微专题10 构造等腰三角形的常用方法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

微专题10 构造等 方法① 利用平行线构造等腰三角形 模型构建 ①利用“角平分线十平行 线”构造等腰三角形，如图①， 若∠1=∠2，AC∥OB,则 △OAC为等腰三角形. ②作腰的平行线构造等 图① 腰三角形.如图②、图③，若AB=AC,DE∥AC, 则△BDE为等腰三角形. 图② 图③ ③作底边的平行线构造等腰三角形.如图④」 图⑤，若AB=AC.DE∥BC,则△ADE为等腰三 角形 图④① 图 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上， 点E在AC的延长线上，且BD=CE,DE交 BC于点F.求证：DF=EF. 覆三角形的常用方法 方陆2 角平分线十垂线构造等腰三角形 模型构建 如图，在△ABC中，AD平 分∠BAC,CD⊥AD,延长CD 交AB于点E,则△ACE是等腰 三角形. 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD 于点D,∠DCB=∠B.若AC=10,AB=25, 求CD的长. 方陆3截长补短构造等腰三角形 解题技巧：如果题干中出现了几条线段之间的和 差关系，一般考虑用截长补短作辅助线解题， 模型构建 角平分线十戴长 角平分线十补短 模型 条件 ∠1=∠2， ∠1=∠2， ∠B=2∠C ∠ABC=2∠C 结论 AC=AB+BD AC=AB+BD 第4章92 3.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC, BD平分∠ABC,交AC于点D.求证：BC= AB+CD.(用两种方法) 图 方法④ 转化倍角构造等腰三角形 模型构建 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB. 如图①，作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰 三角形： 如图②，延长CB至点D,使BD=BA,则 △ADB,△ADC是等腰三角形： 如图③，作∠ACD=∠ACB,交BA的延长线 于点D,则△DBC都是等腰三角形， 图 塔 4.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B,CD平分 ∠ACB交AB于点D.求证：AC+AD=BC. 93探究在线八年级数学（上）·X) 5.数学课上，张老师根据习题改编了一个题目： 如图①，AD是△ABC的高，∠C=2∠B,若 CD=2,AC=5,求BC的长. E D C ① 2 阿闭 小明同学的想法是利用构造等腰三角形来解 决：将△ACD沿AD折叠，如图②，则点C刚 好落在BC边上的点E处.… (1)结合小明同学的想法，请直接写出：BC=: 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题， 得到下列试题，请同学们解答： (2)如图③，∠ACB=2∠B,AD为△ABC的 外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点 D,则线段AB,AC,CD有什么数量关系？请 写出你的猜想并证明.所以△AH与△N程是等要三角形， 所∠AC-∠G8-∠A=,AB= (2)如腾2通所东 因为D成 所其∠AD=∠AC=T',∠AD=∠AB=o 所△AD是等边三角，AF-ADD 所ABAP=ACA所F-C 因为AD=家，所PD=C 慕多课时等效三角利的性情与利发 为∠AD=∠A=, 蒸随在线 所∠F-∠- LA 2.B 所△FX2△D(边角站).所误ND=k 3因为△ABC是等边三角形： 陵专题8全韩三角形中常见的辅刷线的作表 因AB一C, 1.)证明，若AD, ∠ABC-∠C-60 为AB=ACBD-CD,A0=AD 因为D=CE, 以△LIIX2△ACD(动动边). 所以△ABD☑△CE(边角边). 以∠D=∠G 所H∠BMD=∠CBE 2∠BDC-2∠RAC 所以∠PE=∠BMP+∠ABP=∠CBE+∠ABP= 长AD判有E, ∠LBC=6r. 由1)角.∠B=∠C, 所以∠APE等干矿 四为∠BAC=2∠B,.所∠AC=∠B+∠C 4.口5A 因为∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE-∠C+∠CD, AB-AD, RL∠BDC-∠B+∠BAD+∠C+∠CMD 6(1D注明，在△AC利△DE中， A∠H=∠D 所H∠BDC-∠HMC BC DE. .知图①，在AC上镜重AE-AB,是接DE, 所以△AB△ADE《边角边)， 四为AD是角平分民：所以∠乱MD=∠EAD (2国为△AG△A泥.∠ACI 所以AC=AE,∠CAE=∠BC=s △ADB和△ADE中，∠BAD=∠EAD, 所以△ACE是赛边三作形 ∠ACE-的 质△DB2△ADE气边角边) 能力在线 所以∠AED=∠B=9时，DE=DB 7.D R.D B.B 10,7 11,190 又两为△ABC是零装雀角三角那， 12,41)△0D呢为等造三角冠，厘由如下： 所∠C-5”.所△DC是等直角三角形 圆为△，ABC为等进三角形， 质以DE=EC所以EC=D. 所以∠AC=∠ACB=0 用以AC=AE+EBC=AB+BD 为00LB,AC 所.∠OE=∠AC=创'，∠D=∠AB= 所以△N泥为尊边三角形. (2)图为0B平分∠ABC,D8AB 所过∠Ak)=∠D0H.∠A)=∠Dm 所以∠DK湖=∠K入 2)如图2：≤长AB到填F,使AF=AC,连接DF, 所过HD=n料理（术=究 风为AD是△AC的角平分线， 所以△C成的周长为0D+D求+=BD+D成+影 所以∠FAD=∠CAD C-0 AF-AC. 拓餐在线 在△FAD和△CD中.A∠FAD-∠CAD, 1门.什)整明：因为△A是等边三角形 AD-AD. 以∠AC=∠ACn-心 所以△FA2△AD迪角)，所∠C-∠F, 圆为D是C的中点， 国为∠AHC=2∠C,∠AC-∠P十∠H0F, 所以D平分∠AC,AD-DC 所∠下∠D求所HD-H 米a,∠Dc-是∠AC-. 所AC=AF=AB十BF=AB十, 翼为ADCE.所以CDCE 3,)短明：如围，整长H第点H,生H=求， 断∠-∠CDR-∠ACH- 因为∠AC十∠AC-1,∠AkC+∠A8H=， R∠ADC-∠AH 但∠DC-∠E-.以0-DE (AB-AD. 2)D一DE虞立，明年下， 在△ABH和△AD中，∠AH=∠A 过点D作DFC癸AB于点F, -DF. 园为△AC是等边三角形， 所△AHH2△A1F 一深究在统· 所AH=AR,∠AH-∠AF 散专题9与等腰三角形有关的分类讨论 四为∠EAF=∠DLB,所g∠EAF-∠DAF+∠&AE LD 2.C ,自9(-D和(3一)是两个底角时， W∠LAH+∠AAE∠EAH. x-7=8a=5,-8 AF■AH, 所以三个内角分是4，，17 在△EAF释AEA中，∠EAF=∠EAH LAE-AE. 解料一4 所R△EAFAEAH.所HEF-EH 所以三个内角分是,7,7 因为EH-BE+BH: 中当3-5是题角时，3x一5+22一)19， 所EF-E+B月-BE+DF 解得2一口 新似三个内角分则是TG,”,5叫 4(DAa-nC )显%已刻可有2AU+C一20，A8-C=4重LA8+ C=0,A-C=-4, 标刻A-8em,B-4m减A-cem,-号cm 每图，在B球上越取N一EB 两u△C的三边分期为8m,月m,a速号m 因为∠A十∠ABC=1,∠AC十∠AIE=1,新 要m装m 以∠AC=∠A AHAD. 5.门如周回，等服三角形为规角三角形 在△AHE和△AM中，∠A-∠AIC, 网为DLAC,∠ABD=5. l-DM. 两以∠A-0-∠ABD-防 所△A9△AM 此时角的度数为55" 所民AB=AM.∠R4E-∠DAM 所∠A+∠AM=∠AM+∠ 博∠EA-∠DA 国为∠EF-是∠DA8, 如图心，等三角卷为角三角参 民∠EF-∠EA∠EAF-∠A 因为0LAC,∠AD=15: ∠BAC-0+∠AD-12 AP-AM. 此时顺角的度数为1. 在△AP和△MAP中，∠AP=∠MP 所巴调角的度数为5或1写 AF-AF. 所保△EAQ△NAB所EP-AM 4,C1成5 国为D球=4MF, 誉专丽10构造等程三角形的常用方法 L过点D作DMAC交C于点M 4(1》A 秀以∠DNB=∠ACB,∠FDM-∠E (I<AD<S 国为AH=AC,所以∠B-∠M8 ()整民DM,AH交T点F, 所以∠B=∠DMH,断以B0=AD 因为AM平分∠BAD 国为D=E,所其MD-E 所R∠DAM-∠FAN 在∠DMF∠ECF 因为AM⊥DM, ∠MDF=∠E, 所∠AMD-∠AMF= ∠MFD=∠GFE ∠AMD=∠AF MD-CE, 在△AD和△AMF中 L=AM, 所世△DM2△C气角角边).所位BP=F ∠DAN=∠FAM 2,如围，延英D交AB于点E 所区AAMD△AM气角边角)， 所M-DM,AD=AF LAWCWL 在△HMF和△CD中 ∠BB-∠CND. 图为AD平分∠AAC,所∠1-∠1， 0=M. W为CD⊥AD,所其∠DE=∠ADC=灯'， 所以△AF融△CMD边角边).后以CD=BF 所H∠AED-∠ACD,厚AEAC10 RAF-AD-AB+F-AB+CD 义国为CDLAD,但DE-D 因为A一5，CD=3,所这A作=3=1= 图为∠D风荐=∠程，所成=-C九 年级数学（上）·灯一 25 以A8=Ag十HE-10十CD-2 (AM-AK. 所以CD=.5, BC-ED 3.使1.（需任法》在C上取点E,旋BE-BA AC-AD. 德DE, 侧△(边边边.所∠B∠E 出为D平分∠AC,所烈∠ABD=∠E M N Al 在△ABD和△EBD中， 在△M用和△D中， AB-EB, ∠0=∠Y0, ∠ABD=∠EBD, ∠A=∠C, BD-BD. AB-CD. 青以△AH所2△成市风边角边 H△K9ACX 所以∠HAk-∠HED=1m 能0出=2 以∠DEC-7 所数点O在线BD的直平分候上 得为AB=AC, 又顶为BE=DE 以∠C=∠ABC=8 即以点E在线BD的题直平分线上 青以∠DF= 所常系直平分D 所以∠CDE=∠GD=z,所HCp-C 周BC-BE+EC-AB+CD 德力在候 体2，（补复法》长A至或E,线BE=BC连接DE,证 k27.D10A11.B △EB△CBD厚W. I2(1D正，因为AD是△ABC的角平分线，图区∠DAE ∠DAF 因为毫，求分酬是△AD和△ACD的高 所∠AED-∠AFD- 因为AD-AD,所从△AEDM△LFD (2旺，因为△AEDQAAFD &图，租长DA到点E,传AE 所AE-AF,DE-DE AC,∠B-∠AM国 所g点A,D在线段F的直平分线上 ∠BAC-∠E+∠ME=R∠E 所AD直军分EF 为∠C-2∠B, 多》20 以∠B=∠E∠ACE所以BC=C 防展在峰 售为CD平分∠ACB,青以∠ACD=∠BCD 1及1)证明，如因所，在塘F 以∠AC-∠+∠CD=∠+∠C AP.IC. X国为∠LE-∠ACE十∠ACD=∠B+∠A0 因为PE案直早分AB,PM面直 所以∠ADC∠DCE所以DECE 平合40 HAC+AD=AE十D=DE=EC=BC 所PA-P,PA-所P-阳 5.19 所以点P在线段的柔直平分线上 ()精里：AD+AC- (0因为直平分A,N米直平分AC 望明：在CD益上航取CH”一AC 所FA=FB,NA=N∠A2P=∠AMP=∠ 准接AB ∠是N=6.晰L山∠1H十∠R=∠A十t 以∠BAC-∠AB'C. 四为∠ACB=∠'AC+乙AB'C=2∠AB℃， 授∠ABF=E4∠BCA=3.周∠AHF=∠AF= ∠BCA=∠CAN=∠BFE=9-∠MNC=' ∠AC边=2∠.所以∠AC-∠B,所以A刀=Ar 所H∠PFN=∠BFE=时-∠PNF=∠NC 为AD平分∠CAP,所∠PAD=∠CA 率∠B+∠D-∠BAC十∠BAD, 因为∠ABF+∠CA+∠CAB=1,∠EAN=, 国为∠BAC∠AB=∠B,所∠D-∠BAD 吴2x+2十3=】8，r十V6名. 商以A=FD. 周为PFN+2PNF+PN■I+ 新以CD=Cr+rD=AC+Ar-AC+AU AB十AC=CD 所以∠FPN=1一1阳”+（十方）=位 4.6线爱的重直平分线 第2课时 作线的直平分线反角干分 第1球时我授的看直平分线岭社嘴海料完 基健在桃 蓝码在性 1等腰直角三角形A仪期围所示 LC 2.C 3.B 4落德ACAD,如图商都 世为AP是D的项直平分线 以AC-AD 在△ABC和△AED中 26 一深究在线·八年 A(1》短明：国为代与”A后直，所以∠PA=0,师以 篱力在场 ∠CPD+∠APB=9 1①通4,1s 图为CD⊥DB,ABLDB,所其∠CDp-∠P&A-0 乙(1》如图质紧，D5即为所度作 期以∠CPD+∠DCP=0.两以∠DCP=∠APB 周为DP=AB.所以△D@△PHA(角角边). (因为△CDP△PBA,所HCD=PB.AB=DP 以为特-5m,D-15m: 所以LBDg=85一1=20(n1 (2)10 答：大楼A非的高度是别m 拓湖在线 1.H 8.B 1么如图，点严海为0常， 新段测停5引4,4一4.6引 LA2.A&B4D互D6A 光2女k240生侧-0a.51h.1o时215 口，朝图，△ABC军为所求作 x3014.D15,B1C15,2 惊心家养望别 线 底8播：网为AB=AE,所以∠B-∠E (AB-AE. 或△AB△AED中，∠B=∠E 14,墨为AD系直平孕C,所白D-DC,AI-AC nC-D8. 四秀AB+BD=DE,期反AC+DC=DE 所以△LB≌△LED.所以∠RAC-∠EAB. 为DE-C+2,所红C-C2 皮用： 期以但或C在线程AE的垂直平分线上 (12)如图所尿. 15,1)如面.生接AE, 图为点8天于射线AD的对称点为E,丽 AE~AB,∠BF-∠EAF, 装为△AC为等边三角形 折以AB=AC,∠BAC-∠ACB- 两UAE=AC,∠EAC=0-2a 第5章直角三角形 所u∠ACE-1Tg2r+。 五，1直角三角形的性断定理 第1承时直角三扇形的性顺与树定 断以∠C-∠ACg一∠AH-”十一-m 基础在战 2)如懂，作∠FOG-6的'交AD子数G:透接BF 1.A 2.B 3.B 4.B 为∠AF=∠F=a∠ADB-∠COF, 5到为AD1AN, 断以∠ABC-∠AFC=S6 所H∠MB9e 新巴△FG是等边三角形.所以GF=FC 所但∠ADE+∠AN0=90 智为△AC是等直三角思， 到为∠C-, 厮HBC=MC,∠ACB 年∠CEU十∠CUE=时 界凹∠ACG∠CF-4 为BB罩分∠LC,所∠CBE-∠BD AC-RC. W肚∠AE=∠CEL 在△AC无邦△CF中，∠ACG=∠CF 圆为∠CB=∠AED,所g∠ADR=∠APD G-CF. 6.B ,为AD是C边上的高，所∠AC=0 四考直H天于射线AB的对阵点为E, 斯但∠D+∠DM=. 所世BF=EF,即HAG■EF 图为∠DM-∠MAE:∠DNC=∠AM星， 四为A=AG+G球，G=元，段下FA=E+ 所以∠AME+∠LAE=, 单元雄合复习四】三角形 所以△AM是直角三角形 热门彩点费随 3.B 5.D 10.C LC2D1.】k505.5是有量期 能力在线 6内桶角相等离直线平行直 1A12.H1.C T,BA,AD-g卷案不-》3,10 14,国为D⊥C, 数学（上）+X