专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训（1个知识点+9大题型+自我检测）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+自我检测） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中与动点有关的面积问题 知识点一：平面直角坐标系中的面积计算问题 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，表示，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是 ． 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知，，，，…都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放．点，…都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为 ． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；，依次类推，经过第次翻滚，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是 ． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次从点运动到点，接着第3次运动到点，第4次运动到点，…这样的运动规律，动点P第2025次运动到 点． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，巡查机器人接到指令，从原点出发，沿的路线移动，依次得到点，，，，，，，…，以此规律继续运动，则的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，把平移后，内任意一点的对应点为． (1)画出平移后的图形； (2)平移后得到的各顶点的坐标分别为（ ， ， ） (3)求的面积． 1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，小正方形的网格的边长为1，直角坐标系中有． (1)平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上，写出平移后B点的坐标． (2)求的面积． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在轴的负半轴上，的面积等于8． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒2个单位，设点运动时间为，的面积为，求含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）如图，已知三角形，，，，是三角形内任意一点，经过平移后对应点，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)直接写出，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是点通过同样的平移变换得到的，求的平方根． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出，，的坐标：______，______，______； (2)平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积； (3)在（）的条件下，点在四边形内部，满足．（提示：和分别表示三角形和三角形的面积） 求，满足的数量关系； 若，求点的坐标． 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且，将线段向右平移5个单位长度得到线段，动点P以每秒1个单位长度的速度匀速从点C出发，沿着的路线向终点B运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出A，B，C，D的坐标； (2)是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，当点P运动到上，且时，判断与的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B的坐标是． (1)直接写出A点坐标(  ，  )，C点坐标(  ，  )； (2)如图2，D为中点．连接，如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； (3)如图3，动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒，在M，N运动过程中，当时，直接写出时间t的值． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，，满足，将线段平移得到，的对应点分别为，其中点在轴负半轴上． (1)求两点的坐标； (2)等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法如图1，连交于点，若点在轴正半轴上，若点为，求证：； (3)如图2，点分别在的延长线上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，求与之间的数量关系． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)求三角形的面积； (2)若点是坐标轴上的点，且三角形的面积为，求符合条件的点的坐标． 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_________，__________； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 平面直角坐标系中与动点有关的面积问题】 【例9】（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足． (1)与的值分别是： ______； ______． (2)如图，坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点整个运动随之结束；线段的中点的坐标是，设运动时间为秒是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． A基础训练 1．（24-25七年级下·广西河池·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知点，，，，，，则点的坐标为 ． 5．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 ． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． B 提高训练 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． C 培优训练 13．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点按这样的运动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 16．（24-25七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积计算重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+自我检测） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中与动点有关的面积问题 知识点一：平面直角坐标系中的面积计算问题 1、 已知图形点的坐标求面积： 面积问题常用“割补法”。割：分割，把图形分割成几部分容易求解的图形，分别求解，完后相加即可；补：补齐，把图形补成一个容易求解的图形，然后再减去补上的图形。 2、 已知图形面积求点的坐标： 可以用未知数将点的坐标表示出来，然后运用割补法将图形的面积用未知数表示出来，再结合已知条件列等量关系求解。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·重庆·期末）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 【答案】 4025 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，掌握点的坐标的规律探索的方法是解题的关键．根据点的坐标的规律探索方法，分别求出点，，，，，的坐标，即可按此规律求得第一空答案；然后总结点的规律，，即可求得答案． 【详解】解：青蛙在点处， ，，，，，， ， ，， 令，则，， 即． 故答案为：；4025． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中三角形面积的计算．画出相关图形，根据与面积相等，可得．进而可得点A到的距离． 【详解】解：作于点M． ∵，， ∴， ∴， ∵与面积相等， ∴． 即． 又 ∴， 即：． 解得：． 故答案为：4 【经典例题一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 【例1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析点跳动的规律，分别找出纵坐标和横坐标的变化规律来求解 的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，熟练掌握归纳总结坐标变化规律的方法是解题的关键． 【详解】解：观察跳动可得，第、、次向上跳，每次跳动纵坐标增加 ． ∴次跳动中，向上跳的次数为次（） ∴ 纵坐标为 ． 把跳动次数按每次一组划分， 第次跳动至，第次跳动至，第次跳动至 ∴第次跳动时，横坐标为， 当时（ ） ∴ 横坐标为 ． 综上，坐标为 故选：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为，，，，，顶点依次用，，，，表示，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探索，根据坐标点的变化找到变化规律，因为，所以点是第个正方形的第一个点，在第三象限，所以点的坐标为． 【详解】解：正方形的边长为， 的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是， 正方形的边长为， 的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是， ， 正方形中， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 的坐标是． 故选：D． 3．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算对应的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，…， ∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）． 进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处． ∴是第组的最后一个点． ∴的坐标为 故答案为： 【经典例题二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 【例2】（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）已知，，，，…都是边长为的等边三角形，按如图所示摆放．点，…都在x轴正半轴上，且，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这是一道结合等边三角形性质与平面直角坐标系的规律探索题．解题时先利用勾股定理算出等边三角形的高，再通过观察图形中点的坐标变化，归纳出点的坐标随序号变化的周期规律，最后结合规律计算出目标点的坐标，考查了等边三角形性质、坐标规律探索及平面直角坐标系的相关知识． 【详解】解：如图，过点分别作轴的垂线， ∵，是边长为的等边三角形， ∴， ∴点的坐标为， 由题意可得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为， 由图可知：三个坐标为一组，第二、三个在轴上， ∵ ∴点在轴上， ∴ 故选：A． 1．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）如图，已知，，按这样的规律，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律． 【详解】解：由题可知，每4个点纵坐标重复一次，横坐标向右平移6个单位长度， ∴ ， 则的横坐标为： ，纵坐标为1， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标平面内点的坐标规律探索，找到规律是解题的关键；点P每运动完一个半圆需要的时间为（秒），其横坐标增加4，而，则点P运动到半圆后，继续运动1秒到半圆的最高点，而此圆在x轴上方，此时最高点纵坐标为2，横坐标为，即可得此时的坐标． 【详解】解：由题意知，点P每运动完一个半圆需要的时间为（秒），其横坐标增加4， ∵， ∴点P运动到半圆后，继续运动1秒到半圆的最高点， ∵半圆在x轴上方， ∴最高点纵坐标为2，横坐标为， ∴点的坐标是； 故选：B． 3．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标的规律探究，找出点坐标的规律是解题的关键． 先找出横坐标的规律，横坐标从开始，7次一循环，每次循环增加10个单位长度；再找出纵坐标的规律，它的纵坐标是7次一循环，据此求解即可． 【详解】∵，，，，，，，， ∴点的横坐标为：1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，，结合图象可以得出，它的横坐标从开始，7次一循环，每次循环增加10个单位长度，，因此，的横坐标是； 点的纵坐标为：，，0，0，，，0，，，0，0，，它的纵坐标从开始，7次一循环，，因此，的纵坐标和的纵坐标相同，是； ∴的坐标为． 【经典例题三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；，依次类推，经过第次翻滚，点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了探究点的坐标的问题，观察图形即可得到经过次翻滚后点A对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题，解题的关键是找到点的变化规律． 【详解】解：观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，， ∵点， ∴长方形的周长为：， ∴， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即， 故选：． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点在第一象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第三象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为： 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 【经典例题四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 【例4】（24-25七年级下·广西南宁·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律，根据题意分别求出的坐标，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵，点的友好点为， ∴的， 同理可得，，，，……， 由此可得规律为：四个坐标为一个周期， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示的方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次从点运动到点，接着第3次运动到点，第4次运动到点，…这样的运动规律，动点P第2025次运动到 点． 【答案】 【分析】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，发现点的运动规律是解题的关键． 观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2025除以4，然后根据商的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点， ∴点P的运动规律是每运动四次向右平移4个单位， ∵， ∴动点P第2025次运动时向右个单位， ∵第一次是从开始运动， ∴， ∴点P此时坐标为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，巡查机器人接到指令，从原点出发，沿的路线移动，依次得到点，，，，，，，…，以此规律继续运动，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的探索，找到规律是解题的关键；由题意知每8个点循环一次，且一次循环后最后点的横坐标为下标的一半；考虑的坐标，，则，倒推得，，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，循环规律为：每8个点循环一次，即到，到，到，……，且一次循环后最后点的横坐标为下标的一半； 考虑的坐标， 由于， 则，倒推得，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标3个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 【详解】解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ， 余2， ∴是第四组第三个坐标：， 是第675组的第二个坐标， 故． 故答案为：，． 【经典例题五 求规则图形的面积】 【例5】在平面直角坐标系中，的位置如图所示，把平移后，内任意一点的对应点为． (1)画出平移后的图形； (2)平移后得到的各顶点的坐标分别为（ ， ， ） (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了平移作图的知识，解答本题需要我们能根据一个点的平移前后的坐标得出平移的规律，难度一般，注意规范作图． （1）内任意一点的对应点为得到向右平移3个单位，向下平移2个单位进行，从而可得出各顶点的坐标，即可画出图形． （2）结合直角坐标系，即可得出、、三点的坐标； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：平移后的图形如下： （2）解：由图可得，，， 故答案为：，，； （3）解：． 1．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，小正方形的网格的边长为1，直角坐标系中有． (1)平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上，写出平移后B点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了作图—平移变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）由题意可得平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再根据平移的性质作出平移后的图形，最后写出平移后B点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可得解． 【详解】（1）解：∵平移，使点A在y轴上，且点C在x轴上， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 画出平移后的图形如图所示： 由图可得，平移后B点的坐标为； （2）解：的面积． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在轴的负半轴上，的面积等于8． (1)求点的坐标； (2)如图1，点从点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒2个单位，设点运动时间为，的面积为，求含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)如图2，若点在上，点在上，与交于点，过点作交直线于点，交轴于点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，主要考查了三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）根据三角形面积公式即可求解； （2）分点P在上，点P在延长线上，两种情况，利用三角形面积公式即解答； （3）过点O作于M，根据，得到，易证，推出，再证明，推出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在x轴的负半轴上， ∴． （2）解：①当点P在上时， ， ②当点P在延长线上时， ， 综上，． （3）解：过点O作于M， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）如图，已知三角形，，，，是三角形内任意一点，经过平移后对应点，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)直接写出，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是点通过同样的平移变换得到的，求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形的面积、坐标与图形的平移变化、平方根、一元一次方程等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）根据和得出平移变换方式，再按照同样的平移变换方式，确定点A、、的坐标得到点、、的坐标即可； （2）运用割补法求解即可； （3）根据（1）中得到的平移变换方式分别列关于、的一元一次方程并求解得到、的值，进而计算的值并求其平方根即可． 【详解】（1）解：点经过平移后对应点， 将点向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到点， 根据题意，将三角形向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到三角形， ，， ， ，， ， ，， ． （2）解：． （3）解：根据题意得：，， 解得，， ∴， ∴， 的平方根为． 【经典例题六 求不规则图形的面积】 【例6】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出，，的坐标：______，______，______； (2)平移线段得到线段，连接，则四边形是平行四边形，求四边形的面积； (3)在（）的条件下，点在四边形内部，满足．（提示：和分别表示三角形和三角形的面积） 求，满足的数量关系； 若，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)四边形的面积为； (3)． 【分析】本题考查了坐标与图形，算术平方根、绝对值、偶次幂的非负性，平移的性质，解二元一次方程组等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平方根，绝对值，偶次幂的非负性求出，，即可； （）由（）得，，，则，，然后用面积公式即可求解； （）由，，，则，，，由平移性质可得，所以，，根据即可得出，满足的数量关系； 由，，，则，，，由平移性质可得，，求出，则，，，通过面积和差得，再由，得，最后联立，解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为； （3）解：如图，，，， ∴，，， ∵点在四边形内部， ∴，， 由平移性质可得，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 如图，，，， ∴，，， ∵点在四边形内部， ∴，， 由平移性质可得，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，整理得：， 联立，解得：， ∴． 1．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，，且，将线段向右平移5个单位长度得到线段，动点P以每秒1个单位长度的速度匀速从点C出发，沿着的路线向终点B运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出A，B，C，D的坐标； (2)是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (3)如图2，当点P运动到上，且时，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，坐标与图形，非负数的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、b的值，进而得到点A和点B的坐标，再根据平移方式可得点C和点D的坐标； （2）根据可得到四边形的面积，进而得到的面积，再分点P在上和点P在上，两种情况讨论求解即可； （3）过点P作交x轴于点M．则．由平移的性质可得，则．可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将线段向右平移5个单位长度得到线段， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 如图1，当点P在上时，， 由题意得，，则， ∴ 解得， ∴， ∴点P的坐标为 如图2，当点P在上时，，，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上可知，存在符合条件的点P的坐标为或． （3）解：，理由如下： 如图3，过点P作交x轴于点M． ∴． 由平移的性质可得， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B的坐标是． (1)直接写出A点坐标(  ，  )，C点坐标(  ，  )； (2)如图2，D为中点．连接，如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是面积的2倍，求满足条件的点P的坐标； (3)如图3，动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒，在M，N运动过程中，当时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)1或3 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理，求点的坐标，绝对值方程． （1）根据长方形的性质直接得出结论； （2）先求出的面积，进而求出的面积，进而得出的面积，再求出，即可得出结论； （3）先用t表示出，进而表示出，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知， ， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 连接， ∵是长方形的对角线， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形的面积是面积的2倍， ∴， ∵， ∴， ∵点D是的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴ (由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去)或， ∴； （3）由（2）知， ， ∵四边形是长方形， ∴， 由运动知， ， ∴， 过点M作于H， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， 在中， ，根据勾股定理得， ， ∴， ∴ ∴或， 即：t的值为1或3． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期中）平面直角坐标系中，，满足，将线段平移得到，的对应点分别为，其中点在轴负半轴上． (1)求两点的坐标； (2)等面积法是初中几何中的重要解题方法，它一般是利用等面积把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化为面积关系来解决问题的一种方法如图1，连交于点，若点在轴正半轴上，若点为，求证：； (3)如图2，点分别在的延长线上，连接，的角平分线与的角平分线交于点，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)证明过见详解 (3) 【分析】（1）根据偶次方数，算术平方根的非负性得到，由此即可求解； （2）根据将线段平移得到，的对应点分别为得到点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，则，如图所示，过点作轴于点，则，即，解得，，由此即可求解； （3）根据平移得到，则，在中，，根据角平分线的定义，设，则，，在中，，由此即可求解． 【详解】（1）解：满足， ∵， ∴， 解得，， ∴； （2）解：已知， ∵将线段平移得到，的对应点分别为， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，则， 如图所示，过点作轴于点， ∴，则，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于点， ∵将线段平移得到，的对应点分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查非负性，等面积法的计算，平行线的性质，图形平移的性质，三角形内角定理，角平分线的定义等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 【经典例题七 根据图形的面积求点坐标】 【例7】（2025·安徽安庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若存在点，使得直线平分的面积，，，，这四个点中，可作为点的有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查根据点的坐标，利用网格计算三角形的面积，根据点的坐标，在平面直角坐标系中描出点是解题的关键． 先在平面直角坐标系中描出点C，再根据点的坐标，利用网格，由割补法求出，，再比较即可． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，，， 当点C坐标为时， ∴， ∴ ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 当点C坐标为时， ∴， ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴，即平分的面积， 故点C坐标能为； 当点C坐标为时， ∴ ∴， ∴不能平分的面积， 故点C坐标不能为； 综上，可作为点的有和，共2个， 故选：B． 1．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 【经典例题八 分类讨论型图形的面积】 【例8】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)求三角形的面积； (2)若点是坐标轴上的点，且三角形的面积为，求符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)符合条件的点有四个，其坐标分别是，，，． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、三角形的面积，能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积，分类讨论思想是解题的关键． （）求出，，然后利用三角形面积公式即可求解； （）分点在轴上和点在轴上两种情况分析即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，三点， ∴，， ∴； （2）解：若点在轴上，设其坐标为，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 若点在轴上，设其坐标为，则， ， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∴符合条件的点有四个，其坐标分别是，，，． 1．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且． (1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________； (2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S； (3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标． 【答案】(1)；； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可； （3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：；；； （2）解：， 轴， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ； 综上所述，三角形的面积； （3）解：∵，，， ，， 设三角形边边上的高为h，则 ， 即， ， ， ， ， ， 由（2）得，即， ， ， 解得， 或． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_________，__________； (2)若在第四象限内有一点，请用含的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与轴相交于，当时，点是轴上的一动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)，2 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是： （1）由非负数性质求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）设，分两种情况讨论：D在上方；D在C下方，然后根据割补法构建关于m 的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，2； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵在第四象限， ∴； （3）解：当时，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 设， 当D在上方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴； 当D在C下方时，如图，过D作x轴的平行线，过A、B作y轴的平行线，与过D的平行线相交与M、N， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标为或． 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且满足，过C作轴于B． (1)求的面积． (2)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． (3)若交y轴于Q，而Q的坐标为，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求得A，C两点坐标，即可求得面积； （2）过E作，根据平行线、角平分线以及平角的定义即可求解； （3）设点P的坐标，求得的面积，利用面积相等，求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，，， ∴ （2）解：∵轴，， ∴，， ∴， 过E作，如图， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （3）解：存在，理由如下：设点P的坐标， ∵的坐标为， ∴， ∵的面积=的面积的面积 ， 当和的面积相等时，， 解得：或， 则点P的坐标为或， ∴和的面积相等时，P点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系与几何的综合应用，平行线的性质和判定，绝对值和算术平方根的非负性等知识点，熟练掌握平面直角坐标系及几何图形的性质是解题的关键． 【经典例题九 平面直角坐标系中与动点有关的面积问题】 【例9】（24-25八年级上·黑龙江·期中）综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，点C在x轴正半轴上，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设点P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)当点P在线段上时，如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）； (3)若，则t的值为______； (4)若，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)4或8 (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）先求得点C的坐标，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）分两种情况，列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：当点在线段上时， ， ； 当点在轴正半轴时，即， 如图2，由运动知，， ， 同（2）的方法得，， ， ， 即时，的值为4或8； 故答案为：4或8； （4）解：，，点， ，，， 当时，， ，点； 当时， 又， ， ， ，点， 综上所述：点P的坐标为或． 1．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)15或3． 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． （1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点和点在轴上确定出，再根据的面积求出，然后写出点、的坐标即可； （3）根据，，，，得出，，分情况解答即可． 【详解】（1）解：设， 将线段平移至线段，、，， ，， ，， ； （2）解：如图①，，点在轴的正半轴上， ，， ，即， ， 解得：， 点的坐标为， 设，将线段平移至线段， ，， ，， 点的坐标为； （3）解：，，，， 点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为， 即，， 解得：，或，， 点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为， 当，，； 当，时，． 综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3. 2．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，，并且满足． (1)与的值分别是： ______； ______． (2)如图，坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速运动，当点到达点整个运动随之结束；线段的中点的坐标是，设运动时间为秒是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可； （2）由（1）可知，，，则，，由题意知，，，则，再表示出与的面积，然后由与的面积相等，列出方程，解方程即可． 本题考查了三角形面积、非负数的性质以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握非负数的性质和三角形面积是解题的关键 【详解】（1）解：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）存在，使得与的面积相等，理由如下： 由（1）可知，，， ，， 由题意知，，， ， ， ， ， 与的面积相等， ， 解得：， 存在时，使得与的面积相等，． 3．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)若点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动若两点同时出发，则几秒后轴？ (3)若点是轴上一动点，当三角形的面积小于时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)秒 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 利用平移变换的性质求解； 设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； 分两种情况分析：当点H在y轴负半轴时，当点H在y轴正半轴时，根据三角形的面积公式列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意点，的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段， ，； （2）设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点，同时出发，秒后轴； （3）当点H在y轴负半轴时，如图， ，，， 三角形的面积， ； 当点H在y轴正半轴时，如图， 过点H作轴， ∴， 三角形的面积， 解得：，不符合题意； 综上所述，的取值范围为． A基础训练 1．（24-25七年级下·广西河池·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的伴随点，已知点的伴随点为的伴随点为这样依次得到点，若点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义求出点的坐标，发现规律即可得出答案． 【详解】解：点， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， ∴点坐标为，即， 由此可知，每4个点为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为， ∴点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系，三角形的面积，根据三角形的面积公式得到是解题的关键，先求出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵，， ∴， 即的面积是9． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知点，，，，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理出点的坐标即可． 【详解】解：通过观察可得下标是4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，各个点横坐标绝对值每四个一个循环，每次增加1， ， 点在第一象限，且转动了2圈以后，在第3圈上， 第一象限内的点位于该象限的角平分线上， 的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走，到达点，再向正北走到达点，再向正西走到达点，再向正南走，到达点，再向正东方向走到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置的运用，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题，解题时注意：各象限内点的坐标特征为：（1）第一象限：；（2）第二象限：；（3）第三象限：；（4）第四象限：0． 由于一个机器人从点出发，向正东方向走，到达点，那么点坐标为，再向正北走到达点，那么点坐标为，再向正西走到达点，那么点坐标为，然后依此类推，找出规律，即可求出的坐标． 【详解】解：根据题意可知：， ∴点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， ， 以此类推，位于第三象限，故点坐标为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． B 提高训练 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2029次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是坐标系内点坐标规律问题，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴经过1秒钟时，P与Q在处相遇， 接下来两个点走的路程和为10的倍数时，则每过2秒，两点相遇， ∵第二次相遇在的中点， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在B点， ∴每五次相遇点重合一次， ∵， 即第2029次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即． 故选：A． 8．（25-26八年级上·全国·期中）长为8、宽为4的长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，动点P从点出发，沿所示的箭头方向运动，到点时记为第一次反弹，以后每当碰到长方形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角，那么点P第2025次反弹时碰到长方形边上的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反弹，点的坐标变化规律，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据反弹补充图形，根据坐标的变化可知6次一个循环，然后利用，即可得出点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点，从而得出答案． 【详解】解：依照题意画出图形，如图所示． 由题意得，点P第1次反弹的点为， 第2次反弹的点为， 第3次反弹的点为， 第4次反弹的点为， 第5次反弹的点为， 第6次反弹的点为， 故6次一个循环，， 故点P第2025次反弹的点与第3次反弹的点相同为． 故选：B． 9．（25-26八年级上·湖南湘西·开学考试）已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 10．（24-25七年级下·湖北黄石·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，，已知三角形的面积是三角形面积的倍，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，准确得出三角形的底边、高的长度是解题的关键 先根据点、的横坐标相等得出轴以及的长，再根据三角形面积之间的关系得出关于的方程求解即可． 【详解】解：点，， 轴，， 由题意得，， 即， 解得或， 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 12．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． C 培优训练 13．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…依次扩展下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：点的坐标．解答此题的关键是首先要确定点所在的象限，和该象限内点的规律，然后进一步推理得出点的坐标． 根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，可得点在第三象限，再根据第三象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：分析各点坐标可发现，下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限， ， ∴点在第一象限， 又∵第一象限的点，点，点， ∴点． 故选：D． 14．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点按这样的运动规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标的规律变化，根据意愿坐标归纳出规律是解题的关键． 根据题意可知：点P的横坐标为n（n是正整数），纵坐标的变化规律是，每次一循环，据此规律求解即可． 【详解】解：第1次运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， …… ∴横坐标的变化规律是：点P的横坐标为n（n是正整数），纵坐标的变化规律是，每次一循环， ∴点的横坐标是2025， ∵， ∴纵坐标为：1， ∴． 故选：B． 15．（24-25八年级上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，位于第二象限内的点的横坐标为，连接AB，BC，AC．若，那么的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线等分三角形的面积及平行线的性质，熟练运用三角形的中线等分三角形的面积是解答本题的关键．过点C作，则，先证明，得到，得到，再证明，得到，得到，继而可得，再结合题目条件，利用三角形面积公式求出，继而得解； 【详解】过点C作，则， 又， 又点的坐标为，点的坐标为，点的横坐标为 ， ∴， 故答案为：16 16．（24-25七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 【答案】4或或14 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 17．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知长方形中，边．以为原点，所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系． (1)点的坐标为，写出两点的坐标； (2)若点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点），点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向方向移动（不超过点）．设两点同时出发，在它们移动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)不变，值为 【分析】本题考查了点坐标与图形，熟练掌握点坐标的求法是解题关键． （1）根据长方形的性质可得，，由此即可得； （2）设两点移动时间为秒，则可得，，再根据四边形的面积等于，由此即可得． 【详解】（1）解：∵长方形中，边， ∴，， ∴点的坐标是，点的坐标是． （2）解：设两点移动时间为秒， 由题意得：，， ∵长方形中，边， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 所以在它们移动过程中，四边形的面积不发生变化，其值为16． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点． (1)求三角形的面积； (2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由） (3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）根据，得，，根据求解即可； （2）过点D作，则，推出得，据此可得 ； （3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：如图1所示，过点D作， 则， ∴， ∴； （3）解：分三种情况： ①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示： ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第一象限且不与、重合，则， ∴； ②当点在第二象限时，如下图所示，则， ∴， ∴， 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点在第二象限且不与、重合，则， ∴不存在点，使得； ③ 当点C在第四象限时，则， ∴， ∴ 若， 则， 解这个不等式得， 又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则， ∴； 综上所述，若，的取值范围是且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $