2026年山东省泰安市新泰市汶城中学中考数学考前模试题

**基本信息** 本试卷以科技前沿（如0.8飞米光谱测量）和生活实践（如汽车油箱油量、矩形停车场设计）为情境，覆盖代数、几何、函数等核心知识，通过基础题、综合题及创新题（如“反差点”新定义）梯度设计，考查抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、图形变换、科学记数法等|结合AI图标考轴对称与中心对称，体现数学眼光| |填空题|5/20|因式分解、方程整数解、规律探究|第15题动点坐标规律，考查逻辑推理| |解答题|8/90|函数应用、几何综合、新定义问题|23题“反差点”新定义，融合二次函数与创新意识；20题停车场面积最值，体现模型观念|

九年级数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．0 C．1 D． 2．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．上海交大科研团队利用电光梳与回音壁散斑图案结合，实现了0.8飞米分辨率的光谱测量，已知1飞米等于0.000000000000001米，则0.8飞米可用科学记数法表示为（　　） A．0.8×10﹣14米 B．8×10﹣14米 C．8×10﹣15米 D．8×10﹣16米 4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A．2a2+3a2＝6a2 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（3a）2＝3a2 6．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＞0 D．a+b＜0 7．下列说法正确的是（　　） A．变量x，y满足y＝7﹣5x，则y是x的函数 B．变量x，y满足，则y是x的函数 C．变量x，y满足|y|＝x，则y是x的函数 D．变量x，y满足y2＝x，则y是x的函数 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y的值为（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … A．15 B．10 C．7 D．6 9．若分式有意义，则m满足的条件是（　　） A．m≠2 B．m＞2 C．m≠0 D．m＜2 10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＞0； ③4a﹣2b+c＜0； ④若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）（m＞0）在抛物线上，则y1＜y2． 其中包含所有正确结论的是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．分解因式：3m2﹣6m+3＝　 　 ． 12．关于x的方程． （1）若b＝3，则该方程的解为　 　 ； （2）若该方程的解为整数，则满足条件的所有整数b的和是　 　 ． 13．若关于x的方程2x2+3mx﹣1＝0的一个根为﹣1，则另一个根为　 　 ． 14．一支部队第一天行军4小时，第二天行军5小时，两天共行军196千米，如果设第一天每小时行军x千米，第二天每小时行军y千米，依题意，可列方程为　 　 ． 15．如图，在直角坐标系中，设一动点自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处…如此继续运动下去，设Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…则x1+x2+…+x2023+x2024＝　 　 ． 三、解答题：本题共8小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（10分）阅读理解：解不等式（x+1）（x﹣3）＞0． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得x＞3；解不等式组，得x＜﹣1． ∴原不等式的解集为x＞3或x＜﹣1． 问题解决：根据以上材料，解不等式（x﹣5）（x+6）＜0． 17．（10分）下面是小华化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 （1）小华的化简过程从第　 　 步开始出现错误； （2）请你写出正确的化简过程，并从2，3，4中选择一个合适的数代入求值． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点D，C，点A在x轴的正半轴上，若将△CAD沿直线AC折叠，点D恰好落在y轴正半轴上的点B处． （1）求B点的坐标以及直线AB的解析式； （2）若点F（m，n1）在线段AB上，点G（m﹣1，n2）在直线CD上，求n1﹣n2的最小值； （3）点P是第一象限内一点，点Q是坐标平面内一点，以点A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形时，请求出点P的坐标． 19．（12分）汽车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶路程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km． （1）写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （2）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？ （3）若A、B两地的路程约有230km，当油箱中剩余油量少于5L时，汽车会自动报警，则这辆汽车由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车　 　 报警．（填“会”或“不会”） 20．（11分）如图，某酒店后面有一块梯形空地ABCD，其中AB＝40m，CD＝200m，∠C＝∠D＝45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在边AD、BC上，设EH＝x，矩形停车场EFGH的面积为Sm2． （1）用含x的式子表示EF的长为　 　 m； （2）EH的长x的取值范围是　 　 ； （3）求修建的矩形停车场EFGH的面积S的最大值． 21．（11分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象分别交于点A（﹣1，2），点B（﹣4，n），与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求此一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 22．（13分）已知二次函数y＝x2+mx+4﹣m（m为常数）． （1）若该二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1）， ①求该二次函数的表达式； ②求x的取值范围，使得y随x的增大而增大； （2）若对于任意实数x，都有x2+mx+4﹣m≥3x+2，且二次函数y＝x2+mx+4﹣m的图象与直线y＝a交于M，N两点，若，求a的值． 23．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为某函数图象G上不重合的两点，若有y2﹣y1＝x1﹣x2，则称点Q与点P关于图象G互为“反差点”． （1）直线y＝x﹣3上任意一点关于该直线都　 　 （填“有”或“没有”）“反差点”； （2）已知抛物线G：y＝x2+2x． ①求抛物线顶点关于G的“反差点”坐标； ②抛物线G上任意一点P关于G是否都有“反差点”，如有，请说明理由，如否，请求出没有“反差点”的P点坐标； ③将抛物线G在y轴右侧的部分沿x轴翻折，y轴左侧的部分不变，得到新的函数图象W，若图象W上一点M（m，n）关于图象W有两个“反差点”，请直接写出m的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A． D D C B D A B A C 11． 3（m﹣1）2 12． （1）x＝2； （2）9． 13． ． 14． 4x+5y＝196 15． 1012． 16． ﹣6＜x＜5． 解：（1）根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或， 解不等式组，不等式组无解， 解不等式 ，解得﹣6＜x＜5， 所以原不等式的解集为：﹣6＜x＜5． 17． （1）二； （2）化简过程如下： 原式 ＝x+2， ∵x+2≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0， ∴x≠﹣2，2，3， 当x＝4时，原式＝4+2＝6． 解：（1）化简过程中，第二步出现错误，． 故答案为：二； （2）化简过程如下：原式 ＝x+2， ∵x+2≠0，x﹣2≠0，x﹣3≠0， ∴x≠﹣2，2，3， 当x＝4时，原式＝4+2＝6． 18． （1）B（0，4），yx+4； （2）n1﹣n2的最小值为； （3）P点坐标为（7，3）或（4，7）或（，）． 解：（1）当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 当y＝0时，x＝8， ∴D（8，0）， 由对称可知AB＝AD，CB＝DC＝10， ∴OB＝4， ∴B（0，4）， 在Rt△AOB中，AB2＝OA2+BO2，即（8﹣AO）2＝OA2+42， 解得OA＝3， ∴A（3，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+4； （2）∵点F（m，n1）在线段AB上， ∴n1m+4， ∵点G（m﹣1，n2）在直线CD上， ∴n2（m﹣1）﹣6， ∴n1﹣n2m+4（m﹣1）+6m， ∵0≤m≤3， ∴当m＝3时，n1﹣n2的最小值为； （3）当PB⊥AB时，过P点作PF⊥y轴交于F， ∵∠PBA＝90°， ∴∠PBF+∠ABO＝90°， ∵∠PBF+∠FPB＝90°， ∴∠ABO＝∠FPB， ∵PB＝AB， ∴△PBF≌△BAO（AAS）， ∴PF＝OB＝4，BF＝OA＝3， ∴P（4，7）； 当BA⊥PA时，过P点作PE⊥x轴交于E点， ∴△ABO≌△PAE（AAS）， ∴OA＝PE＝3，AE＝BO＝4， ∴P（7，3）； 当BP⊥AP时，过P点作PH⊥x轴交于H点，过B点作BG⊥PH交于G点， 设P（x、y）， ∴△APH≌△PBG（AAS）， ∴PH＝BG，PG＝AH， ∴y＝x，4﹣y＝x﹣3， 解得x＝y， ∴P（，）； 综上所述：P点坐标为（7，3）或（4，7）或（，）． 19． （1）y＝50﹣0.1x，自变量x的取值范围为0≤x≤500； （2）30L； （3）会． 