专题06 二次根式（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦二次根式核心知识，系统梳理定义及被开方数取值范围，深入解析双重非负性，详解三大核心性质、最简二次根式判定标准，以及四则运算与分母有理化，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于基础概念与易错点精准结合，典例与变式题型设计层层递进，通过双重非负性求值、几何图形计算等实例，培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题06 二次根式 1. 掌握二次根式定义，能识别二次根式，掌握被开方数取值范围； 2. 理解二次根式双重非负性，会利用非负性求值； 3. 熟记二次根式三大核心性质并灵活变形； 4. 掌握最简二次根式判定标准，熟练化简二次根式； 5. 掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，会混合运算与分母有理化 一、二次根式定义 形如 的式子叫做二次根式，符号\为二次根号。 【注意】 （1）被开方数 a 可以是数字、字母、代数式，但必须满足 a； （2）形如 、同样属于二次根式； （3）、 (x<1) 无意义。 二、双重非负性（高频考点） 对于二次根式： 1. 被开方数非负：a≥0 2. 根式结果非负： ≥0 拓展：若 +=0，则 m=0，n=0（两个非负数相加为0，各自为0） 三、二次根式核心三条性质 1. ()² = a (a) 2. =|a|= 3. = 四、最简二次根式判定条件（同时满足两点） 1. 被开方数不含分母，分母不含根号； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 不是最简，化简得 2；、4 是最简二次根式。 五、四则运算法则 1. 乘法：= (a0,b0) 2. 除法： = (a,b>0) 3. 加减法：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式（根号内数字相同才可合并） 六、分母有理化 分母带有根号时，分子分母同乘根号，消去分母根号。 示例： == 七、易错点汇总 1. 不等于 a，必须加绝对值； 2. 根号下负数无意义，求值先限定字母取值范围； 3. 只有同类二次根式才能加减合并，不可直接合并不同根式。 题型01 判断二次根式有意义的字母取值范围 【典例】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故选：C． 【变式】能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 题型02 利用双重非负性求值 【典例】已知与互为相反数，则的值是 _________． 【答案】9 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， 所以，． 故答案为：9． 【变式】已知|x+2|+＝0，则＝_____． 【答案】-2 【分析】根据绝对值与平方根的非负性列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，x+2＝0，y﹣6＝0， 解得x＝﹣2，y＝6， 所以x﹣y＝﹣2﹣6＝﹣8 所以． 故答案为：﹣2． 题型03 二次根式化简 【典例】化简 【答案】4 【分析】化简即可求解. 【详解】= 【变式】式子化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母同乘以 后，化简即可求解. 【详解】. 故选B. 题型04 二次根式混合运算 【典例】（1）；         【答案】（1）； 【分析】（1）利用二次根式的加法法则计算即可； 【详解】（1）； 【变式】        （1）；            （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用二次根式的加法法则计算即可； （2）利用二次根式的减法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）． 【巩固训练】 1．下列二次根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故选：C． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，二次根式加减运算，掌握立方根、算术平方根的定义在是解题的关键．直接根据算术平方根和立方根定义计算即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 故选：B． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，据此计算算术平方根和合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 7．已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 8．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 所以.故选A． 9．若a≤1，则化简后为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将（1﹣a）3化为（1﹣a）2•（1﹣a），利用二次根式的性质进行计算即可． 【详解】若a≤1，有1﹣a≥0； 则=（1﹣a）． 故选D． 10．使式子有意义的x的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式，解不等式求解即可 【详解】由题意得：1﹣2x＞0，解得:； 故答案为： 【强化训练】 1．当___________时，有意义. 【答案】-2≤x≤ 【详解】解：x+2≥0，1-2x≥0解得x≥－2，x≤，∴-2≤x≤．故答案为-2≤x≤． 2．若有意义，则的取值范围是___________________ 【答案】：m≤0且m≠﹣1 【分析】代数式有意义,要求各项都要有意义,被开方数为非负数,分母不为零． 【详解】由题意得：-m≥0且m+1≠0， ∴m≤0且m≠-1． 故答案是：m≤0且m≠-1． 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算； （2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算； （3）利用完全平方公式进行计算； （4）利用平方差公式进行计算； （5）根据二次根式的乘法运算法则进行计算； （6）根据二次根式的除法运算法则进行计算； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 4．计算： （1）；                （2）； （3）；            （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案； （2）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案； （3）根据二次根式除法和加减法运算的性质计算，即可得到答案； （4）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）； （2）； （3） ； （4） ． 5．对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将化为，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将化为 ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解． 【详解】（1） . （2） 6．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 【答案】(1)，（是正整数）； (2)； (3)． 【分析】此题考查了勾股定理、算术平方根，数字规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第个图形的一直角边就是，然后利用面积公式可得； （）由上述，，根据规律可知； （）的值就是把面积的平方相加就可． 【详解】（1）解：，； ，； ，； ； ∴，（是正整数）； （2）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解： ， 即：． 7．一个直角三角形的两条直角边长分别是cm，cm，求这个三角形的面积和周长. 【答案】cm 【分析】先表示出三角形的面积，根据平方差公式进行化简；根据勾股定理求出斜边长，可得周长. 【详解】解：三角形的面积为（cm2）. 由勾股定理，得三角形的斜边长为（cm）， 所以三角形的周长为（cm）. 8．已知x＝，y＝，求：(1)x2y﹣xy2的值；(2)x2﹣xy+y2的值． 【答案】(1)4；(2)33. 【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可． 【详解】∵x＝＝，y＝＝， ∴xy＝×＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6， ∴(1)x2y﹣xy2， ＝xy(x﹣y)， ＝1×， ＝4； (2)x2﹣xy+y2， ＝(x+y)2﹣3xy， ＝62﹣3×1， ＝36﹣3， ＝33． 9．周末小颖高高兴兴地回到了家，妈妈问她这周学习了什么，小颖说：“我学习了二次根式.”妈妈高兴地说：“那好，我们来做个游戏，若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，我有一个钱包，里面的钱数是元，你能猜出这个钱包的钱数吗？若猜对了，钱包里的钱由你支配.”小颖陷入了沉思.同学们，请你帮小颖获得这些钱的支配权. 【答案】这个钱包的钱数为11元 【分析】先求出x，y的值再代入求值即可. 【详解】解：因为x表示的整数部分，y表示它的小数部分，所以，， 所以（元）. 答：这个钱包的钱数为11元. 10．计算： （1）； （2）； （3）. 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）先化简，再根据二次根式的乘除法法则计算；（2）先将括号里的各个二次根式化简并进行合并，再利用除法法则计算；（3）先化简再利用乘法公式计算. 【详解】解：（1） . （2） . （3） . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式 1. 掌握二次根式定义，能识别二次根式，掌握被开方数取值范围； 2. 理解二次根式双重非负性，会利用非负性求值； 3. 熟记二次根式三大核心性质并灵活变形； 4. 掌握最简二次根式判定标准，熟练化简二次根式； 5. 掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，会混合运算与分母有理化 一、二次根式定义 形如 的式子叫做二次根式，符号\为二次根号。 【注意】 （1）被开方数 a 可以是数字、字母、代数式，但必须满足 a； （2）形如 、同样属于二次根式； （3）、 (x<1) 无意义。 二、双重非负性（高频考点） 对于二次根式： 1. 被开方数非负：a≥0 2. 根式结果非负： ≥0 拓展：若 +=0，则 m=0，n=0（两个非负数相加为0，各自为0） 三、二次根式核心三条性质 1. ()² = a (a) 2. =|a|= 3. = 四、最简二次根式判定条件（同时满足两点） 1. 被开方数不含分母，分母不含根号； 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 示例： 不是最简，化简得 2；、4 是最简二次根式。 五、四则运算法则 1. 乘法：= (a0,b0) 2. 除法： = (a,b>0) 3. 加减法：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式（根号内数字相同才可合并） 六、分母有理化 分母带有根号时，分子分母同乘根号，消去分母根号。 示例： == 七、易错点汇总 1. 不等于 a，必须加绝对值； 2. 根号下负数无意义，求值先限定字母取值范围； 3. 只有同类二次根式才能加减合并，不可直接合并不同根式。 题型01 判断二次根式有意义的字母取值范围 【典例】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用双重非负性求值 【典例】已知与互为相反数，则的值是 _________． 【变式】已知|x+2|+＝0，则＝_____． 题型03 二次根式化简 【典例】化简 【变式】式子化简的结果是（    ） A． B． C． D． 题型04 二次根式混合运算 【典例】（1）；         【变式】        （1）；            （2）． 【巩固训练】 1．下列二次根式属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 8．若，则（     ） A． B． C． D． 9．若a≤1，则化简后为（　　） A． B． C． D． 10．使式子有意义的x的取值范围为_______． 【强化训练】 1．当___________时，有意义. 2．若有意义，则的取值范围是___________________ 3．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 4．计算： （1）；                （2）； （3）；            （4）． 5．对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 6．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： ，， ，， ，， (1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律； (2)推算出的值； (3)求出的值． 7．一个直角三角形的两条直角边长分别是cm，cm，求这个三角形的面积和周长. 8．已知x＝，y＝，求：(1)x2y﹣xy2的值；(2)x2﹣xy+y2的值． 9．周末小颖高高兴兴地回到了家，妈妈问她这周学习了什么，小颖说：“我学习了二次根式.”妈妈高兴地说：“那好，我们来做个游戏，若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，我有一个钱包，里面的钱数是元，你能猜出这个钱包的钱数吗？若猜对了，钱包里的钱由你支配.”小颖陷入了沉思.同学们，请你帮小颖获得这些钱的支配权. 10．计算： （1）； （2）； （3）. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $