第1讲：简谐运动及其描述【六大考点+六大题型】-2025-2026学年高二上学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第一册）

第1讲：简谐运动及其描述 · 考点一：简谐运动的运动特征 · 考点二：弹簧振子 · 考点三：简谐运动的图像 · 考点四：简谐运动的描述的计算 · 考点五：弹簧振子模型 · 考点六：简谐运动综合计算问题 知识点一、弹簧振子 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动． 2．弹簧振子：小球和弹簧组成的系统． 知识点二、弹簧振子的位移—时间图像(x－t图像) 1．用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图1所示． 图1 2．振子的位移：振子相对平衡位置的位移． 3．图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹． 知识点三、简谐运动 1．简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线． 2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动． 3．简谐运动的图像 (1)描述振动物体的位移随时间的变化规律． (2)简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势． 知识点四、振幅 1．概念：振动物体离开平衡位置的最大距离． 2．意义：振幅是表示物体振动幅度大小的物理量，振动物体运动的范围是振幅的两倍． 知识点五、周期和频率 1．全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的． 2．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)． 3．频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz. 4．周期和频率的关系：f＝.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快． 5．圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf 知识点六、相位 1．概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态． 2．表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相． 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2. 知识点七、简谐运动的表达式 x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0 技巧归纳： 一、简谐运动及其图像 1．简谐运动：简谐运动的位移随时间按正弦函数的规律变化，所以不是匀变速运动，而是在变力作用下的非匀变速运动． 2．简谐运动的x－t图像 x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间变化的规律． 3．由简谐运动的图像获取的信息 (1)任意时刻质点的位移的大小和方向 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2. (2)任意时刻质点的运动方向 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动． (3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况 根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小． 二、简谐运动的周期性和对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图4所示，OC＝OD. 图4 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD. ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO. (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反． ②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同． ②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反． 题型一：简谐运动的运动特征 【典例1】．（24-25高二上·河南开封·期末）下列关于简谐运动的说法中正确的是（　　） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置所受的合外力为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与加速度方向一定相反 【变式1】．（23-24高二下·陕西渭南·期中）关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【变式2】．（23-24高二上·江苏泰州·月考）如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式3】．（23-24高二上·江苏苏州·期中）请判定以下物体运动中不是简谐运动的是（　　） A．图甲中，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开 B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手 C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动 D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动 题型二：弹簧振子 【典例2】．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，弹簧振子在、两点间做简谐运动，为平衡位置，、间距为，小球完成次全振动所用时间为，则下列说法中正确的是（　　） A．该振子振动周期为，振幅为 B．该振子由点运动到点的过程中速度增大 C．该振子由点运动到点的过程中加速度增大 D．该振子在任意内通过的路程均为 【变式1】．（25-26高二上·湖北随州·期末）下列关于水平弹簧振子的说法中，能证明其做简谐运动的是（　　） A．振子在水平方向往复运动 B．振子做“匀加速—匀减速”反复切换的运动 C．振子的速度大小随时间做周期性变化 D．振子所受合力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，合力方向与位移方向相反 【变式2】．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，光滑水平面上两个完全相同的弹簧振子相对放置，小球静止时恰好互相接触，将两个小球向两边压缩弹簧相同压缩量时静止释放，并开始计时，小球依次经过P点的时刻分别记为、、、…，不计一切摩擦，小球碰后原速反弹，两小球及弹簧始终在一条直线上，下列说法正确的是（　　） A．该系统的运动周期为 B．该系统的运动周期为 C．该系统的运动周期为 D．该系统的运动周期为 【变式3】．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上的A、B两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知，，下列说法正确的是（　　） A． B．振子在C点的动能等于在D点的动能 C．振子在C点的加速度大于在D点的加速度 D．振子在C点的弹性势能小于在D点的弹性势能 题型三：简谐运动的图像 【典例3】．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图所示为一质点做简谐运动的位移与时间关系图像。根据图像，下列表述正确的是（　　） A．质点的振幅为4cm B．质点的位移随时间变化的表达式为 C．时，质点的速度和加速度方向相同 D．从到的时间内，质点运动的路程为6cm 【变式1】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示为某一弹簧振子在水平方向上做简谐运动的图像，在0～1.6s范围内下列说法正确的是（   ） A．物体简谐运动的周期为0.4s B．物体在0.9s时和1.5s时受到的回复力相同 C．物体在0.9s时和1.5s时的瞬时速度相等 D．物体在0.6～0.9s时间段内加速度一直增加 【变式2】．（25-26高三上·山西临汾·期末）某物体在竖直方向做简谐运动，其振动图像如图所示。取竖直向上为正方向，下列说法正确的是（　　） A．时物体运动到最高点 B．时物体的位移为 C．内物体的速度逐渐减小 D．内物体的加速度方向向下 【变式3】．（25-26高二上·安徽宣城·期末）2025年8月15日，在文昌航天发射场“长十”系列运载火箭进行了系留点火试验，中国载人月球探测工程研制工作取得又一项重要阶段性突破。若神舟二十号载人飞船绕地球做匀速圆周运动，在飞船中物体处于完全失重状态，已知飞船中的弹簧振子劲度系数为500N/m，它的振动图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在图中G点对应的时刻振子所受的弹力大小为20N，方向指向x轴的负方向 B．在图中G点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的负方向 C．在0~0.2s内振子完成两次全振动 D．在0.1~0.4s内振子通过的路程为48cm，位移为0 题型四：简谐运动的描述的计算 【典例4】．（25-26高二上·河北衡水·期末）一弹簧振子的振动方程，关于该振子的运动，下列说法正确的是（　　） A．振子在0.5s和1.5s时速度相同 B．振子动能变化的周期为1s C．时振子的弹性势能最大 D．时振子回复力最小 【变式1】．（25-26高二上·海南·期末）如图1所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向上为正方向。图2是弹簧振子做简谐运动的图像（部分），则（　　） A．振子从点单向运动到点的时间为 B．时刻，弹簧对振子的弹力小于振子的重力 C．时刻，振子的速度最小 D．振子在任意内的路程均为 【变式2】．（25-26高二上·重庆·月考）如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为10cm，小球完成30次全振动所用时间为60s，则（　　） A．该振子振动周期是2s，振幅是10cm B．该振子振动频率是2Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是20cm D．小球过O点时开始计时，3s内通过的路程为60cm 【变式3】．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）如图甲，一质量为m的物体B放在水平面上，质量为2m的物体A通过一轻弹簧与其连接。给A一竖直方向上的初速度，当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，A的位移随时间变化规律如图乙，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．（t1+0.5）s时，弹簧弹力为零 B．物体A在任意一个1.25s内通过的路程均为50cm C．物体B对水平面的最大压力为6mg D．物体A的振动方程为 题型五：弹簧振子模型 【典例5】．（25-26高二上·江苏南京·月考）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为m的物体A，A下面用细线悬挂一质量为M的物体B，此时系统处于静止状态。现剪断细线使B自由下落，当物体A向上运动第一次到达最高点时，弹簧对A的拉力大小恰好等于Mg，此时B尚未落地且速度为v，则（　　） A．物体A的质量 B．A与弹簧组成的系统振动周期为 C．A运动到最高点时加速度为1.5g D．A从最低点运动到最高点的过程中弹簧弹性势能的减少量为 【变式1】．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，A、B之间的动摩擦因数为µ，A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物体A的回复力是由弹簧的弹力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．A、B间无相对滑动的最大振幅为 D．物体A的回复力跟位移大小之比为 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA=250g，mB=500g，系统静止时弹簧伸长x=15cm，未超出弹性限度。若剪断A、B间细绳，则A在竖直方向做简谐运动，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为60N/m B．A球的振幅为15cm C．A球的最大加速度为10m/s2 D．小球运动过程中，弹簧的最大压缩量为5cm 【变式3】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图甲所示，劲度系数为的轻弹簧下端挂一质量为的小球（可视为质点），小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为为弹簧的形变量，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．在振动过程中，小球的机械能守恒 B．小球的振幅为 C．小球弹簧的弹性势能最大值为 D．小球的最大加速度为 题型六：简谐运动综合计算问题 【典例6】．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在斜面底端挡板上，另一端连接质量为m的物体A，系统初始处于静止状态。现将质量也为m的物体B从斜面上某处由静止释放，B与A碰撞后以共同速度向下运动（不粘连）。此后，A、B一起运动的周期为T，且在最高点恰好不分离。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，求： (1)A、B一起运动到最高点时加速度的大小a； (2)A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x； (3)从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t。 【变式1】．（25-26高二上·安徽宿州·期末）如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为20cm，P是OB的中点。t＝0时刻，振子位于O点，t＝1.0s时振子刚好第一次回到O点。求： (1)t＝10s时振子的位移大小和0～10s内振子通过的路程； (2)振子在P点和C点的加速度大小之比。 【变式2】．（25-26高二上·山东日照·期末）如图所示，一边长为a的正方体木块竖直漂浮在密度为的液体中，木块上的M、O、N三点在同一竖直线上，且M、N关于O点对称。当木块静止时O点所在的水平面恰好与液面相平。现缓慢下压木块，使M点所在的水平面与液面相平。由静止释放，木块在竖直方向做简谐运动。已知运动过程中木块所受浮力的最大值为、最小值为，重力加速度为g，不计一切阻力和木块的转动。求： (1)木块的回复力大小与位移大小的比值k； (2)木块做简谐运动的振幅A。 【变式3】．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过固定的光滑竖直直杆（足够长），初始时为静止状态。间距为弹力绳原长，与杆的距离为。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，已知重力加速度为。 (1)求弹力绳与竖直杆间的夹角； (2)给小球A一个向下的冲量，开始计时，证明小球A的运动为简谐运动。 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示为某物体做简谐运动的振动图像，关于物体的振动下列说法正确的是（   ） A．物体振动的振幅为4cm B．物体振动的周期为0.4s C．0.2s～0.4s过程物体沿x轴正方向运动 D．0.4s～0.6s过程物体运动的速度在减小 2．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）如图甲所示，直立的轻弹簧一端固定在地面上，另一端拴住一个物块。现让该物块在竖直方向做简谐运动，从物块所受合力为零开始计时，取向上为正方向，其简谐运动的位移—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当t=0.50s时，物块对弹簧的弹力最小 B．在t=0.25s和t=0.75s两时刻，弹簧的弹力大小相等 C．在0.25s~0.50s内，物块做加速度逐渐增大的加速运动 D．在0.25s~0.50s内，物块的动能和弹簧的弹性势能之和增大 3．（25-26高二上·山东青岛·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 4．（25-26高二上·云南楚雄·期末）如图所示，弹簧竖直固定在地面上，一小球从它的正上方A点自由下落，到达B点开始与弹簧接触，到达C点速度减为零，之后又回到A点，如此反复，B为AC的中点，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动，平衡位置为B点 B．小球从A下落到C的过程中，加速度先竖直向下且保持不变，后竖直向上且一直增大 C．弹簧增加的弹性势能等于小球减少的动能 D．小球在下落过程中，重力的功率先增大后减小 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a一定不会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 6．（25-26高二下·安徽六安·开学考试）如图所示，水平地面上放置着用竖直轻质弹簧拴接的物块A、B，弹簧的劲度系数为k，A的质量为m，B的质量为M，重力加速度为g。用力向下缓慢压物块A至某一位置，放手后物块A在竖直方向做简谐运动，物块A运动到最高点时，物块B恰好不离开地面，下列说法正确的是（　　） A．物块A的动能最大时，弹簧的弹性势能为0 B．物块A做简谐运动的振幅为 C．物块A的最大加速度为g D．物块B对地面的最大压力为 7．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，弹簧的形变在弹性限度内，A球做周期为T的振动，振幅为d，下列说法正确的是（　　） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为g C．小球A从最低点运动到最高点的过程中，弹簧弹力的冲量大小为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为4mgd 8．（24-25高二上·广西桂林·期末）用手机和轻弹簧制作的振动装置如图甲所示。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以竖直向下为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，弹簧处于原长状态 B．t=0.4s时，手机在向下运动 C．t=0.6s时，手机在平衡位置上方 D．从t=0.2s至t=0.4s，手机的动能减小 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，。若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（   ） A．振动周期是1s，振幅10cm B．从B运动到O过程中速度增加，加速度减小 C．经过两次全振动，振子通过的路程是40cm D．任何1s时间内振子通过的路程为20cm 10．（25-26高二上·河南·月考）小型四旋翼无人机“蜂鸟-1号”质量为m，在无风的密闭室内悬停于某高度O处，当无人机受扰动偏离O点时，飞控系统自动调整旋翼转速，使无人机在竖直方向做简谐运动，周期为T，振幅为A，忽略空气阻力和机身形变，无人机做简谐运动的周期 （k为常数），下列说法正确的是（　　） A．无人机在振动过程中机械能守恒 B．若无人机搭载的设备质量增加，其振动周期将减小 C．若t=0时刻无人机位于O点且向上运动，取竖直向上为正方向，振动方程可表示为 D．在无人机从最低点向O点运动的过程中，位移的绝对值减小，速度增大，加速度减小 11．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图所示，质量为m的弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好为原长，已知轻质弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。下列判断正确的是（　　） A．弹簧振子的振幅为 B．弹簧振子在最低点时受到的弹力大小为2mg C．弹簧的最大弹性势能为 D．弹簧振子的最大动能为 12．（25-26高二上·湖北·期末）在物理实验室的力学探究实验中，如图所示，研究人员将物体A置于物体B上，把轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，让A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），且运动过程中A、B始终保持相对静止。已知A的质量为m，B的质量为M，弹簧劲度系数为k，A、B间动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．A对B的静摩擦力大小不变 B．弹簧形变量为x时，AB间的静摩擦力大小为 C．A、B做简谐运动的振幅的最大值为 D．当AB向平衡位置运动时，B对A的静摩擦力对A做正功 13．（25-26高二上·广东茂名·期末）如图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在点，若鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂在、之间的上下振动形成简谐运动。关于此振动过程，下列说法正确的是（　　） A．水位在点时，鱼漂的速度最大 B．水位由点到点，鱼漂的位移向下且逐渐变大 C．水位到达点时，鱼漂的速度为零 D．鱼漂由上往下运动过程中，加速度越来越大 14．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，质量均为1kg的物块a、b、c，其中a、b与劲度系数为N/m的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。物块c在物块a正上方由静止释放，与a碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后组合体ac做简谐运动的过程中物块b恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内（）。下列正确的是（　　） A．组合体ac做简谐运动的振幅为0.3m B．物块b与地面间的最大作用力为60N C．a和c碰撞过程中损失的能量为8J D．开始释放物块c时，c离a的高度为0.8m 15．（25-26高二上·甘肃陇南·月考）一水平弹簧振子沿x轴方向做简谐运动，平衡位置在坐标原点，向x轴正方向运动时弹簧被拉伸，振子的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为0.987N/m，振子的质量为0.1kg，下列说法正确的是（　　） A．在0~4s内振子完成了2次全振动 B．图中A点对应时刻振子的加速度大小为2.0m/s2 C．图中A点对应时刻振子的加速度方向指向x轴的正方向 D．振子的最大加速度为4.935m/s2 三、解答题 16．（25-26高二上·江苏镇江·期末）如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一小球，已知小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，用手托着小球从原长位置A点静止释放，小球做简谐运动第一次回到A点所用时间为t，求： (1)小球简谐运动的振幅； (2)此过程中弹簧的冲量大小。 17．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动的图像如图乙所示，完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的振动方程； (2)该振子在前40s内运动的路程是多少？ 18．（25-26高二上·山东烟台·期中）如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的深水筒中。刚开始时木筷在水中保持静止，现把木筷向上提起一小段距离后放手，木筷此后在水中上下振动。已知水的密度为，木筷的横截面积为S，木筷静止时浸入水中的深度为，重力加速度为，水的黏滞阻力忽略不计。 (1)若，求木筷在运动过程中的最大加速度大小； (2)证明木筷做简谐运动。 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，三个小物块a、b、c的质量分别为、和。物块b、c在竖直方向上通过劲度系数的轻弹簧相连，a在b的正上方，开始时物块a、b、c均静止。现让a自由下落，物块a、b碰后粘在一起，当物块ab运动到最高点时，物块c对地面的压力恰好为0。已知弹簧具有的弹性势能，式中为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度。求： (1)物块ab做简谐运动的振幅； (2)a释放前距b的高度； (3)已知简谐运动的周期，求物块ab从最低点运动到弹簧恢复原长所用的最短时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲：简谐运动及其描述 · 考点一：简谐运动的运动特征 · 考点二：弹簧振子 · 考点三：简谐运动的图像 · 考点四：简谐运动的描述的计算 · 考点五：弹簧振子模型 · 考点六：简谐运动综合计算问题 知识点一、弹簧振子 1．机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动． 2．弹簧振子：小球和弹簧组成的系统． 知识点二、弹簧振子的位移—时间图像(x－t图像) 1．用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图像就是位移随时间变化的图像，即x－t图像，如图1所示． 图1 2．振子的位移：振子相对平衡位置的位移． 3．图像的物理意义：反映了振子位置随时间变化的规律，它不是(选填“是”或“不是”)振子的运动轨迹． 知识点三、简谐运动 1．简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线． 2．特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动． 3．简谐运动的图像 (1)描述振动物体的位移随时间的变化规律． (2)简谐运动的图像是正弦曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度方向以及速度大小的变化趋势． 知识点四、振幅 1．概念：振动物体离开平衡位置的最大距离． 2．意义：振幅是表示物体振动幅度大小的物理量，振动物体运动的范围是振幅的两倍． 知识点五、周期和频率 1．全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的． 2．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)． 3．频率：周期的倒数叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz. 4．周期和频率的关系：f＝.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快． 5．圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf 知识点六、相位 1．概念：描述周期性运动在一个运动周期中的状态． 2．表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相． 3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2. 知识点七、简谐运动的表达式 x＝Asin (ωt＋φ0)＝Asin (t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0 技巧归纳： 一、简谐运动及其图像 1．简谐运动：简谐运动的位移随时间按正弦函数的规律变化，所以不是匀变速运动，而是在变力作用下的非匀变速运动． 2．简谐运动的x－t图像 x－t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间变化的规律． 3．由简谐运动的图像获取的信息 (1)任意时刻质点的位移的大小和方向 如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2. (2)任意时刻质点的运动方向 根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动． (3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况 根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小． 二、简谐运动的周期性和对称性 简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图4所示，OC＝OD. 图4 (1)时间的对称 ①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD. ②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO. (2)速度的对称 ①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反． ②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． (3)位移的对称 ①物体经过同一点(如C点)时，位移相同． ②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反． 题型一：简谐运动的运动特征 【典例1】．（24-25高二上·河南开封·期末）下列关于简谐运动的说法中正确的是（　　） A．简谐运动属于一种匀变速运动 B．做简谐运动的物体在平衡位置所受的合外力为0 C．做简谐运动的物体经过同一位置时的速度必然相同 D．做简谐运动的物体的位移方向与加速度方向一定相反 【答案】D 【详解】A．简谐运动中加速度大小和方向变化，所以是变加速运动，A错误； B．做简谐运动的物体在平衡位置所受回复力为零，但合外力不一定为零，例如单摆在平衡位置时合外力不为0，B错误； C．做简谐运动的物体经过同一位置时速度大小一定相同，但方向可能相反，C错误； D．做简谐运动的物体位移方向总是背离平衡位置，而加速度方向总是指向平衡位置，所以位移方向与加速度方向一定相反，D正确。 故选D。 【变式1】．（23-24高二下·陕西渭南·期中）关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是（　　） A．简谐运动是匀变速运动 B．周期越大，说明物体做简谐运动越快 C．位移减小时，加速度减小，速度增大 D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 【答案】C 【详解】A．简谐运动受到的回复力是变力，加速度变化，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误； B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，周期越大，说明物体做简谐运动越慢，B错误； C．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，C正确； D．根据可知加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反，D错误。 故选C。 【变式2】．（23-24高二上·江苏泰州·月考）如图所示，下列四种场景中的运动一定不是简谐运动的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】物体在跟位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下振动，叫简谐运动。选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，不与位移的大小成正比，所以一定不是简谐运动。 故选C。 【变式3】．（23-24高二上·江苏苏州·期中）请判定以下物体运动中不是简谐运动的是（　　） A．图甲中，倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开 B．图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起一段距离后放手 C．图丙中，光滑圆弧面上的小球，从最低点移开很小一段距离，放手后，小球在最低点左右运动 D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动 【答案】D 【详解】A．把图甲中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，小球的往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足 F= -kx 为简谐运动。故A正确，与题意不符； B．如果不考虑水的粘滞阻力，木筷受力情况是，受到重力和水的浮力。重力恒定不变，浮力与排开水的体积成正比，木筷静止时位置看作平衡位置。由此可知以平衡位置为坐标原点，木筷所受合力与其偏离平衡位置的位移成正比，且方向相反，则可以判定木筷做简谐运动。故B正确，与题意不符； C．小球的受力情况是，受到重力和圆弧面的支持力。重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直。这样，就与单摆具有类似的运动，从而判定小球做简谐运动。故C正确，与题意不符； D．图丁中，倾角均为θ的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动，重力沿斜面的分力提供回复力，但该力大小不变，不与位移成正比。故小球的运动不是简谐运动。故D错误，与题意相符。 本题选不正确的故选D。 题型二：弹簧振子 【典例2】．（25-26高二上·安徽·期末）如图所示，弹簧振子在、两点间做简谐运动，为平衡位置，、间距为，小球完成次全振动所用时间为，则下列说法中正确的是（　　） A．该振子振动周期为，振幅为 B．该振子由点运动到点的过程中速度增大 C．该振子由点运动到点的过程中加速度增大 D．该振子在任意内通过的路程均为 【答案】B 【详解】A．小球完成10次全振动所用时间为20s，可知周期，、间距为20cm，可知振幅，A错误； B．该振子由点运动到点的过程中，弹性势能减小，动能增大，速度增大，B正确； C．该振子由点运动到点的过程中位移减小，回复力减小，加速度减小，C错误； D．0.5s为四分之一周期，振子只有从平衡位置运动至最大位移处，或者从最大位移处运动至平衡位置，振子通过的路程才等于振幅，D错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高二上·湖北随州·期末）下列关于水平弹簧振子的说法中，能证明其做简谐运动的是（　　） A．振子在水平方向往复运动 B．振子做“匀加速—匀减速”反复切换的运动 C．振子的速度大小随时间做周期性变化 D．振子所受合力大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，合力方向与位移方向相反 【答案】D 【详解】简谐运动的本质特征是物体所受回复力（合力）与偏离平衡位置的位移大小成正比、方向相反，即满足 （为常数）。 A．振子在水平方向往复运动仅说明运动具有周期性，但往复运动不一定是简谐运动（如阻尼振动或非弹性回复力作用下的振动也往复运动），故A错误； B．简谐运动中加速度随位移连续变化，并非“匀加速—匀减速”的突变切换（匀加速和匀减速要求加速度恒定），故B错误； C．速度大小周期性变化是振动的一般性质，但非简谐运动特有（例如单摆做大角度摆动时，其速度大小也做周期性变化，但不是简谐运动），故C错误； D．该描述直接对应简谐运动的动力学定义，即合力大小与位移大小成正比、合力方向与位移方向相反，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，光滑水平面上两个完全相同的弹簧振子相对放置，小球静止时恰好互相接触，将两个小球向两边压缩弹簧相同压缩量时静止释放，并开始计时，小球依次经过P点的时刻分别记为、、、…，不计一切摩擦，小球碰后原速反弹，两小球及弹簧始终在一条直线上，下列说法正确的是（　　） A．该系统的运动周期为 B．该系统的运动周期为 C．该系统的运动周期为 D．该系统的运动周期为 【答案】AD 【详解】ABC．简谐运动的周期是完成一次“全振动”的时间。从（第一次过P点）到（第三次过P点），等效小球完成了一次完整的全振动（向右通过P点→平衡位置→一端最大位移→平衡位置→另一端最大位移→向右通过P点），因此系统的运动周期为，故A正确，BC错误； D．简谐运动的周期是完成一次“全振动”的时间，从到（第二次过P点，即向右通过P点→平衡位置→一端最大位移→平衡位置→向左通过P点），根据运动的对称性，再回到被压缩点完成一次全振动，则运动周期为，故D正确。 故选AD。 【变式3】．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上的A、B两点间做简谐运动，O为平衡位置。已知，，下列说法正确的是（　　） A． B．振子在C点的动能等于在D点的动能 C．振子在C点的加速度大于在D点的加速度 D．振子在C点的弹性势能小于在D点的弹性势能 【答案】C 【详解】A．根据简谐振动的对称性可知，从O到A与从O到B所用的时间相等，设为，由题意可知 由于，结合简谐振动速度的变化规律可知 则有， 因此，故A错误； B．由于振子C点比D点更远离平衡位置，因此振子在C点的速度小于在D点的速度，则振子在C点的动能小于在D点的动能，故B错误； C．由于振子C点比D点更远离平衡位置，因此振子在C点时的回复力更大，根据牛顿第二定律可知，振子在C点的加速度大于在D点的加速度，故C正确； D．结合上述分析可知，振子在C点的弹性势能大于在D点的弹性势能，故D错误。 故选C。 题型三：简谐运动的图像 【典例3】．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图所示为一质点做简谐运动的位移与时间关系图像。根据图像，下列表述正确的是（　　） A．质点的振幅为4cm B．质点的位移随时间变化的表达式为 C．时，质点的速度和加速度方向相同 D．从到的时间内，质点运动的路程为6cm 【答案】B 【详解】A．由图可知，该简谐运动的振幅为2cm，故A错误； B．由图可知，周期0.4s，则圆频率，初相位，故质点的位移随时间变化的表达式为，故B正确； C．由图可知，当时，质点向y轴负方向减速运动，即速度与加速度方向相反，故C错误； D．根据质点的位移随时间变化的表达式为 可知当时，当时，故从到的时间内质点的路程为，故D错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示为某一弹簧振子在水平方向上做简谐运动的图像，在0～1.6s范围内下列说法正确的是（   ） A．物体简谐运动的周期为0.4s B．物体在0.9s时和1.5s时受到的回复力相同 C．物体在0.9s时和1.5s时的瞬时速度相等 D．物体在0.6～0.9s时间段内加速度一直增加 【答案】C 【详解】A．由振动图像可知，物体简谐运动的周期为T=0.8s，故A错误。 BC．振子所受回复力满足F=-kx，由图可知，0.9s时刻的位移为正，而1.5s时刻的位移为负，则两时刻回复力大小相等，方向相反；在0.9s和1.5s两个时刻振子均处于向正方向运动的状态，瞬时速度大小相等，方向相同，故B错误，C正确。 D．振子的加速度满足，在0.6s至0.9s的时间段内，振子先从负向最大位移处向平衡位置运动，之后继续向正向运动，其位移的绝对值先减小后增大，则加速度的大小先减小后增大，故D错误。 故选C。 【变式2】．（25-26高三上·山西临汾·期末）某物体在竖直方向做简谐运动，其振动图像如图所示。取竖直向上为正方向，下列说法正确的是（　　） A．时物体运动到最高点 B．时物体的位移为 C．内物体的速度逐渐减小 D．内物体的加速度方向向下 【答案】C 【详解】AB．根据题意，由图可知，周期，振幅 质点振动方程为 可知，时，，则时物体不在最高点，时，，即物体的位移为，故AB错误； CD．由图可知，内物体由平衡位置向最低点运动，物体的速度逐渐减小，物体的加速度方向向上，故C正确，D错误。 故选C。 【变式3】．（25-26高二上·安徽宣城·期末）2025年8月15日，在文昌航天发射场“长十”系列运载火箭进行了系留点火试验，中国载人月球探测工程研制工作取得又一项重要阶段性突破。若神舟二十号载人飞船绕地球做匀速圆周运动，在飞船中物体处于完全失重状态，已知飞船中的弹簧振子劲度系数为500N/m，它的振动图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．在图中G点对应的时刻振子所受的弹力大小为20N，方向指向x轴的负方向 B．在图中G点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的负方向 C．在0~0.2s内振子完成两次全振动 D．在0.1~0.4s内振子通过的路程为48cm，位移为0 【答案】A 【详解】A．由振动图像可知，G点位移为4cm，根据胡克定律可知弹力为 弹力方向指向x轴负方向，故A正确； B．G点处于从最大位移处向平衡位置运动的阶段，速度方向指向x轴正方向，故B错误； C．由图像可知周期为0.2s，在0~0.2s内完成1次全振动，故C错误； D．在0.1~0.4s内振子运动的时间为 通过的路程为 位移为16cm，故D错误。 故选A。 题型四：简谐运动的描述的计算 【典例4】．（25-26高二上·河北衡水·期末）一弹簧振子的振动方程，关于该振子的运动，下列说法正确的是（　　） A．振子在0.5s和1.5s时速度相同 B．振子动能变化的周期为1s C．时振子的弹性势能最大 D．时振子回复力最小 【答案】B 【详解】A．根据振动方程，振子在0.5s和1.5s时，因x=0，即均在平衡位置，且相差半个周期，则速度大小相等但方向相反，故速度不相同，A错误。 B．振子振动的周期，故动能变化周期为1s，B正确。 C．时，，位移为零，处于平衡位置，弹性势能最小，C错误。 D．时，，位移最大，可知回复力最大，D错误。 故选 B。 【变式1】．（25-26高二上·海南·期末）如图1所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向上为正方向。图2是弹簧振子做简谐运动的图像（部分），则（　　） A．振子从点单向运动到点的时间为 B．时刻，弹簧对振子的弹力小于振子的重力 C．时刻，振子的速度最小 D．振子在任意内的路程均为 【答案】D 【详解】A．由图可知，振子的周期 振子从点单向运动到点的时间为半个周期，即振子从点单向运动到点的时间为0.5s，故A错误； B．时振子在平衡位置下方，具有向上的加速度，因此弹簧对振子的弹力大于振子的重力，故B错误； C．时，振子恰好经过平衡位置，此时振子的速度最大，故C错误； D．0.5s恰好为半个周期，由图可知，振子的振幅为 则半个周期内振子通过的路程为，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高二上·重庆·月考）如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为10cm，小球完成30次全振动所用时间为60s，则（　　） A．该振子振动周期是2s，振幅是10cm B．该振子振动频率是2Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是20cm D．小球过O点时开始计时，3s内通过的路程为60cm 【答案】C 【详解】A．由题意小球完成30次全振动所用时间为60s,可知T=2s，,故A错误； B．频率，解得，故B错误； C．小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即，故C正确； D．小球在3s内通过的路程为，故D错误。 故选C。 【变式3】．（23-24高二下·内蒙古包头·月考）如图甲，一质量为m的物体B放在水平面上，质量为2m的物体A通过一轻弹簧与其连接。给A一竖直方向上的初速度，当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，A的位移随时间变化规律如图乙，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．（t1+0.5）s时，弹簧弹力为零 B．物体A在任意一个1.25s内通过的路程均为50cm C．物体B对水平面的最大压力为6mg D．物体A的振动方程为 【答案】C 【详解】A．（t1+0.5）s时物体A处于平衡位置，此时物体A在振动方向的合力为零，即弹簧对物体A向上的弹力等于物体A的重力，弹簧该时刻处于压缩状态，故A错误； B．由图可知物体A振动周期为1s，物体A由特殊位置（平衡位置或最大位移处）开始计时，在任意一个内，物体A通过的路程等于振幅的5倍，即50cm，除此外的位置在1.25s内通过的路程不等于振幅的5倍，故B错误； C．当A运动到最高点时，B与水平面间的作用力刚好为零，对B根据牛顿第二定律有 对A根据牛顿第二定律有 根据对称性，当A运动到最低点时，对A根据牛顿第二定律有 此时水平面对物体B的支持力最大，有 根据牛顿第三定律，物体B对水平面的最大压力为6mg，故C正确； D．物体A的振动方程为 将（0，0.05m）代入可得 可得，故D错误。 故选C。 题型五：弹簧振子模型 【典例5】．（25-26高二上·江苏南京·月考）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为m的物体A，A下面用细线悬挂一质量为M的物体B，此时系统处于静止状态。现剪断细线使B自由下落，当物体A向上运动第一次到达最高点时，弹簧对A的拉力大小恰好等于Mg，此时B尚未落地且速度为v，则（　　） A．物体A的质量 B．A与弹簧组成的系统振动周期为 C．A运动到最高点时加速度为1.5g D．A从最低点运动到最高点的过程中弹簧弹性势能的减少量为 【答案】A 【详解】AC．系统处于静止状态时，弹力为 剪断细线后，A做简谐振动，最低点加速度为 当A达到最高点时，有 因为 联立解得，，故A正确，C错误； B．B做自由落体运动，有 则A从最低点到最高点所用时间为 解得A与弹簧组成的系统振动周期为，故B错误； D．由功能关系可得 又 联立可得，故D错误。 故选A。 【变式1】．（25-26高二上·山东泰安·期末）如图所示，物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动，A、B之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数为k，A、B的质量分别为m和M，A、B之间的动摩擦因数为µ，A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物体A的回复力是由弹簧的弹力提供 B．滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供 C．A、B间无相对滑动的最大振幅为 D．物体A的回复力跟位移大小之比为 【答案】D 【详解】A．物体A做简谐运动时，回复力是由滑块B对物体A的静摩擦力提供的，故A错误； B．滑块B做简谐运动的回复力是由弹簧的弹力和A对B的静摩擦力的合力提供的，故B错误； C．当A、B之间的摩擦力达到最大静摩擦力时，其振幅最大，以AB整体，有 对物体A，有 联立解得，故C错误； D．物体A与滑块B（整体看成一个振子）的回复力满足 对物体A，有 则回复力大小跟位移大小之比为，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期中）如图所示，轻弹簧的下端系着A、B两球，mA=250g，mB=500g，系统静止时弹簧伸长x=15cm，未超出弹性限度。若剪断A、B间细绳，则A在竖直方向做简谐运动，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．弹簧的劲度系数为60N/m B．A球的振幅为15cm C．A球的最大加速度为10m/s2 D．小球运动过程中，弹簧的最大压缩量为5cm 【答案】D 【详解】A．以A、B两球为整体，根据平衡条件可得 解得弹簧的劲度系数为，故A错误； B． 剪断A、B间细绳后，A球处于平衡位置时有 可得此时弹簧的伸长量为 则A球的振幅为，故B错误； C．剪断A、B间细绳瞬间，A球的加速度最大，则有，故C错误； D．根据对称性可知，当A振动到最高点时，A球的加速度大小为，方向向下，此时弹簧的压缩量最大，则有 解得弹簧的最大压缩量为，故D正确。 故选D。 【变式3】．（25-26高二上·江苏连云港·月考）如图甲所示，劲度系数为的轻弹簧下端挂一质量为的小球（可视为质点），小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为为弹簧的形变量，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．在振动过程中，小球的机械能守恒 B．小球的振幅为 C．小球弹簧的弹性势能最大值为 D．小球的最大加速度为 【答案】C 【详解】A．在振动过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误； B．根据图乙，对运动进行分析可知： 在最高点时弹力，形变量 在最低点时弹力，形变量 最高点和最低点之间的位移差 解得振幅，故B错误； C．在最低点时形变量最大，此时弹性势能最大，故C正确； D．小球受到的合力 在最高点和最低点时，合力最大 此时加速度最大，故D错误。 故选C。 题型六：简谐运动综合计算问题 【典例6】．（25-26高二上·江苏苏州·期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在斜面底端挡板上，另一端连接质量为m的物体A，系统初始处于静止状态。现将质量也为m的物体B从斜面上某处由静止释放，B与A碰撞后以共同速度向下运动（不粘连）。此后，A、B一起运动的周期为T，且在最高点恰好不分离。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，求： (1)A、B一起运动到最高点时加速度的大小a； (2)A、B一起运动的速度最大位置到最低点的距离x； (3)从碰撞时刻起，第一次运动到最低点的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B在最高点恰好不发生分离， 对物体B，有 解得 （2）解法一： 由于振动过程的对称性，AB在最低点的加速度为 设此时弹簧的形变量为x1 由牛顿第二定律可知 解得 则速度最大位置到最低点的距离为 解法二：当A、B在振动过程的平衡位置时速度最大，设此时弹簧的形变量为x0，则有 解得 由于振动过程的对称性，则有 （3）A、B碰撞时，设此时弹簧的形变量为x2，则有 解得： 以第一次向上经过平衡位置为0时刻，取向上为正方向，则振动方程为 ， 从平衡位置到碰撞位置所用的时间为 解得 A、B第一次到最低点， 【变式1】．（25-26高二上·安徽宿州·期末）如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C之间的距离为20cm，P是OB的中点。t＝0时刻，振子位于O点，t＝1.0s时振子刚好第一次回到O点。求： (1)t＝10s时振子的位移大小和0～10s内振子通过的路程； (2)振子在P点和C点的加速度大小之比。 【答案】(1)0，200cm (2) 【详解】（1）由题可知，该弹簧振子的振幅 周期T＝2×1.0s＝2.0s t＝10s时，经历五个周期，振子正好回到初始位置O点，故位移大小为0 振子一个周期内通过的路程为4A，故0～10s内通过的路程。 （2）弹簧振子的回复力F＝－kx 根据牛顿第二定律，有－kx＝ma 振子加速度为 即a与x成正比，所以。 【变式2】．（25-26高二上·山东日照·期末）如图所示，一边长为a的正方体木块竖直漂浮在密度为的液体中，木块上的M、O、N三点在同一竖直线上，且M、N关于O点对称。当木块静止时O点所在的水平面恰好与液面相平。现缓慢下压木块，使M点所在的水平面与液面相平。由静止释放，木块在竖直方向做简谐运动。已知运动过程中木块所受浮力的最大值为、最小值为，重力加速度为g，不计一切阻力和木块的转动。求： (1)木块的回复力大小与位移大小的比值k； (2)木块做简谐运动的振幅A。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设静止时木块浸入液体的深度为d，以平衡位置（O点与液面相平）为原点，竖直向下为正方向，在平衡位置可知 木块向下的位移为x，可知 则 故木块的回复力大小与位移大小的比值为 （2）在最大浮力处，可知 在最小浮力处，可知 解得 【变式3】．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图所示，在竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于P点，另一端经光滑孔钉Q连接质量为m的小球A，该球穿过固定的光滑竖直直杆（足够长），初始时为静止状态。间距为弹力绳原长，与杆的距离为。弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，已知重力加速度为。 (1)求弹力绳与竖直杆间的夹角； (2)给小球A一个向下的冲量，开始计时，证明小球A的运动为简谐运动。 【答案】(1)45° (2)见解析 【详解】（1）设此时弹力绳的伸长量为，小球受到的重力为，小球受到直杆的支持力为，小球所受弹力绳的拉力为，弹力绳与竖直杆的夹角为，孔钉到竖直杆的距离为，依题意 对小球A受力分析如图所示 可得 根据胡克定律 可得 由几何关系可得 联立解得 所以 （2）小球向下离开平衡位置为时所受的指向平衡位置的回复力方向向上，与位移方向相反，大小为 符合简谐运动的回复力特点，因此小球以初始位置为平衡位置做简谐运动。 一、单选题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示为某物体做简谐运动的振动图像，关于物体的振动下列说法正确的是（   ） A．物体振动的振幅为4cm B．物体振动的周期为0.4s C．0.2s～0.4s过程物体沿x轴正方向运动 D．0.4s～0.6s过程物体运动的速度在减小 【答案】D 【详解】A．物体振动的振幅为，故A错误； B．物体振动的周期，故B错误； C．0.2s～0.4s过程物体沿x轴负方向运动，故C错误； D．0.4s～0.6s过程物体逐渐远离平衡位置，物体运动的速度在逐渐减小，故D正确。 故选D。 2．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）如图甲所示，直立的轻弹簧一端固定在地面上，另一端拴住一个物块。现让该物块在竖直方向做简谐运动，从物块所受合力为零开始计时，取向上为正方向，其简谐运动的位移—时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当t=0.50s时，物块对弹簧的弹力最小 B．在t=0.25s和t=0.75s两时刻，弹簧的弹力大小相等 C．在0.25s~0.50s内，物块做加速度逐渐增大的加速运动 D．在0.25s~0.50s内，物块的动能和弹簧的弹性势能之和增大 【答案】D 【详解】A．当t=0.50s时，物块在平衡位置处，加速度为零，弹簧的弹力等于物块重力，弹力既不是最小也不是最大，A错误； B．在t=0.25s和t=0.75s两时刻，物块相对平衡位置的位移大小相等，但弹簧的形变量不同，即弹簧的弹力不相等，B错误； CD．在0.25s~0.50s内，物块从最高点向平衡位置运动，相对平衡位置的位移逐渐减小，则物块所受合力逐渐减小，加速度减小，即物块做加速度逐渐减小的加速运动，此过程中，物块的重力势能减小，所以物块的动能与弹簧的弹性势能之和增大，C错误、D正确。 故选D。 3．（25-26高二上·山东青岛·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 【答案】B 【详解】振子振动的振幅A=0.1m，周期为T=1s，则可知，1.25s内小球的路程为 故选B。 4．（25-26高二上·云南楚雄·期末）如图所示，弹簧竖直固定在地面上，一小球从它的正上方A点自由下落，到达B点开始与弹簧接触，到达C点速度减为零，之后又回到A点，如此反复，B为AC的中点，下列说法正确的是（　　） A．小球做简谐运动，平衡位置为B点 B．小球从A下落到C的过程中，加速度先竖直向下且保持不变，后竖直向上且一直增大 C．弹簧增加的弹性势能等于小球减少的动能 D．小球在下落过程中，重力的功率先增大后减小 【答案】D 【详解】A．小球从A运动到B的过程中只受重力作用，加速度不变，小球做匀变速直线运动，故小球的运动不属于简谐运动，A错误； B．小球从A运动到B的过程中加速度不变，从B运动到C的过程中，加速度先减小后增大，故B错误； C．小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧增加的弹性势能等于小球减少的机械能，故C错误； D．小球在下落过程中，速度先增大后减小，重力的功率先增大后减小，故D正确。 故选D。 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　） A．小球a一定不会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为 C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 【答案】D 【详解】A．分析小球a的受力，当小球静止时，受重力、弹簧向下的弹力和细线向上的拉力，当小球b向上运动时，当弹簧由拉伸变为压缩时，给小球a的弹力变为向上，向上的弹力可能大于小球a的重力，小球a可能运动，A错误； B．小球b静止时的位置为平衡位置，将小球b竖直下拉长度l后由静止释放，故小球b的振幅为l，B错误； CD．设小球b静止时，弹簧的伸长量为，有，若小球b始终做简谐运动，则小球a必须始终保持静止，当小球b上升到最高点时，弹簧给小球a的弹力向上，且有，根据简谐运动的知识可知，小球b的速度为零时的加速度大小相等，即当小球b在最高点和最低点时有 解得，C错误，D正确。 故选D。 6．（25-26高二下·安徽六安·开学考试）如图所示，水平地面上放置着用竖直轻质弹簧拴接的物块A、B，弹簧的劲度系数为k，A的质量为m，B的质量为M，重力加速度为g。用力向下缓慢压物块A至某一位置，放手后物块A在竖直方向做简谐运动，物块A运动到最高点时，物块B恰好不离开地面，下列说法正确的是（　　） A．物块A的动能最大时，弹簧的弹性势能为0 B．物块A做简谐运动的振幅为 C．物块A的最大加速度为g D．物块B对地面的最大压力为 【答案】D 【详解】A．物块A处于平衡位置时动能最大，A的平衡位置满足：弹簧弹力等于A的重力，即，弹簧的压缩量为，弹性势能不为0，A错误； B．A在最高点时，B恰好不离开地面，说明弹簧拉力，弹簧处于伸长状态，伸长量，物块A做简谐运动的振幅为，B错误； C．简谐运动中，最低点和最高点的加速度大小相等，均为最大值，最高点时 ，C错误； D．最低点时，设B对地面的压力为，地面对B的支持力为，根据牛顿第三定律 此时弹簧的弹力为，物块B 处于平衡状态 研究物块A，根据牛顿第二定律 解得，D正确； 故选D。 7．（25-26高二上·浙江宁波·期末）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，弹簧的形变在弹性限度内，A球做周期为T的振动，振幅为d，下列说法正确的是（　　） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为g C．小球A从最低点运动到最高点的过程中，弹簧弹力的冲量大小为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为4mgd 【答案】C 【详解】A．当弹力等于A球的重力时，加速度为零小球A向上的速度最大，此时弹簧仍处于拉伸状态，故A错误； B．未剪断细线前，由平衡条件可知弹簧弹力大小为，剪断细线的瞬间，细线的拉力瞬间变为零，弹簧的弹力不突变，则小球A的加速度大小为，故B错误； C．规定向上为正方向，小球A从最低点运动到最高点的过程中，根据动量定理有 解得弹簧弹力的冲量大小为，故C正确； D．小球A运动到最低点时，弹簧拉伸量为 小球A在平衡位置时，弹簧拉伸量为 因此振幅 解得 则小球A运动到最低点时，弹簧的弹性势能为，故D错误。 故选C。 8．（24-25高二上·广西桂林·期末）用手机和轻弹簧制作的振动装置如图甲所示。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以竖直向下为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．t=0时，弹簧处于原长状态 B．t=0.4s时，手机在向下运动 C．t=0.6s时，手机在平衡位置上方 D．从t=0.2s至t=0.4s，手机的动能减小 【答案】B 【详解】A．由题图乙知，时，手机的加速度为0，由牛顿第二定律手机所受的合力为零。此时，手机受到竖直向下的重力和竖直向上的弹簧弹力作用，二力平衡，即弹簧的弹力等于重力，因此，弹簧处于伸长状态，故A错误。 B．由图乙可知，在t=0.2s时，手机的加速度为正向最大，说明手机位于最高点。在t=0.6s时，手机的加速度为负向最大，说明手机位于最低点。t=0.4s时，手机的加速度a=0，正处于从最高点向最低点运动的过程，经过平衡位置，因此，在t=0.4s时，手机的速度方向竖直向下，故B正确； C．在t=0.6s时，手机的加速度为负向最大，方向竖直向上。根据简谐运动的特点，加速度方向总是指向平衡位置，此时手机的位移为正向最大，即处于平衡位置下方最低点，故C错误； D．从t=0.2s至t=0.4s，手机从最高点运动到平衡位置。在最高点时（t=0.2s），手机的速度为零，动能为零。在平衡位置时（t=0.4s），手机的速度最大，动能最大，则在此过程中，手机的动能逐渐增大，故D错误。 故选B。 二、多选题 9．（25-26高二上·浙江杭州·期末）如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，。若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法中正确的是（   ） A．振动周期是1s，振幅10cm B．从B运动到O过程中速度增加，加速度减小 C．经过两次全振动，振子通过的路程是40cm D．任何1s时间内振子通过的路程为20cm 【答案】BD 【详解】A．振动周期是T=2s，振幅A=10cm，A错误；     B．从B运动到O过程中加速度向右指向O点，则速度增加，位移减小，回复力减小，加速度减小，B正确； C．经过两次全振动，振子通过的路程是s=2×4A=80cm，C错误； D．任何1s时间内振子通过的路程为2A=20cm，D正确。 故选BD。 10．（25-26高二上·河南·月考）小型四旋翼无人机“蜂鸟-1号”质量为m，在无风的密闭室内悬停于某高度O处，当无人机受扰动偏离O点时，飞控系统自动调整旋翼转速，使无人机在竖直方向做简谐运动，周期为T，振幅为A，忽略空气阻力和机身形变，无人机做简谐运动的周期 （k为常数），下列说法正确的是（　　） A．无人机在振动过程中机械能守恒 B．若无人机搭载的设备质量增加，其振动周期将减小 C．若t=0时刻无人机位于O点且向上运动，取竖直向上为正方向，振动方程可表示为 D．在无人机从最低点向O点运动的过程中，位移的绝对值减小，速度增大，加速度减小 【答案】CD 【详解】A．无人机的机械能变化取决于升力做功，升力是空气对无人机的外力，振动过程中升力做功，机械能不守恒，故A错误； B．简谐运动周期公式为，总质量m增大时，周期会增大，故B错误； C．对于无人机在O 点（x=0），向上运动（速度方向为正）。振动方程一般形式为x= ， 时，，可知 推出，因此振动方程为故C正确； D．简谐运动中，从最大位移处向平衡位置运动时，速度大小增大，回复力减小，加速度减小，故D正确。 故选CD。 11．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图所示，质量为m的弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，振动到最高点时弹簧恰好为原长，已知轻质弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。