解：（1）根据题意，可得y与x的函数关系式为y＝50﹣0.1x， 由题意得y≥0，x≥0， 因此50﹣0.1x≥0， 解得x≤500， ∴0≤x≤500． （2）将x＝200代入y＝50﹣0.1x得 y＝50﹣0.1×200＝30（L）， 答：油箱中还有30（L）汽油． （3）A，B两地往返总路程为230×2＝460（km）， 令y＝5，代入y＝50﹣0.1x得5＝50﹣0.1x， 解得x＝450， ∵450＜460， ∴若A、B两地的路程约有230km，当油箱中剩余油量少于5L时，这辆汽车由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车会报警． 故答案为：会． 20． （1）（200﹣2x）； （2）0＜x≤80； （3）该矩形停车场的最大面积为5000m2． 解：（1）如图，延长DA，CB交于点M， 根据题意可知，△CDM，△EFM，△DEH均为等腰直角三角形， ∵AB＝40m，CD＝200m， ∴DM＝100m， 由EH＝xm，则DEEHx（m）， ∴EM＝DM﹣DE＝100x（100﹣x）m， ∴EFEM＝（200﹣2x）m， 故答案为：（200﹣2x）； （2）由题意，矩形下底EF长度必须大于等于梯形上底AB， ∴200﹣2x≥40， ∴x≤80， ∵x＞0， ∴0＜x≤80． 故答案为：0＜x≤80； （3）由题意，∴S矩形EFGH＝EH•EF＝x（200﹣2x）＝﹣2x2+200x＝﹣2（x﹣50）2+5000， ∵﹣2＜0，0＜x≤80， ∴当x＝50时，四边形EFGH的面积最大，最大面积为5000m2， 答：该矩形停车场的最大面积为5000m2． 21． （1）yx； （2）． 解：（1）将点A（﹣1，2）代入中， 得2，解得m＝﹣2． 所以反比例函数解析式为y． 将B（﹣4，n）代入y中，得n； 则B点坐标为（﹣4，）． 将A（﹣1，2）、B（﹣4，）分别代入y＝kx+b中， 得，解得． ∴一次函数的解析式为yx； （2）当y＝0时，x0，解得x＝﹣5， ∴C点坐标（﹣5，0）， ∴OC＝5． S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC •OC•|yA|•OC•|yB| 5×25 ＝5 ． 22． （1）①y＝x2+5x﹣1； ②当时，y随x的增大而增大； （2） 解：（1）①二次函数的图象与y轴交于点（0，﹣1）， ∴二次函数的图象过点（0，﹣1）， ∴4﹣m＝﹣1， ∴m＝5， ∴y＝x2+5x﹣1； ②∵二次函数的对称轴为直线，a＝1＞0， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）∵x2+mx+4﹣m≥3x+2恒成立，即x2+（m﹣3）x+2﹣m≥0恒成立， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4（2﹣m）≤0， ∴（m﹣1）2≤0， ∴m＝1， ∴y＝x2+x+3， 联立y＝x2+x+3与y＝a，可得x2+x+（3﹣a）＝0， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴1﹣4（3﹣a）＝3， ∴若，则． 23． （1）没有； （2）①（﹣2，0）； ②没有，； ③或或． 解：（1）设点Q（x2，y2），P（x1，y1）为y＝x﹣3上不重合的点， y2﹣y1＝x1﹣3﹣（x2﹣3）＝x1﹣x2≠x2﹣x1， 则y＝x﹣3没有反差点， 故答案为：没有； （2）①y＝x2+2x，顶点坐标为（﹣1，﹣1）， 设顶点关于G的“反差点”坐标（t，t2+2t）， 则t2+2t﹣（﹣1）＝﹣1﹣t， 解得t1＝﹣1（舍去），t2＝﹣2， 故“反差点”坐标为（﹣2，0）； ②设任意一点P（x1，y1），反差点Q（x2，y2）， ∴y2﹣y1＝x1﹣x2， 则， ∴（x1+x2+3）（x2﹣x1）＝0， 若x1≠x2，则x1+x2＝﹣3，则存在反差点； 若x1＝x2，则时，两点重合，则没有反差点； ∴没有“反差点”； ③， ∵设M（m，n）关于图象W的“反差点”Q（x，y）， ∴y﹣n＝m﹣x， 则y＝﹣x+m+n， ∵M（m，n）关于图象W有2个“反差点”， ∴直线y＝﹣x+m+n与图象W有2个与M不重合的不同交点， 如图，在l1和l2之间的直线均满足条件，此时直线与y＝x2+2x（x＜0）有两个不同交点，与y＝﹣x2﹣2x（x≥0）有一个交点， 当m＞0时，n＝﹣m2﹣2m； 即y＝﹣x﹣m2﹣m， 对于x＜0的部分，， 则x2+3x+（m2+m）＝0， 此时存在两个交点，则令Δ＝32﹣4（m2+m）＝9﹣4m2﹣4m＞0得，， 且，由于0＜Δ≤1，则此时x＜0， 即， 当m＜0时，n＝m2+2m； 即y＝﹣x+m2+3m， 对于x＜0的部分，， 则x2+3x﹣（m2+3m）＝0， 此时存在两个交点，则令Δ＝32+4（m2+3m）＝（2m+3）2＞0得，， 且x1＝m，x2＝﹣m﹣3＜0，则﹣3＜m， 对于x≥0的部分，， 则x2+x+（m2+3m）＝0， Δ＝12﹣4（m2+3m）＞0得，或， 且x1＝﹣m，x2＝﹣m﹣3 由于m＜0，则x1＝﹣m＞0，即此时在x＞0范围内一定有一个交点， 则或， 综上所述，或，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/8 8:16:40；用户：taianliu20；邮箱：taianliu2009@163.com；学号：4961344 第15页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $