第13章三角形【章节复习】压轴题--三角形导角综合（角分线相关）2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形内外角关系及角平分线性质，通过探究-应用-拓展逻辑链构建系统性训练，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内外角关系探究|2题|探究型（数量关系推导）|从三角形外角性质切入，构建内角与不相邻外角和的关系，形成概念生成逻辑| |角平分线应用|3题|计算与证明（角度计算、定值证明）|结合角平分线性质，从三角形拓展到四边形，体现从特殊到一般的应用拓展链条|

1. 已知中，记，． （ 1 ）如图，若平分，、分别平分的外角和，于点． 图 当，时，直接写出、的度数．用的代数式表示的度数，用表示的度数． （ 2 ）如图，若点为的三条内角平分线的交点，于点．猜想（）中②的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．1 2 图 2. 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （ 1 ）尝试探究： 如图，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 A B C （ 2 ）初步应用： D E 图 如图，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ． A 图 BC D （ 3 ）解决问题：如图，在中，、分别平分外角、，与有何 数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ． AB C D E P 图 （ 4 ）如图，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论探究 与、的数量关系． DA B C F E P 图 3. （ 1 ）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于．当为时，为 ． （ 2 ）在（ ）的条件下，若的平分线与 的平分线交于 ， 与 的 平分线交于，如此继续下去可得、 、 ，则 ． （ 3 ）如图 ，四边形 中， 为 的平分线与外角 的平分线所在的直线构成的 角，若 ，则 ． （ 4 ）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的平分线交于，求证：的值为定 值． $ 1. 如图，点为边的延长线上一点． （ 1 ）若，，求的度数． （ 2 ）若的角平分线与的角平分线交于点 ，过点作于点．求证： ． （ 3 ）在（）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与 的角平分线交于点Q（如图），试探究与有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．（ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） ． （ 1 ）∵ ∴可设又∵ ∴ ， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 解得 ∴ （ 2 ）∵ ∴ ． ． 是 的外角， ． 同理可得， ． ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （ 3 ）∵ ∴ ∴ 、 分别平分 、 ， ， ， ． ， ． 平分 ， 平分 ， ， ， ． 由（ ）知： 又由轴对称性质知： ∴ ． ， ． 【知识点】角分线性质定理 2. 在中，是它的三条内角角平分线 、 、 的交点， 于点． （ 1 ）如图 ，， ，则 ， ． 图 （ 2 ）如图，探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 图 （ 3 ）如图，的平分线与的延长线交于点，若，，用含、的代数式表示的大小．（直接写出结果即可） 图 （ 1 ） ; （ 2 ） ． （ 3 ） （ 2 ） （ 1 ）∵ ， ， ∴ ． ∵ 、 为三角形的角平分线， ∴ ， ． ∴ ． 在 中， ． 在 中， ． ． 证明：∵ ， ∴ ． ∴在 中， ． 在 中， ． （ 3 ） ， ． ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． ∴ ∴ ． ． 【知识点】三角形-内角角分线 3. 如图，已知，射线，点是射线上的动点，连接． 图 （ 1 ）如图，若，的平分线与的延长线交于点． 图 若，，则的度数为 ．1 在点运动的过程中，探索和之间的数量关系．2 （ 2 ）若，内部的射线与的延长线交于点， ，那么和之间的数量关系为 ． （ 1 ）1 2 ． （ 2 ） （ 1 ）1 ∵ ， ． ∴ ． ∵ ， ． ∴ ． ∵ 平分 ． ∴ ． 又 为 的一个外角． ∴ ． ∴ ． 2 方法一：记 与 交点为 ． 在 和 中， ． ∵ ． ∴ ① ∵ ． ∴ ． 又 ． 平分 ， ． ∴ ② ① ②，消去 ， ，即得： ．方法二：延长 至点 ， ； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是 的角平分线， ∵ 是 的角平分线， ∴ （内外角角平分线模型，需证明） （ 2 ）方法一：由已知得， ， ， ． 同（ ）②证明过程，有： ① ． 即 ② ① ②，消去 ， 得： ． ∴ ． 方法二： 设 ，则 ；设 ，则 ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ， ∵ （ 字模型，需证明）， ∴ ②， 将②代入①得 ， 则： ． 【知识点】三角形-内外角角分线 $ 1. 解答下列问题： （ 1 ）如图的图形我们把它称为“字形”，请说明． 图 （ 2 ）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图，，分别平分，，若， ，求的度数．图 解：∵ ， 分别平分 ， ， ∴ ， ， 由（ ）的结论得： ①， ② ①②，得， ∴ ． 如图，直线平分的外角，平分的外角，若 ，，请猜想的度数，并说明理由．图 1 2 在图中，直线平分的外角，平分的外角，猜想与，的关系，直接写出结论，无需说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 在图中，平分，平分的外角，猜想与，的关系，直接写出结论，无需说明理由．3 图 （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）1 ， 证明见解析． 2 ． 3 ． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ∵ ∴ （ 2 ）1 ， ， ∵ ∴ 平分 ， ． 的外角 ， ， 平分 的外角 ， 由（ ）的结论得： ①， ②， ∵ ∴ ∴ ① ， ． ， ③， 图 ③得： ， 即 ∴ ， ． 2 如图，∵ 平分 ∴ ， 平分 的外角 ， 的外角 ， ， ∴ 在四边形 中， ， 图 2. 回答下列问题：， 在四边形 中， ， 3 ∴ ∴ 如图 ，∵ ∴在 ∵ ∴ ∴ ， 平分 ， ． 平分 的外角 ， ， 和 ， 中， ， ， ， ， 图 ∴ ∴ ， ． 【知识点】三角形-外角角分线 （ 1 ）如图，中，的角平分线与的外角的平分线交于．当为 时，求的度数． 图 （ 2 ）在上一题中，若的角平分线与 的角平分线交于 ， 与 的平 分线交于，如此继续下去可得、 、 ，则 ． （ 3 ）如图，四边形中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若度，则 ． 图 （ 4 ）如图，中，的角平分线与的外角的平分线交于若为延长线上一动点，连，与的角平分线交于，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值；②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论 （填编号），并写出其值 ．图 （ 1 ） （ 2 ） ． （ 3 ） （ 4 ）① ; （ 1 ）∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 是 的平分线， ， ， 是 的平分线， ， ， ， ， （ 2 ）∵ 、 ∴ ， ． 分别平分 ， ， 和 ， 而 ， ， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ． （ 3 ）∵ ， ∴ ， （ 4 ） ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 中， 由三角形的外角性质知： ， 即： ， 化简得： ， 因此①的结论是正确的，且这个定值为 ．故答案为：①， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 3. 小明在学习三角形知识时，发现如下有趣的结论：在中，，平分，为直线上一点，于，的平分线交直线于点． （ 1 ）如图， 为边上一点，则于 的位置关系是 ． （ 2 ） 图 为边反向延长线上一点，在图中补全图形，判断于 的位置关系，并证明． 图 （ 1 ） （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ， ， ． ， ． ， 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 平分 ． 平分 ． ， ． ． ． 图 （ 2 ） ． 延长 交 于 ， ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． ∵ 平分 ， 平分 ． ∴ ， ， ∴ ． ∴ ． 即 ． ∴ ． 【知识点】平行线判定 $ 1. 如图， 中， 的角平分线与 的外角 的平分线交于． （ 1 ）如图 ，当 为 时， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ 、 是 的角平分线与 ， 的外角 ， 的平分线， ∴ ， ∴ ． 图 （ 2 ） 的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得、、，请写出与的数量关系 ． （ 3 ）如图，四边形中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若，则 ． 图 （ 4 ）如图，若为延长线上一动点，连，与的角平分线交于，当滑动时有下面两个结论：①的值为定值．②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 图 2. 图所示的图形中，有像我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．观察“规形图”． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 图 （ 1 ）如图，试探究与、、之间的关系，并说明理由． （ 2 ）请你直接利用以上结论，解决以下问题： 如图，平分，平分，若，，求的度数． 3. 已知中，． （ 1 ）如图①，、的角平分线交于点，则． （ 2 ）如图②，、的三等分线分别对应交于、，则． （ 3 ）如图③，、的等分线分别对应交于、（内部有个点），求（用的代数式表示）． （ 4 ） 如图③，已知、的等分线分别对应交于、，若 ，求的值． $ 1. 已知中，记，． （ 1 ）如图，若平分，、分别平分的外角和，于点． 图 当，时，直接写出、的度数．用的代数式表示的度数，用表示的度数． （ 2 ）如图，若点为的三条内角平分线的交点，于点．猜想（）中②的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．1 2 图 （ 1 ）1 2 ， ． ， ． （ 2 ）两个结论已发生变化， ， ． （ 1 ）1 ， 2 ∵ ∴ ∵ ． ， ， ， ， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∵ ， 分别平分的外角 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∵ ∴ ，， 是的外角， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ 是 的外角， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ． （ 2 ）如图 ，若点 为 的三条内角平分线的交点， 于点 ，猜想（ ）中的两个结论已发生变化， ， ． 图 【知识点】三角形-外角角分线 2. 我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ （ 1 ）尝试探究： 如图，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． A B C （ 2 ）初步应用： D E 图 如图，在纸片中剪去，得到四边形，，则 ． A 图 BC D （ 3 ）解决问题：如图，在中，、分别平分外角、，与有何 数量关系？请利用上面的结论直接写出答案 ． AB C D E P 图 （ 4 ）如图，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论探究 与、的数量关系． DA B C F E P 图 （ 1 ） ． （ 2 ） （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）∵ ， ∴ ， ． （ 3 ）∵ 平分 ， 平分 ． ∴ ， ， ∵ 中， ， ∵ ， ∴ ， ． （ 4 ）如图： D A B C F E P ∵ ∵ ∴ 平分 ， ， ， 平分 ， ∴ ∵ ， ， ， 中， ， ． 又∵四边形 ∴ 中， ， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 3. （ 1 ）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于．当为时，为 ． （ 2 ）在（ ）的条件下，若的平分线与的平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得、、，则 ． （ 3 ） 如图 ，四边形 中， 为 的平分线与外角 的平分线所在的直线构成的 角，若 ，则 ． （ 4 ）如图，中，的平分线与的外角的平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的平分线交于，求证：的值为定 值． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ． （ 2 ）∵ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． （ 4 ）∵ ， 由（ ）可知， ∴ ， ． ∴ 的值为定值． 【知识点】三角形-内外角角分线 $ 1. 如图，中，是的平分线，是外角的平分线，若． （ 1 ）求的度数； （ 2 ）如图，若平分，平分，则的度数是多少？ （ 3 ）若在图的基础上，依次做是的平分线，是的平分线，……，是的平分线，是的平分线，那么的度数是多少？（请直接写出结 论，用含的式子表示） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）∵ ∴设 是 的平分线， ， 是 外角 的平分线， ， 根据三角形外角的性质可知： ， 即 ∴ ∴ （ 2 ）由（ ）知， ， ， ． ， 1 学科网（北京）股份有限公司 ∴ （ 3 ） ． ． 【知识点】三角形-内外角角分线 2. 阅读下面的材料，并解决问题： （ 1 ）已知在 中， ． 如图 ， 、 的角平分线交于点 ，则可求得 ． 如图 ， 、 的三等分线交于点 、，则 ． 如图， 、 的等分线交于点 、、 、 ，则 ， ．（用含的代数式表示） 图 图 图 （ 2 ）如图，在中，、的三等分线交于点、，若， ，求的度数．（要求写出解答过程） （ 3 ）如图，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若 ，，则的度数为 （不要求写出解答过程）． （ 1 ） ; ; （ 2 ） ． （ 3 ） （ 1 ）如图 ， ， ． 如图 ， ， ， ． 故答案为∶ ， ， ． （ 2 ）∵ 和 的三等分线交于点 ， ， ， ， ∴ ①， ②， ① ②得： ， 所以 ． 故答案为︰ ． （ 3 ） 是 的外角， ， 、 是 的三等分线， ， 在 中， ， 又 是 的平分线， ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 3. 若，． （ 1 ）如图，是的平分线，是的平分线，若，则与有何关系？并说明理由． （ 2 ）如图，若的平分线所在直线与平分线所在直线交于，试探究与、的关系是 ．（用、表示） （ 3 ）如图，若，与的平分线相交于 ，与的平分线交于 ；依此类推，则 ．（用、表示） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ．理由见解析． 或 （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ 即 是 的平分线， 是 的平分线， ， ， ， ． （ 2 ）∵ ∴ 若点 的平分线与 平分线相交于 ， ， 在点 的下方，则 ， 即 ， 若点 在点 的上方，则 ， 即 ． 综上所述， 或 ． （ 3 ）由（ ）得， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】燕尾形（飞镖型） 【知识点】三角形的外角定义及性质 【知识点】平行线的性质 【知识点】角的平分线及等分线的定义 【思想】分类讨论思想 【能力】推理论证能力 $ 1. 解答下列问题： （ 1 ）如图的图形我们把它称为“字形”，请说明． 图 （ 2 ）阅读下面的内容，并解决后面的问题： 如图，，分别平分，，若， ，求的度数．图 解：∵ ， 分别平分 ， ， ∴ ， ， 由（ ）的结论得： ①， ② ①②，得， ∴ ． 如图，直线平分的外角，平分的外角，若 ，，请猜想的度数，并说明理由．图 1 2 在图中，直线平分的外角，平分的外角，猜想与，的关系，直接写出结论，无需说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 图 在图中，平分，平分的外角，猜想与，的关系，直接写出结论，无需说明理由．3 图 2. 回答下列问题： （ 1 ）如图，中，的角平分线与的外角的平分线交于．当为 时，求的度数． 图 （ 2 ）在上一题中，若的角平分线与 的角平分线交于 ， 与 的平 分线交于，如此继续下去可得、 、 ，则 ． （ 3 ）如图，四边形中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若度，则 ． 图 （ 4 ）如图，中，的角平分线与的外角的平分线交于若为延长线上一动点，连，与的角平分线交于，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值；②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论 （填编号），并写出其值 ． 图 3. 小明在学习三角形知识时，发现如下有趣的结论：在中，，平分，为直线上一点， 于，的平分线交直线于点． （ 1 ）如图， 为边上一点，则于 的位置关系是 ． （ 2 ） 图 为边反向延长线上一点，在图中补全图形，判断于 的位置关系，并证明． 图 $ 1. 如图，点为边的延长线上一点． （ 1 ）若，，求的度数． （ 2 ）若的角平分线与的角平分线交于点 ，过点作于点．求证： ． （ 3 ）在（）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与 的角平分线交于点Q（如图），试探究与有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明． 2. 在中，是它的三条内角角平分线 、、 的交点， 于点． （ 1 ）如图 ，， ，则 ， ． 图 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 图 （ 3 ）如图，的平分线与的延长线交于点，若，，用含、的代数式表示的大小．（直接写出结果即可） 图 3. 如图，已知，射线，点是射线上的动点，连接． 图 （ 1 ）如图，若，的平分线与的延长线交于点． 图 若，，则的度数为 ．1 在点运动的过程中，探索和之间的数量关系．2 （ 2 ）若，内部的射线与的延长线交于点， ，那么和之间的数量关系为 ． $ 1. 如图，中，是的平分线，是外角的平分线，若． （ 1 ）求的度数； （ 2 ）如图，若平分，平分，则的度数是多少？ （ 3 ）若在图的基础上，依次做是的平分线，是的平分线，……，是的平分线，是的平分线，那么的度数是多少？（请直接写出结 论，用含的式子表示） 2. 阅读下面的材料，并解决问题： （ 1 ）已知在 中， ． 如图 ， 、 的角平分线交于点 ，则可求得 ． 如图 ， 、 的三等分线交于点 、，则 ． 如图， 、 的等分线交于点 、、 、 ，则 ， ．（用含的代数式表示） 图 图 图 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，在中，、的三等分线交于点、，若， ，求的度数．（要求写出解答过程） （ 3 ）如图，在中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若 ，，则的度数为 （不要求写出解答过程）． 3. 若，． （ 1 ）如图，是的平分线，是的平分线，若，则与有何关系？并说明理由． （ 2 ）如图，若的平分线所在直线与平分线所在直线交于，试探究与、的关系是 ．（用、表示） （ 3 ）如图，若，与的平分线相交于 ，与的平分线交于 ；依此类推，则 ．（用、表示） $ 1. 如图， 中， 的角平分线与 的外角 的平分线交于． （ 1 ）如图 ，当 为 时， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ 、 是 的角平分线与 ， 的外角 ， 的平分线， ∴ ， ∴ ． 图 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） 的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于，如此继续下去可得、、，请写出与的数量关系 ． （ 3 ）如图，四边形中，为的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的角，若，则 ． 图 （ 4 ）如图，若为延长线上一动点，连，与的角平分线交于，当滑动时有下面两个结论：①的值为定值．②的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 图 （ 1 ） ; （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）①正确， 的值为定值，恒为 ． （ 1 ）∵ ， ∴ ， ∵ 、 是 的角平分线与 的外角 的平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）∵ ． ∴同理可得， ， ， ， ， 图 ． （ 3 ）延长 、 交于点 ， ∴ ． ∵ ∴ ， ∴ ． （ 4 ）设 ， ， 则 ， ， ∴ ， ， ∴ ． ∵ ∴ ∴①正确， ， ， 的值为定值，恒为 ． ． 【知识点】模型综合运用 2. 图所示的图形中，有像我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”．观察“规形图”．图 图 （ 1 ）如图，试探究与、、之间的关系，并说明理由． （ 2 ）请你直接利用以上结论，解决以下问题： 如图，平分，平分，若，，求的度数． （ 1 ） （ 2 ） ，理由见解析． ． （ 1 ）如图，连接 并延长， ， ∵ ∴又 ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ 平分 ， ， 平分 ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ∴ ， ． 3. 已知中，．∴ （ 2 ）由（ ）可知， ． 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 （ 1 ）如图①，、的角平分线交于点，则． （ 2 ）如图②，、的三等分线分别对应交于、，则． （ 3 ） 如图③，、的等分线分别对应交于、（内部有个点），求（用的代数式表示）． （ 4 ）如图③，已知、的等分线分别对应交于、，若 ，求的值． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ． ． （ 1 ）∵ 、 ∴ ∴ 是 中， ， ， ， 的两条角平分线． ， ， ∴ （ 2 ）∵点 ∴ 中， ． 是 与 的三等分线的交点， ， ∴ ． 故答案为： ． （ 3 ）∵点 ∴ ∴ （ 4 ）∵ ∴ 是 与 的 等分线的交点， ， ． ， ，解得 ． 【知识点】角分线性质定理 $