越来越大 14．（多选）如图所示，由细线连接的质量相等的A、B两个小球，悬挂在轻质弹簧下端，弹簧的上端固定于天花板。现在A球上施加一个外力，使弹簧恢复至原长后，突然撤去外力并计时，经过时间t，两个小球运动至最低点，此时立刻剪断细线。已知重力加速度为g，简谐运动的周期为（m是做简谐运动物体的质量，k是弹簧的劲度系数），忽略一切阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球A第一次从最低点上升到弹簧原长位置时的时间为t B．剪断细线前，小球A由释放位置到最低点运动的距离为 C．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为3g D．小球A第一次上升到最高点时，小球B的速度为 15．（多选）质点在x轴的[-10m，+10 m]区间内做简谐运动，平衡位置在坐标原点。在一个周期的时间内，对质点做随机观察，则下列说法正确的有（     ） A．观察到质点在[-5 m，+5 m]区间内的概率是 B．观察到质点在[-1 m，9 m]区间内的概率是 C．观察到质点在[-2 m，+m]区间内的概率是 D．观察到质点在[-10 m，0]区间内的概率是 16．如图所示，在倾角为的固定光滑斜面上，为一固定挡板，轻质弹簧的一端连接物体，另一端固定在挡板上。物体在上方斜面的某处。用力控制、保持静止，且使弹簧处于自然状态，现同时释放物体、，物体完成一次全振动，经过时间时，和恰好相碰且粘为一体。物体的质量为，物体的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为。求： (1)释放前物体、间的距离； (2)和粘为一体后的最大速度； (3)若和达到物体释放位置上方处时其速度恰好为零，则运动过程中弹簧弹力的最大值与的关系。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $