专题03 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾的三种模型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角三大核心模型（A字、8字、燕尾），通过模型定义-原理证明-变式应用的逻辑链条，系统构建角转化方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型|3题（含折叠/剪角）|外角性质推导∠1+∠2=∠A+180°，内外角转化|从静态模型到折叠动态情境，体现图形变换中的角关系| |8字模型|3题（含角平分线）|对顶角性质得∠A+∠B=∠C+∠D，角平分线叠加公式|基础模型到角平分线变式，构建角关系递推逻辑| |燕尾模型|3题（含飞镖拓展）|延长线构造外角证∠BCD=∠A+∠B+∠D，角平分线定量关系|从凹四边形到角平分线应用，深化复杂图形角转化|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03三角形中的倒角模型之A字、8字、 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型（难） 题型2三角形中的倒角模型之“8”字模型（难） 题型3三角形中的倒角模型之燕尾模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型 1. 【答案】(1)解：如图所示： B F 图1 ∠1=∠A+∠EFA=90°+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF=90°+ ,∴.∠1+∠2=(90°+∠EFA)+(90°+∠AEF)=180°+∠EFA+∠AEF :△ABC为直角三角形，∠A=90° ∴.∠EFA+∠AEF=180°-∠A=90° ∠1+∠2=180°+90°=270°， 故答案为：270°： (2)如图所示： 1/16 上好每一堂课 燕尾的三种模型 ∠AEF 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在 中，由外角性质可知： 图2 △AEF ∠I=∠A+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF: .∠A=60° ∴.∠I+∠2=（∠A+∠EFA)+(∠A+∠AEF)=(LA+LEFA+∠AEF)+∠A =180°+60° =240° 故答案为：240° (3)解：由(1)、(2)中思路，由三角形外角性质可知： ∠I=∠A+∠EFA,∠2=∠A+∠AEF: ∴.∠I+∠2=（∠A+∠EFA)+(∠A+∠AEF) =(∠A+∠EFA+∠AEF)+∠A =180°+∠A, .∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A, 故答案为：∠1+∠2=180°+∠A: (4)∠1+∠2=2∠A. 理由：连接AP 是由 折叠得到的， P 图3 △EFP △EFA .∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF, .∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF .∠1+∠2=(180°-2∠AFE)+(180°-2∠AEF)=360°-2（∠AFE+∠AEF), 又：∠AFE+∠AEF=180°-∠A, 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com .∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A, ∴.∠1+∠2与∠A的关系为：∠1+∠2=2∠A 2. 【答案】(1)解：：点D恰好在BC上， C,D,N三点在一条直线上， ∴∠I=∠MDN+∠ACB 由折叠可知，MD=MC,∠MDN=∠ACB, .∠1=2∠ACB」 故答案为：∠1=2∠ACB (2)连接CD,如下图所示： M 27 B C 图2 由折叠可知，MD=MC, ∴.∠MDC=∠ACD 又，∠I=∠MDC+∠ACD, .∠I=2∠ACD 同理可得，∠2=2∠BCD, 又：∠ACD+∠BCD=∠ACB .∠I+∠2=2∠ACD+2∠BCD=2(LACD+∠BCD)=2LACB, ,∠ACB=35° .∠1+∠2=2×35°=70° (3)∠2-∠1=2∠ACB 证明：连接CD,如下图所示： D B 图3 由折叠可知，MD=MC, ∴.∠MDC=∠MCD. 3116 上好每一堂课 学科网·上好课 www.zxxk.com 又，∠I=∠MDC+∠MCD, .I=2∠MCD, 同理可得，∠2=2∠NCD, 又，∠NCD-∠MCD=∠ACB, ·.∠2-∠I=2LNCD-2∠MCD=2(∠NCD-∠MCD)=2LACB ∴.∠2-∠1=2∠ACB 3 【答案】(1)证明：~∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠1=∠A+∠4，∠2=∠A+∠3， ∴.∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3 .∠3+∠4+∠A=180°， ∴.∠1+∠2=180°+∠A 故答案为：∠4，∠3，∠A+∠4+∠A+∠3. (2)解：：∠1+∠2=180°+∠A,∠1=130°， .∠2-∠A=180°-∠1=180°-130°=50° 故答案为：50 (3解：P=0-4,程由如下： :BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线， :∠PBC=)∠DBC,∠PCB=∠BCE, 2 ∠P=180P-(∠PBC+∠PCB)=I80-(∠DBC+∠BcE). ,∠DBC+∠BCE=180°+∠A, :∠P=180°- 080+∠0=90 2< ◆题型2三角形中的倒角模型之“8”字模型 【答案】(1)证明：∠A+∠B+∠AOB=180°， ∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD, 4116 上好每一堂课 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A+∠B=LC+∠D (2)解：有3个，分别是ABCD,ABED,BEDC. (3)~BE平分∠ABC,DE平分∠ADC, ∴∠ABE=∠CBE,∠CDE=∠ADE 由(1)，同理可证得∠A+∠ABE=∠E+∠ADE, ∠C+∠CDE=∠E+∠CBE, ∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=∠E+∠ADE+∠E+∠CBE, .∠E=5(∠A+LC)」 2 5. 【答案】(1)证明：：∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC, ∴.∠A+∠D=∠C+∠B: (2):∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E, ∴·∠ADE=∠CDE,∠ABE=∠CBE, 由(I)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE, ∴∠A+∠C=2∠E ∠A=28°，∠C=32°， ∠E=30°： (3)∠A+2∠C=3∠E. 理由：∠CDE=ADC,∠CBE=写ABc, 3 .∠ADE=2LCDE,∠ABE=2∠CBE. 由(I)可得∠A+∠ADE=∠E+∠ABE,∠C+∠CBE=∠E+∠CDE, ∴.2∠C+2∠CBE=2∠E+2∠CDE, ∴.∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE, 6. 【答案】解：(1)~∠AOC=∠DOB,∠A+∠C+∠AOC=LD+∠B+LDOB=180°， ∴.∠A+∠C=∠B+∠D (2)(根据(1)可得∠C+∠CAE=∠E+∠CDEO,∠B+∠BDE=∠E+∠BAE②， 由①+②得∠C+∠CAE+∠B+∠BDE=∠E+∠CDE+∠E+∠BAE, :AE平分∠CAB,DE平分∠BDC, 5116 可学科网·上好课 www.zxxk.com ∴∠CAE=∠BAE,∠BDE=∠CDE, ∠C+∠B=2∠E, :∠C=30°，∠B=20°， ∠E=25° (i)4∠E=3∠C+∠B.理由如下： 根据(I)可得∠C+∠CAE=∠E+∠CDE,∠E+∠BAE=∠B+∠BDE :∠CaE=<CaB,∠CDE=4<BDC. ∠B4E=}<CAB,∠BDE-<BDC 4 ∠C+4CB=∠E+<BDC@,∠E+<CaB=∠B+}<BDC④. 4 @海<c+←c<E+ca=3zE+B0c{ .3∠C-∠E=3∠E-∠B. ∴.4∠E=3∠C+∠B ◆题型3三角形中的倒角模型之燕尾棋型 7. 【答案】解：(1)如图1，连接AD并延长至点H. ∴.∠BDC=∠BDH+∠CDH =∠BAD+∠B+∠CAD+∠C =∠BAC+∠B+∠C =86°+34°+24°=144°： E F G D B H B K 图1 图2 (2)如图2，连接AG并延长至点K, :BE,CF分别平分∠ABD,∠ACD 6/16 上好每一堂课 BBDC. 可学科网·上好课 www.zxxk.com :∠ABE=∠ABD=)x34=17,∠4CF=)∠ACD=)×24=12, 2 ∴.∠BGC=∠BGK+∠CGK =∠ABE+∠BAG+∠CAG+∠ACF =∠ABE+∠BAC+∠ACF =17°+86°+12°=115°， 故答案为：144；115 8. 【答案】(1)解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格 如图延长BC交AD于点E. E C D.∠A=84°∠B=35 ∴.∠CED=∠A+∠B =84°+35 =119°， 又∠D=30 ∴.∠BCD=∠CED+∠D=119°+30°=149°≠150° 所以，李师傅制作的这一个模具不合格 方法2：李师傅制作的这一个模具不合格. 如图，连接AC并延长AC至E. E 则∠BCE=∠B+∠BAC. ∠DCE=∠D+∠DAC」 又：∠BAD=84°，∠B=35°，∠D=30 ∴，∠BCD=∠BCE+∠DCE =∠B+∠BAC+∠D+∠DAC =∠B+∠D+∠BAD 7/16 上好每一堂课 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =35°+30°+84 =149°≠150°， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格. 方法3：李师傅制作的这一个模具不合格。 如图，连接BD 在 中， ,且 D·△ABD ∠A=84 ∠A+∠ABD+∠ADB=180 .∠ABD+∠ADB=96°， ∠ABC=35°，∠ADC=30°， ∠CBD+∠CDB=(∠ABD-∠ABC)+(∠ADB-∠ADC) =∠ABD+∠ADB-∠ABC-∠ADC =31, :在四边形ABCD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°， ∠BCD=149°≠150°， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格. (2):AB∥CD ∴.∠AEF+∠CFE=180 又：∠AEM=a,∠CFM=B .∠MEF+∠MFE=(∠AEF-∠AEM)+(∠CFE-∠CFM)=180°-(a+B) 又：∠EFM与∠FEM两个角的平分线交于点N ∠NEF=∠MEF,∠NFE=∠MFE ∠NEF+∠FE=CMEF+∠MFB)=90-a+m ∠ENF=180-(NEF+∠NFE)=90+a+P). 9. 【答案】解：(I)∠ABC=∠A+∠D+∠C 证明：如图，连接DB，,并延长至点E, 8/16 可学科网·上好课 www zxxk.com ,∠A+∠ADB=∠ABE,∠C+∠CDB=∠CBE, :∠ABC=∠ABE+∠CBE ,∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C, ∴.∠ABC=∠A+∠ADC+∠C: (2)如图，连接CF, E 由(I)可知LB=∠A+∠AFC+∠BCF,∠D=∠E+∠EFC+, ,∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90° ∴.I50°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF, .150°=90°+∠AFC+∠EFC=90°+∠AFE, .∠AFE=60°： (3)如图，在直线EN上取一点P,连接AP, M 3 N P E 由(2)可知∠B+∠D=150°=∠1+∠3+∠C+∠E, ,∠C+∠E=50° ∴.∠1+∠3=100° ,AM∥EN, ∠2=∠3， .∠1+∠2=100°， ∴.∠MAB=100° 故答案为：100° 9116 上好每一堂课 DCF, 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.C 2.A 3.C 4.D 5.B 二、填空题 6.115° 7. 270°1270度 8.30 9.80° 10.4∠P=3∠C+∠B 三、解答题 11. 【答案】(I)证明：延长CD交AB于点E,如图， B D ∠BDC=∠B+∠BED, ·.∠BDC>∠BED, :∠BED=∠A+∠C, ∴.∠BED>∠A, ∠BDC>∠A: (2)证明：延长CD交AB于点E,如图， 10/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B :∠BDC=∠B+∠BED,∠BED=∠A+∠C, ∴∠BDC=∠B+∠C+∠A. (3) ∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360°，证明如下： 连接AD,如图， B :∠B+∠BDA+∠BAD=180°，∠C+∠CDA+∠CAD=180°， ∴∠B+∠BDA+∠BAD+∠C+∠CDA+∠CAD=360°， ∴.∠BDC+∠B+∠C+∠BAC=360° 12.(25-26七年级下河北承德期末)已知线段AB与CD相交于点O,连接4AD,BC. 图1 图2 图3 (①)如图1，若∠A+∠D=85°，则∠B0C的度数为 ∠B+∠C的度数为. (2)如图2.若∠EA0=∠C,，∠EAD=∠D,求证：∠B=2∠D: (3)如图3，若∠DAP=∠BAP,∠DCP=∠BCP,∠B+∠D=90°，求∠P的度数. 【答案】()95°，85 (2)证明：在△AOE与△COB中，∠EAO+∠AE0+∠AOE=∠B+∠C+∠BOC=180°， .∠AOE=∠BOC」 .∠EAO+∠AEO=∠C+∠B, 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAO=∠C, ∴∠AEO=∠B, '∠EAD=∠D,∠AEO=∠EAD+∠D, ∴.∠AEO=2∠D .∠B=2∠D: (3)45° 【分析】(1)根据三角形内角和及对顶角可进行求解： (2)根据三角形内角和及对顶角相等可得∠EAO+∠AEO=∠C+∠B,则有∠AEO=∠B,然后根据三角形 外角的性质可进行求证； (3)由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P,然后可得∠B+∠D=2∠P,进而问题可求解. 【详解】(I)解：在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，且∠A+∠D=85°， :∠A0D=180°-（∠A+∠D)=95°， .∠AOD=∠B0C=95°， :∠B+∠C+∠B0OC=180°， .∠B+∠C=85°： （2)略 (3)解：如下图， D M O c B:∠DAP=∠BAP∠DCP=∠BCP .∠1=∠2，∠3=∠4， 由(1)得∠1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P, 两式相加，得∠1+∠4+∠B+∠D=∠2+∠3+2∠P, 即∠B+∠D=2∠P, ∠P=(B+∠D)-x90=45 2 13.(25-26七年级下河南洛阳期末)【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型. 12/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 6D40 7 D 图1 B 图2 【初步探索】 (1)如图1，已知∠1=40°，∠2=25°，∠3=33°，求∠4的度数. 【归纳结论】 (2)∠1、∠2、∠3和∠4的数量关系是 【深入探究】 (3)如图2，若∠5=46°，∠6=96°，∠1=∠2且∠3=∠4，直接写出∠7的度数. 【答案】(1)98 (2)∠4=∠1+∠2+∠3 3)146° 【分析】(1)连接AC并延长到点E,由三角形外角的性质可得∠BCE=∠2+∠BAE, ∠DCE=∠3+∠DAE,则可推出L4=∠I+∠2+∠3，据此代入求解即可： (2)由(1)可得答案： (3)由(1)得∠6=∠1+∠3+∠5，∠7=∠2+∠4+∠6，求出∠1+∠3的度数，则可得到∠2+∠4的度数， 据此可得答案， 【详解】(1)解：如图1所示，连接AC并延长到点E, A E D 图1 ∴∠BCE=∠2+∠BAE,∠DCE=∠3+∠DAE, ∴.∠4=∠BCE+∠DCE=∠2+∠BAE+∠3+∠DAE=∠1+∠2+∠3， .∠1=40°，∠2=25°，∠3=33°， .∠4=98°； 13116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解；由(1)可得∠4=∠1+∠2+∠3： (3)解：由(1)得∠6=∠1+∠3+∠5， ∠7=∠2+∠4+∠6」 .∠5=46°，∠6=96°， .∠1+∠3=50°， .∠1=∠2且∠3=∠4， .∠2+∠4=∠1+∠3=50°， .∠7=∠2+∠4+∠6=50°+96°=146° 14.(25-26七年级下福建泉州期末)如图1，AB与CD交于点E, D 4 E B B 图1 图2 图3 (L)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: (2)如图2，AD /BC,AF∥CD,，AE平分∠DAF,AF⊥BF,求证：∠C=2∠ABF: (3)如图3，AD∥BC,AN平分∠BAD,CN平分∠BCD,AN与CN交于点N,DM⊥AB,BM⊥CD, DM与BM交于点M,试探究∠M与∠N的数量关系，并证明你的结论。 【答案】()：∠A+∠D=180°-∠AED,∠B+∠C=180°-∠BEC, 又∠AED=∠BEC, ∠A+∠D=∠B+∠C; (2)设∠ABF=a,设BF与CD交于点G, D E G B AF⊥BF, .∠FAB=180°-90°-a=90°-a, ,AE平分∠DAF, ∴.∠DAB=∠FAB=90°-a, 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD∥BC, .∠ABC=∠DAB=90°-a, ∴.∠CBF=LABC-∠ABF=90°-2a, .AF∥CD .LBGE=∠F=90°， .∠BGC=180°-∠BGE=90°， .∠C=180°-90°-∠CBF=2a,即∠C=2∠ABF; (3)∠M+2∠W=180°，理由如下： 设∠DAW=∠I,∠DCN=∠2， :AN平分∠BAD,CN平分∠BCD, .∠DAE=2∠1，∠BCE=2∠2， :AD∥BC, .∠ADE=∠BCE=2∠2， 由(1)的结论得∠DAN+∠ADC=∠DCN+∠N,即∠I+2∠2=∠2+∠N, .∠N=∠1+∠2. 在AAED中，∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA)=180°-2（∠I+∠2）， DM⊥AB,BM⊥CD, 由四边形内角和定理知∠M=360°-90°-90°-∠AEC=180°-∠AEC=∠AED, .∠M=180°-2（∠1+∠2）， .∠M=180°-2∠N, ∴∠M+2∠W=180° 【分析】(1)根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明： (2)设∠ABF=a,设BF与CD交于点G,求得∠ABC=∠DAB=90°-a,∠CBF=90°-2a,根据平行 线的性质结合三角形内角和定理求得∠C=2a,据此计算即可证明： (3)设∠DAN=∠1，∠DCN=∠2，利用(1)的结论得到∠N=∠I+∠2，在△AED中，求得 ∠AED=180°-2（∠1+∠2），利用四边形内角和定理求得∠M=∠AED,据此计算即可得到 ∠M+2∠N=180° 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 15/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 16/16 上好每一堂课 专题03 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾的三种模型 常考题型·精准突破 题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型（难） 题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型（难） 题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型 模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 2．（25-26八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解． （3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D恰好在上， ∴C，D，N三点在一条直线上， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 故答案为：． （2）连接，如下图所示： 由折叠可知，， ， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）． 证明：连接，如下图所示： 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． ◆题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型 模型总结： 1）8字模型（基础型） 条件：如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【详解】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 5．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明：，， ； （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3）． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)如图1，探究，，，之间的数量关系． (2)如图2，平分，平分，，交于点． ①若，，求的度数； ②如图3，若将条件中角的关系改成“，”，试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的四等分线，对顶角的性质，三角形的内角和定理及应用，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等求解即可； （2）①根据（1）中的结论得①，②，将，结合角平分线定义得出，最后将代入即可求解；②类比①中的方法求解即可． 【详解】解：（1），， （2）（i）根据（1）可得①，②， 由得， 平分，平分， ，， ， ， ． （ii）．理由如下： 根据（1）可得， ，， ，， ③，④， 由③④得， ， ． ◆题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1） ； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则 ． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 8．（25-26八年级上·广西百色·期中）【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础．因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决一些几何问题． 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中三个角度数及模具合格的要求如图1所示． (1)【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程． (2)【问题迁移】在平面内，，点，分别为直线，上的点，连接，若为直线与之间的一动点，（点不在直线，上），且点在线段的左侧（如图2所示）与两个角的平分线交于点．若，．求的度数（用含、来表示） 【答案】(1)不合格，见解析 (2) 【分析】（1）利用外角的性质求出后即可判断模具是否合格； （2）利用平行线的性质得到，再利用角平分线的定义和平角的定义即可求解． 【详解】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格 如图延长交于点． ， ， 又 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法2：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接并延长至． 则， ． 又，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法3：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接． 在中，，且， ， ，， ， 在四边形中，， ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． （2） 又， 又与两个角的平分线交于点 ， ． 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2026·河南周口·三模）将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可确定，，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 2．（2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角相等可得的度数，然后根据垂直的定义得到，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，已知，，若平分，且，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，利用三角形内角和定理可得、，进而得到；利用角平分线的定义可得，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·河北衡水·模拟预测）如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 5．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，可调整的大小，使，则图中应________（填“增加”或“减少”）________度．横线上的结果是（     ） A．增加，5 B．增加，10 C．减小，5 D．减小，10 【答案】B 【分析】延长，交于点，根据三角形的内角和求出，得到，再根据三角形的外角，求出，由图中，得到应增加，即可解答． 【详解】解：延长，交于点， ， 而图中 应增加． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 7．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分），则的度数是___________ 【答案】/270度 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴． 8．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段和线段交于点，连、，，，、分别交，于、；则、、之间数量关系是____________ 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：. 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： (1)； (2)． (3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； (2)证明：延长交于点E，如图， ，， ． (3) ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 13．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾的三种模型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型（难） 题型2三角形中的倒角模型之“8”字模型（难） 题型3三角形中的倒角模型之兼尾模型（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1三角形中的倒角模型之“A”字模型 模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC,形状类似于英文字母A,故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在△ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角： 结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D叶∠E 证明：①.∠1=∠A+∠ACB∴.∠1=∠A+180°-∠2.∠1+∠2=∠A+180°。 ②在△ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在△ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴.∠3+∠4=∠D+∠E。 1.(2025八年级上全国专题练习)探索归纳： B 图1 图2 图3 (I)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，已知△ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2=： (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明； (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠I+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上广西柳州期中)实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC, BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D. B D 图1 图2 图3 (1)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠I与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=35°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在△ABC外部，则∠I,∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系？请证明. 3.(25-26八年级上云南红河期中)【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. 【推理证明】 B D D 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠I=∠A+-,∠2=∠A+ ∴.∠1+∠2= .∠3+∠4+∠A=180°. ∴∠1+∠2=180°+∠A. (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠I=130°，则∠2-∠A的大小为度. (3)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的数量关系， 并说明理由. ◆题型2三角形中的倒角模型之“8”字棋型 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型总结： 1)8字模型（基础型） 条件：如图，AD、BC相交于点O,连接AB、CD;结论：①∠A+∠B=∠C+∠D；②AB+CD<AD+BC。 证明：在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°： 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°： ,∠AOB=∠COD∴.∠A+∠B=∠C+∠D: 在△ABO中，AB<AO+BO:在△COD中，CD<CO+DO: AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC:∴.AB+CD<AD+BC。 2)8字模型（加角平分线） 条件：如图，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD:结论：2∠P=∠B+∠D 证明：线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD∴.∠BAP-=∠PAD,∠BCP-=∠PCD ,'∠BCPH∠P=∠BAPH∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D② ∠P=（B+∠D ①+②得2∠P=∠B+∠D则 ,即2∠P∠B+∠D 4.(25-26八年级上全国课后作业)“8字的性质及应用： 0 图① 图② (I)如图①，AD,BC相交于点O,得到1个“8”字ABCD.求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8字有多少个？请分别写出来. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点丑，利用（山）中的结论说明：∠E=(∠A+∠C) 5.(2025八年级上·安徽滁州专题练习)已知：线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB A M E b N C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠A+∠D=∠B+∠C: (2)如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N, ∠A=28°，∠C=32°，求∠E的度数； (3)如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E,并且与AB、CD分别相交于点M、N, CD5-40C,∠C0E=写1Bc,武试探究∠A∠C乙B三者之间存在的数量关系，并设明理白. 6.(25-26八年级上·安徽阜阳·期中)如图1，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形 如这样的图形称为“八字图形”. E E 图1 图2 图3 (I)如图1，探究∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系. (2)如图2，AE平分∠CAB,DE平分∠BDC,AE,DE交于点E. ①若∠C=30°，∠B=20°，求∠E的度数： ②如图，若将条作中角的关系改皮“∠C1E=}<C1B,∠CDE=4B0C”,试荆斯∠E与∠B∠C 4 之间存在的数量关系，并说明理由. ◆题型3三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD:结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D;②AB+AD>BC+CD。 4/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：连接AC并延长至点P;在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D: 又，∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;,∠BAD+∠Bt∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点，在△AB2中，B+A0>BC+C见，在△cD2中，CQ+QD>CD. 即：AB+A0+CO+QD>BC+CO+CD,故AB+AD>BC+CD。 1 拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC:结论：∠O=2(∠A+∠C)。 Q 证明：，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;,∠ABO=2∠ABC;∠ADO=2∠ADC: 1 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=2∠ABC+2∠ADC+∠A:∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A; 1 ∴.2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD叶∠A:即∠O=2(∠A+∠C)。 7.(25-26八年级上安徽准南期中)如图1，在四边形ABDC中，∠A=86°，∠B=34°，∠C=24°. (1)∠BDC= (2)如图2，∠ABD和∠ACD的角平分线BE与CF交于点G,BE,CF分别与AC,AB交于点E和点 F,则∠BGC=° E D D 图1 图2 8.(25-26八年级上：广西百色期中)【问题背景】经历了第13章的学习，我们知道三角形是由线段围成 的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础.因此我们可以利用三角形的相关定理及推论，解决 一些几何问题 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小聪在课后数学探索中发现这样一个有趣的题目，具体是：李师傅制作了一个模具，测量得这个模具其中 三个角度数及模具合格的要求如图1所示 这个角84 A A E B 这个角35 这个角30 M ⊙ D 如果这个角满定150°， 那么这个零件就合格 (图1) (图2) ()【问题解决】请你帮小聪判断李师傅制作的这一个模具是否合格？并写出证明过程. (②)【问题迁移】在平面内，AB∥CD,点E,F分别为直线AB,CD上的点，连接EF,若M为直线 AB与CD之间的一动点，（点M不在直线AB,CD上），且点M在线段EF的左侧（如图2所示） ∠EFM与∠FEM两个角的平分线交于点N,若∠AEM=a,∠CFM=B.求∠ENF的度数（用含a、B 来表示) 9.(25-26八年级上河北保定·期中)【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系。 【解决问题】 (1)如图1，探究∠ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系. 小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C,他的证明过程如下： 证明：连接DB,并延长到点P. 请你将小明的证明过程补充完整， 【类比探究】 (2)如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 M D D 图1 图2 图3 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.(2026河南周口·三模)将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果 ∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为() C D E A.10° B.15° C.20 D.30° 2.(2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷)如图，AB和CD交于点O,AC⊥AB于 点A,连接BD.若∠B=40°，∠D=75°，则∠C的度数是() A A.250 B.30° C.35 D.40° 3.(25-26八年级下河南郑州期末)如图，已知∠BDC=120°，∠C=20°，若BE平分∠ABD，,且 ∠BEC=80°，则∠A的度数为()· E B A.40° B.50° C.60° D.70 4.(2025-河北衡水模拟预测)如图1，己知∠DAB=20°，∠B=60°，∠BCD=40°，要求出∠ADC的度数， 现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是() 7111 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 甲： 乙：C 丙： D B 延长AD,交 过点D作DF∥AB, 连接AC. BC于点E. 交BC于点F. 图1 图2 A.只有甲、乙能求出 B.只有甲、丙能求出 C.只有乙、丙能求出 D.甲、乙、丙都能求出 5.(25-26七年级下·河北石家庄·期末)如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且 ∠A,∠B,∠D保持不变.为了舒适，可调整∠E的大小，使∠EFD=130°，则图中LE应 一（填 “增加”或“减少”) 度.横线上的结果是() D 30% 20 4606 XB A.增加，5 B.增加，10 C.减小，5 D.减小，10 二、填空题 6.(24-25七年级下甘肃武威期末)如图，DE⊥AB,∠A=30°，∠D=55°，则∠ACB的度数为 7.(25-26七年级下山东泰安期末)如图，用剪刀把一张长方形纸片剪去一个角（虚线部分)，则 ∠1+∠2的度数是 62 8.(25-26七年级下全国期末)如图是可调躺椅的示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°， 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBA=60°，∠E=40°.为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD=140°，且∠CAB、∠CBA、∠E保持 不变，则图中∠CDF应调整为， 度 D E 9.(25-26七年级下江苏盐城阶段检测)如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BFCF交于点F，已知 ∠BEC=130°，∠BAC=30°，则∠BFC= 10.(25-26七年级下·江苏泰州阶段检测)如图，线段AB和线段CD交于点O,连AC、BD, ∠CMP-∠C4B,∠CDP=<CDB,ApDp分别交cDAB于AMN:则∠C∠B∠p之间数 量关系是 三、解答题 11.(25-26八年级下全国课后作业)己知：如图，点D在∠BAC的内部.求证： B D (1)∠BDC>∠A: (2)∠BDC=∠B+∠C+∠A (3)如果点D在线段BC的另一侧，又会有怎样的结论？ 9111 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.(25-26七年级下·河北承德·期末)已知线段AB与CD相交于点O,连接AD,BC D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A+∠D=85°，则∠B0C的度数为 ∠B+∠C的度数为 (2)如图2.若∠EAO=∠C,∠EAD=∠D,求证：∠B=2∠D: (3)如图3，若∠DAP=∠BAP,∠DCP=LBCP,∠B+∠D=90°，求∠P的度数. 13.(25-26七年级下·河南洛阳期末)【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型 6D47 B 图1 图2 【初步探索】 (①)如图1，已知∠1=40°，∠2=25°，∠3=33°，求∠4的度数. 【归纳结论】 (2)∠1、∠2、∠3和∠4的数量关系是 【深入探究】 (3)如图2，若∠5=46°，∠6=96°，1=∠2且∠3=∠4，直接写出∠7的度数. 14.(25-26七年级下福建泉州期末)如图1，AB与CD交于点E, 图1 图2 图3 (I)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: (②)如图2，AD∥BC,AF∥CD,AE平分∠DAF,AF⊥BF,求证：∠C=2LABF: (3)如图3，AD∥BC,AN平分∠BAD,CN平分∠BCD,AN与CN交于点N,DM⊥AB,BM⊥CD, 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DM与BM交于点M,试探究∠M与∠N的数量关系，并证明你的结论. 11/11