下列判断正确的是（　　） A．弹簧振子的振幅为 B．弹簧振子在最低点时受到的弹力大小为2mg C．弹簧的最大弹性势能为 D．弹簧振子的最大动能为 【答案】BC 【详解】A．平衡位置满足 弹簧伸长量为 由于最高位置恰好为弹簧原长，所以弹簧振子的振幅为，故A错误； B．由于振幅为 最高点到最低点的高度差为 最低点弹簧弹力为，故B正确； C．最高点弹簧为原长，所以弹性势能为0，根据机械能守恒，最高点和最低点，动能均为0，重力势能全部转化为弹性势能，为，故C正确； D．平衡位置时，动能最大。从最高点到平衡位置，重力势能减少 减少的重力势能转化为动能和弹性势能，所以最大动能小于，故D错误。 故选BC。 12．（25-26高二上·湖北·期末）在物理实验室的力学探究实验中，如图所示，研究人员将物体A置于物体B上，把轻质弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，让A和B一起在光滑水平面上做往复运动（不计空气阻力），且运动过程中A、B始终保持相对静止。已知A的质量为m，B的质量为M，弹簧劲度系数为k，A、B间动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．A对B的静摩擦力大小不变 B．弹簧形变量为x时，AB间的静摩擦力大小为 C．A、B做简谐运动的振幅的最大值为 D．当AB向平衡位置运动时，B对A的静摩擦力对A做正功 【答案】BCD 【详解】A．A、B一起做简谐运动，加速度随位移变化，A的加速度由B对它的静摩擦力提供。因为加速度大小和方向都在变化，所以静摩擦力的大小和方向也会变化。A错误。 B．当弹簧形变量为时，对A、B整体 得 对A，静摩擦力提供加速度有，B正确。 C．A、B间最大静摩擦力为 对应最大加速度 整体最大加速度由最大振幅A决定，即 解得，C正确。 D．当AB向平衡位置运动时，速度方向指向平衡位置，加速度方向也指向平衡位置。A的加速度由B对A的静摩擦力提供，因此静摩擦力方向与速度方向相同，对A做正功。D正确。 故选BCD。 13．（25-26高二上·广东茂名·期末）如图为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时，水位恰好在点，若鱼咬钩后将鱼漂往下拉了一小段距离后松口，鱼漂在、之间的上下振动形成简谐运动。关于此振动过程，下列说法正确的是（　　） A．水位在点时，鱼漂的速度最大 B．水位由点到点，鱼漂的位移向下且逐渐变大 C．水位到达点时，鱼漂的速度为零 D．鱼漂由上往下运动过程中，加速度越来越大 【答案】AC 【详解】A．点是平衡位置，所以水位在点时鱼漂的速度最大，故A项正确； B．水位由点到点，说明鱼漂向上运动，位移方向向上且逐渐变大，故B项错误； C．水位到达点时，到达最大位移处，鱼漂的速度为零，故C项正确； D．鱼漂由上往下运动时，平衡位置为点，若从点上方向下运动，加速度会经历先变小后反向变大的过程，故D项错误。 故选AC。 14．（25-26高二上·山东东营·期末）如图，质量均为1kg的物块a、b、c，其中a、b与劲度系数为N/m的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上。物块c在物块a正上方由静止释放，与a碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后组合体ac做简谐运动的过程中物块b恰好没有脱离地面。忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内（）。下列正确的是（　　） A．组合体ac做简谐运动的振幅为0.3m B．物块b与地面间的最大作用力为60N C．a和c碰撞过程中损失的能量为8J D．开始释放物块c时，c离a的高度为0.8m 【答案】ABD 【详解】A．设三个物块的质量。 由题意，组合体ac做简谐运动的过程中物块b恰好没有脱离地面，即组合体ac上升到最高位置时，弹簧弹力大小恰好为mg，则伸长量为 组合体ac运动至平衡位置时，弹簧的压缩量为 所以，组合体ac做简谐运动的振幅为，故A正确； B．当组合体ac下降到最低位置时，弹簧压缩量最大，物块b与地面间的最大作用力最大，为，故B正确； C．初始时刻弹簧的压缩量为 所以组合体ac刚开始向下运动时和上升到最高位置时弹簧的弹性势能相同，设ac刚开始向下运动时的速度大小为v1，根据机械能守恒定律可得 解得 设c与a碰撞前瞬间c的速度大小为v0，对a、c的碰撞过程，根据动量守恒定律有 解得 所以a和c碰撞过程中损失的能量，故C错误； D．设刚开始释放物块c时，c离a的高度为h，根据机械能守恒定律有 解得，故D正确。 故选ABD。 15．（25-26高二上·甘肃陇南·月考）一水平弹簧振子沿x轴方向做简谐运动，平衡位置在坐标原点，向x轴正方向运动时弹簧被拉伸，振子的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为0.987N/m，振子的质量为0.1kg，下列说法正确的是（　　） A．在0~4s内振子完成了2次全振动 B．图中A点对应时刻振子的加速度大小为2.0m/s2 C．图中A点对应时刻振子的加速度方向指向x轴的正方向 D．振子的最大加速度为4.935m/s2 【答案】AD 【详解】A．由图可知振子振动的周期是2s，所以在0~4s内振子做了2次全振动，故A正确； BC．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小 方向指向平衡位置，即x轴的负方向。 加速度大小 ，加速度方向沿x轴的负方向，故BC错误； D．振子的最大加速度为，故D正确。 故选AD。 三、解答题 16．（25-26高二上·江苏镇江·期末）如图所示，一轻质弹簧上端固定，下端悬挂一小球，已知小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，用手托着小球从原长位置A点静止释放，小球做简谐运动第一次回到A点所用时间为t，求： (1)小球简谐运动的振幅； (2)此过程中弹簧的冲量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球在平衡位置时 所以小球简谐运动的振幅是 （2）规定竖直向下为正方向，小球在释放后到第一次回到A点，动量变化量为0，由动量定理可得弹簧的冲量和重力的冲量矢量和为0，即 解得此过程中弹簧的冲量大小为 17．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动的图像如图乙所示，完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的振动方程； (2)该振子在前40s内运动的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图乙可知，振幅，周期 弹簧振子的振动方程为 （2）因 而振子在一个周期内通过的路程是，所以振子在前40s内运动的总路程 18．（25-26高二上·山东烟台·期中）如图所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的深水筒中。刚开始时木筷在水中保持静止，现把木筷向上提起一小段距离后放手，木筷此后在水中上下振动。已知水的密度为，木筷的横截面积为S，木筷静止时浸入水中的深度为，重力加速度为，水的黏滞阻力忽略不计。 (1)若，求木筷在运动过程中的最大加速度大小； (2)证明木筷做简谐运动。 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）木筷静止在水中时有 木筷刚释放瞬间加速度最大，有 解得 （2）规定向下为正方向。木筷离开平衡位置为x时，木筷受到的浮力 合力为 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，三个小物块a、b、c的质量分别为、和。物块b、c在竖直方向上通过劲度系数的轻弹簧相连，a在b的正上方，开始时物块a、b、c均静止。现让a自由下落，物块a、b碰后粘在一起，当物块ab运动到最高点时，物块c对地面的压力恰好为0。已知弹簧具有的弹性势能，式中为弹簧的形变量，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度。求： (1)物块ab做简谐运动的振幅； (2)a释放前距b的高度； (3)已知简谐运动的周期，求物块ab从最低点运动到弹簧恢复原长所用的最短时间。 【答案】(1) (2)0.75m (3) 【详解】（1）对物块ab受力分析，处于平衡位置时，根据胡克定律，有 解得 物块ab在最高点时，对物块c受力分析，物块c在重力和弹簧弹力的作用下处于平衡状态，根据胡克定律，有 解得 物块ab做简谐运动的振幅为 （2）设物块a释放前距b的高度为，碰到b时的速度为v，根据动能定理，得 对物块ab整体分析，设碰后共速为，根据动量守恒定律，有 a碰到b前，对物块b受力分析，处于平衡位置时，根据胡克定律，有 根据机械能守恒定律，有 解得 （3）物块ab做简谐运动的周期为 物块ab在最低点时，简谐运动的相位满足 解得 物块ab在弹簧恢复原长时，简谐运动的相位满足 解得 物块ab从最低点运动到弹簧恢复原长的相位差为 最短时间为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $