专题08 平面直角坐标（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦平面直角坐标系，系统梳理其构成（横轴、纵轴、原点）、点的坐标读写方法、四个象限及坐标轴上点的坐标符号特征，平行坐标轴直线的坐标规律，以及有序数对与平面点一一对应的核心定理，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“概念-规律-易错-题型”为主线，通过典例与变式结合、分层训练（巩固与强化）设计，突出高频易错点（如坐标顺序、象限判断），培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光），提升推理能力（数学思维），课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题08 平面直角坐标系 1. 理解平面直角坐标系的构成，认识横轴、纵轴、原点、象限等基本概念； 2. 掌握由点写坐标、由坐标找点的基本方法，理解有序数对与平面点一一对应； 3. 熟记四个象限、坐标轴上点的坐标符号特征，快速判断点的位置； 4. 掌握平行于x轴、y轴直线上点的坐标规律； 5. 能根据坐标特征解决象限判断、定点、找点、简单几何题型。 一、平面直角坐标系定义 在平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。 1. 水平数轴：x轴（横轴），向右为正方向 2. 竖直数轴：y轴（纵轴），向上为正方向 3. 两轴交点：原点O(0,0) 二、点的坐标读法与写法 平面内任意一点 P，向x轴、y轴作垂线： 1. 垂足在x轴对应的数：横坐标 a 2. 垂足在y轴对应的数：纵坐标 b 3. 点坐标记作： 三、四大象限坐标符号（必考背诵） 坐标轴不属于任何象限！ 1. 第一象限： (+,+)横正、纵正 2. 第二象限： (-,+)横负、纵正 3. 第三象限： (-,-)横负、纵负 4. 第四象限： (+,-)横正、纵负 四、坐标轴上点的特征（超级易错） 1. x轴上所有点：纵坐标为0，形式 (a,0) 2. y轴上所有点：横坐标为0，形式 (0,b) 3. 原点：(0,0)，既在x轴也在y轴 五、平行坐标轴直线上点的规律 1. 平行于x轴（水平线）：所有点纵坐标相同，横坐标不同 2. 平行于y轴（竖直线）：所有点横坐标相同，纵坐标不同 六、核心定理 平面内的点和有序实数对一一对应 一个点只能对应一组坐标，一组坐标只能对应一个点。 七、高频易错汇总 1. (2,3) 和 (3,2) 是两个不同点； 2. x轴、y轴上的点没有象限； 3. 横坐标看左右、纵坐标看上下； 4. 负数坐标不要写反象限。 题型01 根据坐标判断点所在象限 【典例】1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点是解题的关键． 根据平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，即可求解． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P在第二象限内． 故选：B． 【变式】在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：当时，，则， ∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第一象限． 故选：A． 题型02 坐标轴上点的特征求值 【典例】已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后分情况求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 时，， 时，， 所以，点P的坐标为或． 故选：A． 【变式】若点在第四象限，且，，则（　　） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了第四象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第四象限点坐标符号特点是解题关键．根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案； 【详解】解：由在第四象限，得， 由，，得， ∴， ∴， 故选：B． 题型03 平行坐标轴直线坐标规律 【典例】平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，点，， ， 当时，线段最短， ， 即时，线段的长度最小为， 故选：B． 【变式】如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，矩形的周长为，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可． 【详解】解：由图可知，矩形的周长为， ∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒， ∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，…… ∴相遇点每3次为一个循环， ∵， ∴第2024次相遇地点的坐标是， 故选：A． 题型04 由点写坐标、由坐标找点 【典例】已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后分情况求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 时，， 时，， 所以，点P的坐标为或． 故选：A． 【变式】如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可． 【详解】解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故选：C． 【巩固训练】 1．已知m、n是实数，且，那么点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，解题的关键在于能够准确求出m、n的值．先根据绝对值和平方的非负性求出m、n的值，然后判断其所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴点在第四象限， 故选D． 2．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上各点的横坐标相等是解题的关键．先根据轴得出的值，再由垂线段最短即可得出的值，进而得出结论． 【详解】解：轴，点，， ， 当时，线段最短， ， 即时，线段的长度最小为， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，点的坐标等知识，由“”可证，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点． 故选：B． 4．如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，矩形的周长为，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒，即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，……，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可． 【详解】解：由图可知，矩形的周长为， ∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为秒， ∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，…… ∴相遇点每3次为一个循环， ∵， ∴第2024次相遇地点的坐标是， 故选：A． 5．如图小手盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各象限内点的坐标特征解题，四个象限的符号特征为：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-） ． 【详解】解：小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数，符合的只有B选项 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据各象限点的坐标符号规律即可直接判断． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征， ∴点位于第四象限． 7．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可． 【详解】解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故选：C． 8．已知的面积为3，且A、两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，且点在轴上方，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离公式以及解一元一次方程，根据的面积为3列出关于y的含绝对值符合的一元一次方程是解题的关键． 设点C的坐标为或，根据两点间的距离公式结合点A、B的坐标即可得出的长度，再根据的面积为3利用三角形的面积公式即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：点到轴距离是1且点在轴上方， 设点C的坐标为或，， ∵A、两点的坐标分别为、， ，即， 解得：． ∴点C的坐标为或． 9．已知点、，点A在x轴上，且，则A点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标系中的点，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据三角形的面积求出，即可求出点A的坐标． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 10．如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ____． 【答案】3 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值解答． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为． 故答案为：3． 【强化训练】 1．已知点在第二象限内，化简结果为_________． 【答案】0 【分析】本题考查象限内点的符号特征，化简绝对值，开方运算，根据第二象限内点的符号特征，得到，根据绝对值的意义，算术平方根和立方根的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴， ∴； 故答案为：0． 2．已知点点，点B在坐标轴上，且三角形的面积为，则满足条件的所有点B坐标为__________． 【答案】或或或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，分两种情况讨论：当B点在y轴上时，设，只需求出B点的纵坐标即可，当B在x轴上时，设，只需求出B点的横坐标即可，由此可得出B点的坐标． 【详解】解：当B点在y轴上时，设， 根据题意，得， 解得， ∴B的坐标为或； 当在x轴上时，设， 根据题意，得， 解得， ∴B的坐标为或， 综上，B的坐标为或或或. 故答案为：或或或. 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，3），以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC，则点C的坐标是______． ​ 【答案】（﹣3，5） 【分析】作CE⊥y轴于E，如图1，根据题意通过“角角边”证明△CBE≌△BAO，得到CE=BO=n，BE=AO=2，然后根据C点所在象限即可得到答案． 【详解】（1）作CE⊥y轴于E，如图1， ∵A（﹣2，0），B（0，3）， ∴OA=2，OB=3， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，BC=AB， ∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°， ∴∠ECB=∠ABO， 在△CBE和△BAO中 ， ∴△CBE≌△BAO（AAS）， ∴CE=BO=3，BE=AO=2， 即OE=2+3=5， ∴C（﹣3，5）． 故答案为（﹣3，5）． 4．已知，则P(-a，-b)在第____象限. 【答案】二 【分析】由（a﹣2）2+|b+3|=0，根据偶次方和绝对值的非负性可得，解这个方程组求出a和b的值，再根据平面直角坐标系内点的符号特征可判断出点P所在的象限. 【详解】∵（a﹣2）2+|b+3|=0， ∴ ，解之得， ， ∴-a=-2,-b=3, ∴点P（﹣a，﹣b）在第二象限. 故答案为二 5．如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为．则的面积为________平方单位． 【答案】5 【分析】根据图形，则△ABC的面积为长方形的面积减去3个直角三角形的面积． 【详解】解：由图可知：B（4，3），C（1，2）， 则S△ABC=3×4-×（1×3+1×3+2×4）=12-7=5， 故答案为：5． 6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 【答案】（10，3） 【分析】根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8-x，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标． 【详解】∵四边形AOCD为矩形,D的坐标为(10,8), ∴AD=BC=10，DC=AB=8， ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD=AF=10，DE=EF， 在Rt△AOF中,OF= =6， ∴FC=10−6=4， 设EC=x，则DE=EF=8−x， 在Rt△CEF中,EF2=EC2+FC2， 即(8−x)2=x2+42， 解得x=3，即EC的长为3. ∴点E的坐标为(10,3). 故答案为：(10,3). 7．在平面直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次方程．根据在轴上纵坐标为，列出方程，求出的值，即可求解； 【详解】解：∵在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为． 8．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查点坐标，坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键． （1）根据题意得到，进而求解即可； （2）根据得到，进而求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离相等得到或，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，得， 解得， 则， ∴点的坐标为； （2）∵轴，， ∴点与点的纵坐标相等，即为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）∵点到坐标轴的距离相等， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为． (1)以y轴为对称轴作轴反射，画出在轴反射下的像； (2)写出的顶点坐标． 【答案】(1) 解：∵， ∴在平面直角坐标系中找到点关于y轴对称的对应点，并连接如下图所示： ； (2) 【分析】本题考查关于y轴对称点坐标特点，画轴对称图形． （1）根据轴对称图形定义画出轴对称即可； （2）根据关于y轴对称点坐标特点即y值不变，x值互为相反数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积为8，点，点，点从点出发，沿“”方向以2个单位长度/秒运动，设运动时间为秒 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)当点在线段上运动时，若三角形的面积为3，求的值； (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1)， (2)即的值为 (3)点运动秒或秒时 【分析】本题考查了坐标与图形，解题的关键是： （1）利用长方形的性质求出点C和点D的坐标； （2）根据三角形面积公式构建关于t的方程求解即可； （3）分①点在线段上；②点在线段上；③点在线段上，三种情形分别讨论求解即可 【详解】（1）解∶∵点，点， ∴， ∵长方形的面积为8， ∴， ∴，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ 由（1）得，根据题意，得， ∴三角形的面积为 解得，即的值为； （3）解：①点在线段上时，不构成四边形，不符合题意； ②点在线段上时，此时即 ∴ ∴ 解得：，符合题意； ③点在线段上时，此时即 ∴ ∴，解得符合题意； 综上所述，当点运动秒或秒时， 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系 1. 理解平面直角坐标系的构成，认识横轴、纵轴、原点、象限等基本概念； 2. 掌握由点写坐标、由坐标找点的基本方法，理解有序数对与平面点一一对应； 3. 熟记四个象限、坐标轴上点的坐标符号特征，快速判断点的位置； 4. 掌握平行于x轴、y轴直线上点的坐标规律； 5. 能根据坐标特征解决象限判断、定点、找点、简单几何题型。 一、平面直角坐标系定义 在平面内，两条互相垂直、有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。 1. 水平数轴：x轴（横轴），向右为正方向 2. 竖直数轴：y轴（纵轴），向上为正方向 3. 两轴交点：原点O(0,0) 二、点的坐标读法与写法 平面内任意一点 P，向x轴、y轴作垂线： 1. 垂足在x轴对应的数：横坐标 a 2. 垂足在y轴对应的数：纵坐标 b 3. 点坐标记作： 三、四大象限坐标符号（必考背诵） 坐标轴不属于任何象限！ 1. 第一象限： (+,+)横正、纵正 2. 第二象限： (-,+)横负、纵正 3. 第三象限： (-,-)横负、纵负 4. 第四象限： (+,-)横正、纵负 四、坐标轴上点的特征（超级易错） 1. x轴上所有点：纵坐标为0，形式 (a,0) 2. y轴上所有点：横坐标为0，形式 (0,b) 3. 原点：(0,0)，既在x轴也在y轴 五、平行坐标轴直线上点的规律 1. 平行于x轴（水平线）：所有点纵坐标相同，横坐标不同 2. 平行于y轴（竖直线）：所有点横坐标相同，纵坐标不同 六、核心定理 平面内的点和有序实数对一一对应 一个点只能对应一组坐标，一组坐标只能对应一个点。 七、高频易错汇总 1. (2,3) 和 (3,2) 是两个不同点； 2. x轴、y轴上的点没有象限； 3. 横坐标看左右、纵坐标看上下； 4. 负数坐标不要写反象限。 题型01 根据坐标判断点所在象限 【典例】1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，则点P在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型02 坐标轴上点的特征求值 【典例】已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式】若点在第四象限，且，，则（　　） A． B． C．1 D．7 题型03 平行坐标轴直线坐标规律 【典例】平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式】如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型04 由点写坐标、由坐标找点 【典例】已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（    ） A．或 B． C． D．或 【变式】如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固训练】 1．已知m、n是实数，且，那么点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图小手盖住的点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知的面积为3，且A、两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，且点在轴上方，则点的坐标为______． 9．已知点、，点A在x轴上，且，则A点的坐标为________． 10．如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ____． 【强化训练】 1．已知点在第二象限内，化简结果为_________． 2．已知点点，点B在坐标轴上，且三角形的面积为，则满足条件的所有点B坐标为__________． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，3），以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC，则点C的坐标是______． ​ 4．已知，则P(-a，-b)在第____象限. 5．如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点A的坐标为．则的面积为________平方单位． 6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10，8），则点E的坐标为 . 7．在平面直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，求点的坐标． 8．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到坐标轴的距离相等，求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为． (1)以y轴为对称轴作轴反射，画出在轴反射下的像； (2)写出的顶点坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的面积为8，点，点，点从点出发，沿“”方向以2个单位长度/秒运动，设运动时间为秒 (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)当点在线段上运动时，若三角形的面积为3，求的值； (3)当点运动多少秒时，． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $