第4章 湖南中考新趋势拉分练（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦三角形核心知识，涵盖全等三角形应用、等腰三角形性质、三角形分割及最短路径问题，通过新情境题、操作实践与分类探究串联知识点，构建从基础到综合的逻辑体系。 其亮点在于以传统文化（榫卯结构）、生活现象（潜望镜）为情境培养数学眼光，通过三角形分割的操作探究发展推理能力，设置一阶课题研究、二阶学以致用、三阶创新迁移的分层练习，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

《学练优》·八年级数学上·XJ 第4章　三角形 湖南中考新趋势拉分练 目 录 CONTENTS 01 新题型组合 02 综合与实践——最短路径问题⁠ 1. 新情境 传统文化榫卯结构是我国古代建筑、家具 的主要结构方式.如下图所示，将两块全等的木楔 (△ABC≌△DEF)水平钉入长为10cm的长方形木条 中(点B，C，F，E在同一条直线上).若CF＝ 2cm，则木楔BC的长为(　B　) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 第1题图 B 第2题图 2. (2025·北京丰台区期末)为了判断书法教室墙上悬 挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺 斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤. 如上图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结 果线绳经过三角尺的直角顶点，小文 由此确定镜框已放正.小文的判断 (填“正确”或“错误”)， 从数学的角度分析，理由是 ⁠ ⁠. 正确　 等腰三角形底 边上的中线、高相互重合　 3. 中国早在古代就制成了世界上最早的潜望镜，西汉《淮南万毕术》一书中有这样的记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”其工作方法主要利用了光的反射原理.上图是其示意图，AB呈水平状态，AE，CD为法线，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，则∠B的度数为 ⁠°. 45　 4. (1)[操作实践]如下图，△ABC中，∠A＝90°， ∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两 个等腰三角形，并标出分割成的两个等腰三角形底 角的度数；(要求用两种不同的分割方法) 解：(1)如图所示. (2)[分类探究]△ABC中，最小内角∠B＝24°，若 △ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相 应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值； 解：(2)设分割线为AD，相应的角度如图所示. 图①的最大角＝39°＋78°＝117°， 图②的最大角＝24°＋180°－2×48°＝108°， 图③的最大角＝24°＋66°＝90°， 图④的最大角＝84°， 图⑤的最大角＝148°， 因为图⑤中∠ABC＝24°不是最小内角， 所以此种情况不符合题意， 故△ABC的最大内角的所 有可能值是117°或108° 或90°或84°. (3)[猜想发现]若一个三角形能被一直线分割成两个 等腰三角形，需满足什么条件？(请你至少写出两个 条件，无需证明) 解：(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三 角形， 应满足下列条件之一：①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍. 解：(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三 角形， 应满足下列条件之一：①该三角形是直角三角形； ②该三角形有一个角是最小角的2倍； ③该三角形有一个角是其中一个角的3倍. 一阶　课题研究 [提出问题]唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两 句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着 一个有趣的数学问题——将军饮马. 如下图①，将军从山脚下的点A出 发，到达河岸点P饮马后再回到点 B宿营，他时常想，怎么走才能使 他每天走的路程之和最短呢？ [分析问题]小亮：如下图②，作B关于直线l的对称 点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的 地方，此时所走的路程就是最短的. 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如上图③，在直线l上另取任一点C'，连接 AC'，BC'，B'C'，我只要证明AC＋CB＜AC'＋ C'B. 因为直线l是点B，B'的对称轴，点C，C' 在l上，所以CB＝ ，C'B＝ ⁠. 请把小亮的证明过程补充完整. CB'　 C'B'　 解：在△AC'B'中，AC'＋B'C'＞AB'， 所以AC＋B'C＜AC'＋C'B， 即AC＋CB＜AC'＋C'B. [解决问题]如上图④，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线). 解：如图④，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D， 连接CD分别交OA，OB于E，F， 则路线PE，EF，PF即为所求. 方法总结 两点一线(异侧) 两点一线(同侧) 一点两线 图 示 结 论 PA＋PB最短 PA＋PB最短 △PMN周长最短 二阶　学以致用 1. (2025·岳阳期末)如右图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B. 两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 ⁠. 两点之间，线段最短　 2 3 4 5 6 1 2. 如下图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB＋PD的最小值是(　A　) A. 4 B. 6 C. 7 D. 12 第2题图 A 2 3 4 5 6 1 3. (2025·长沙岳麓区期末)如上图，等边三角形ABC 中，点D，E分别是BC，AC的中点，点P是AD 上的一个动点，当PC＋PE最小时，∠CPE的度数 是(　D　) A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60° 第3题图 D 2 3 4 5 6 1 4. 如下图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分 线，点P是直线m上一动点，若AB＝6，AC＝4， BC＝7. (1)求PA＋PB的最小值，并说明理由； 解：(1)当点P是m与AB的交点时，PA＋PB的值 最小， 此时PA＋PB＝AB＝6.理由：两点之间，线段最 短. 解：(1)当点P是m与AB的交点时， PA＋PB的值最小， 此时PA＋PB＝AB＝6. 理由：两点之间，线段最短. 2 3 4 5 6 1 如下图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝6，AC＝4，BC＝7. (2)求△APC周长的最小值. 解：(2)因为m是BC边的垂直平分线，点P在m 上， 所以PB＝PC. 又因为AC＝4， 所以△APC的周长＝AP＋PC＋AC＝AP＋PB＋ 4. 所以要使△APC周长最小，只需AP＋PB最小， 解：(2)因为m是BC边的垂直平分线，点P在m上， 所以PB＝PC. 又因为AC＝4， 所以△APC的周长＝AP＋PC＋AC＝AP＋PB＋4. 所以要使△APC周长最小，只需AP＋PB最小， 当点P是m与AB的交点时，PA＋PB最小， 即PA＋PB＝AB， 此时△APC的周长＝AB＋AC＝6＋4＝10. 2 3 4 5 6 1 三阶　创新迁移 5. (2025·湘西州期中)已知点P在∠MON内. (1)如下图①，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG，OH，OP. ①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ °； ②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10. 解：(1)②因为PO＝5，所以GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝2×90°＝180°， 所以点G，O，H在同一直线上， 此时GH＝GO＋HO＝10. 100　 解：(1)②因为PO＝5，所以GO＝HO＝5， 当∠MON＝90°时，∠GOH＝2×90°＝180°， 所以点G，O，H在同一直线上， 此时GH＝GO＋HO＝10. 2 3 4 5 6 1 (2)如下图②，若∠MON＝60°，A，B分别是射线OM，ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数. 解：(2)如图，分别作点P关于OM，ON的对称点 P'，P″， 连接OP，OP'，OP″，P'P″，P'P″分别交OM， ON于点A，B， 连接PA，PB，则AP＝AP'，BP＝BP″， 解：(2)如图，分别作点P关于OM，ON的对称点P'，P″， 连接OP，OP'，OP″，P'P″，P'P″分别交OM， ON于点A，B， 连接PA，PB，则AP＝AP'，BP＝BP″， 此时△PAB周长的最小值等于P'P″的长. 由轴对称的性质可得，OP'＝OP＝OP″， ∠P'OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， 2 3 4 5 6 1 所以∠P'OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°. 所以∠OP'P″＝∠OP″P'＝(180°－120°)÷2＝ 30°. 所以∠OPA＝∠OP'A＝30°，∠BPO＝∠OP″B ＝30°. 所以∠APB＝30°＋30°＝60°. 所以∠P'OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°. 所以∠OP'P″＝∠OP″P'＝(180°－120°)÷2＝30°. 所以∠OPA＝∠OP'A＝30°，∠BPO＝∠OP″B＝30°. 所以∠APB＝30°＋30°＝60°. 2 3 4 5 6 1 6. 如下图，在由边长均为1个单位长度的小正方形 组成的网格中，点A，B，C，P，Q均在小正方 形的顶点上，请分别在边AB，AC上找到点E， F，使四边形PEFQ的周长最小. 解：如图，分别作P关于AB，Q关于AC的对称点 P'，Q'，连接P'Q'，分别交AB于E， 交AC于F，则E，F即为所求. 2 3 4 5 6 1 $