专题02 一定是直角三角形吗（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本初中数学讲义聚焦勾股逆定理核心知识点，先通过对比勾股定理（直角三角形边的关系）与逆定理（三边关系判定直角三角形）明确条件结论，再以“找最长边、算平方和、比较”三步判定法为支架，拓展至三角形形状判定（a²+b²与c²关系）及勾股数定义与倍数规律。 资料通过对比辨析培养推理意识，结合典例变式及实际应用题（如小白兔跳步、感应门问题）提升应用意识，分层训练覆盖选择填空解答题，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化几何直观与问题解决能力。

专题02 一定是直角三角形吗（勾股逆定理） 1. 理解勾股定理逆定理的推导过程，分清勾股定理与逆定理的条件、结论区别； 2. 熟练运用逆定理判定三角形是否为直角三角形，能准确找出直角； 3. 熟记常见勾股数，会判断一组整数是否为勾股数，掌握勾股数的倍数规律； 4. 综合勾股定理、逆定理解决几何求值、实际应用题。 一、勾股定理逆定理核心内容 如果三角形三边长 a，b，c（c 为最长边）满足： a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形，边长 c 所对的角为直角。 1. 区分对比 勾股定理（正向）：直角三角形: 两直角边平方和=斜边平方； 逆定理（判定）：三边满足:两直角边平方和=斜边平方是直角三角形。 2. 判定快速步骤 ① 找出三边里最长边；② 计算短边平方之和、最长边平方；③ 两者相等即为直角三角形。 二、三角形形状判定拓展（必考填空） 设最长边为 c： 1. a²+b²=c²，直角三角形； 2. a²+b²>c²，锐角三角形； 3. a²+b²<c²，钝角三角形。 三、勾股数定义 满足a²+b²=c² 的三个正整数，称为一组勾股数。 1. 基础常用勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17 2. 规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，依旧是勾股数。 例：3,4,5 同时×2，得到 6,8,10，仍为勾股数。 四、关键注意事项 1. 逆定理必须以最长边作为等式右边，不找最长边容易判定出错； 2. 小数、分数即便满足平方等式，也不属于勾股数（勾股数限定正整数）； 3. 几何大题证明直角，两种思路：① 角度90°；② 三边用逆定理判定。 题型01 利用逆定理判定直角三角形 【典例】判断长度为 5，12，13 的三条线段能否围成直角三角形。 【变式】判断线段长 4，7，9 能否组成直角三角形，并说明三角形类型。 题型02 勾股数的识别与构造 【典例】下列各组数中，属于勾股数的是（） A.2，3，4 B.6，8，10 C.1.5，2，2.5 D.4，5，6 【变式】写出 3，4，5 扩大3倍后的勾股数，并验证。 题型03 逆定理综合几何计算（期中期末高频大题） 【典例】如图，四边形 ABCD，△ABD 三边 AB=3，AD=4，BD=5；BC=12，DC=13，求四边形ABCD面积。 【变式】三角形三边为 9，12，15，求三角形斜边上的高。 【巩固训练】 1.已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a²+b²)²−2(a²+b²)−15=0，则斜边c的平方为_______. 2.小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________． 3.在△ABC 中，若a²+b²=25，a²-b²=7，c=5则最长边上的高为_____． 4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．点E是边BC上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB’，以点C、E、B’为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为___________． 5.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可． 6.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（       ） A．30º B．45º　　　　　　Ｃ．60º D．75º 7.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（       ） A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D． 8.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（     ）米． A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 9.三角形的三边长a、b、c满足(a+b)²-c²=2ab，则此三角形是（       ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数.观察下表（a<b<c）： （1）试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论； （2）写出当a=17时，求b，c的值. 【强化训练】 1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=3CM，AD=9CM,将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（     ） A．5cm² B．6cm² C．8cm² D．10cm² 2.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90º，BC=9cm，AB=15cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（       ） A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm 3.如图摆放的三个正方形，表示面积，则S＝（       ）     A．10 B．500 C．300 D．30 4.如图，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是__________三角形． 5.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE=______． 6.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=13，CD=12，AD=4，且∠A=90º，则四边形ABCD的面积是__________． 7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______． 8.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请求出： （1）当a=19时，b，c的值； （2）当a=2n+1时，b，c的值. 9.已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，试确定三角形ABC的形状．并说明理由． 10.有一根长7dm的木棒，要放入长、宽、高分别是5dm，4dm，3dm的木箱中（如图），能放进去吗? 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一定是直角三角形吗（ 勾股逆定理） 1. 理解勾股定理逆定理的推导过程，分清勾股定理与逆定理的条件、结论区别； 2. 熟练运用逆定理判定三角形是否为直角三角形，能准确找出直角； 3. 熟记常见勾股数，会判断一组整数是否为勾股数，掌握勾股数的倍数规律； 4. 综合勾股定理、逆定理解决几何求值、实际应用题。 一、勾股定理逆定理核心内容 如果三角形三边长 a，b，c（c 为最长边）满足： a²+b²=c²,那么这个三角形是直角三角形，边长 c 所对的角为直角。 1. 区分对比 勾股定理（正向）：直角三角形: 两直角边平方和=斜边平方； 逆定理（判定）：三边满足:两直角边平方和=斜边平方是直角三角形。 2. 判定快速步骤 ① 找出三边里最长边；② 计算短边平方之和、最长边平方；③ 两者相等即为直角三角形。 二、三角形形状判定拓展（必考填空） 设最长边为 c： 1. a²+b²=c²，直角三角形； 2. a²+b²>c²，锐角三角形； 3. a²+b²<c²，钝角三角形。 三、勾股数定义 满足a²+b²=c² 的三个正整数，称为一组勾股数。 1. 基础常用勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17 2. 规律：一组勾股数同时扩大相同正整数倍，依旧是勾股数。 例：3,4,5 同时×2，得到 6,8,10，仍为勾股数。 四、关键注意事项 1. 逆定理必须以最长边作为等式右边，不找最长边容易判定出错； 2. 小数、分数即便满足平方等式，也不属于勾股数（勾股数限定正整数）； 3. 几何大题证明直角，两种思路：① 角度90°；② 三边用逆定理判定。 题型01 利用逆定理判定直角三角形 【典例】判断长度为 5，12，13 的三条线段能否围成直角三角形。 【答案】可以构成直角三角形，长度13对应的内角是直角。 【分析】先确定最长边13，分别计算三边平方，验证两条短边平方相加是否等于最长边平方。 【详解】 三边长度 5，12，13，最长边为13 ∵5²=25，12²=144，13²=169 5²+12²=25+144=169=13² 满足 a²+b²=c²，根据勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，边长13所对的角为直角。 【变式】判断线段长 4，7，9 能否组成直角三角形，并说明三角形类型。 【答案】不可以构成直角三角形。 【分析】先确定最长边9，分别计算三边平方，验证两条短边平方相加不等于最长边平方。 【详解】∵三边长度 4，7，9，最长边为9 ∵4²=16，7²=49，9²=81 4²+7²=16+49=659² 不满足 a²+b²=c²，所以该三角形不是直角三角形 题型02 勾股数的识别与构造 【典例】下列各组数中，属于勾股数的是（） A.2，3，4 B.6，8，10 C.1.5，2，2.5 D.4，5，6 【答案】B 【分析】勾股数要求三个数均为正整数且满足两短边的平方和等于第三边的平方的关系； 【详解】A：2²+3²≠4²；C含小数，不是勾股数；D：4²+5²≠6²； B：6²+8²=36+64=100=10²，全为正整数，是勾股数。 【变式】写出 3，4，5 扩大3倍后的勾股数，并验证。 【答案】9，12，15 【分析】勾股数要求三个数均为正整数且满足两短边的平方和等于第三边的平方的关系； 【详解】9²+12²=81+144=225=15²，全为正整数，是勾股数。 题型03 逆定理综合几何计算（期中期末高频大题） 【典例】如图，四边形 ABCD，△ABD 三边 AB=3，AD=4，BD=5；BC=12，DC=13，求四边形ABCD面积。 【答案】36 【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理求得 【详解】 在△ABD中，3²+4²=5²，由逆定理得∠A=90º S△ABD=×3×4=6 在△BCD中，5²+12²=13²，由逆定理得∠CBD=90º S△BCD=×5×12=30 四边形总面积：6+30=36 【变式】三角形三边为 9，12，15，求三角形斜边上的高。 【答案】 【分析】根据等面积法求得 【详解】∵9²+12²=15² ∴三角形是直角三角形 设斜边上的高为h S=×9×12=×15h ∴h= 【巩固训练】 1.已知直角三角形的三边a,b,c,且两直角边a,b满足等式(a²+b²)²−2(a²+b²)−15=0，则斜边c的平方为_______. 【答案】5 【分析】先由勾股思路得出a²+b²=c²，再将这个等式代入(a²+b²)²-2(a²+b²)-15=0，解方程求出c²的值，然后求其算术平方根即可。 【详解】设这个直角三角形的斜边长是： ∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长， ∴a²+b²=c²， 又∵(a²+b²)²-2(a²+b²)-15=0 ∴(c²)²-2c²-15=0 ∴(c²-5)(c²+3)=0 ∵c²=5 即这个直角三角形的斜边长的平方是5。 2.小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________． 【答案】90∘ 【详解】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米； ∵12²+5²=169米，而13²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边。故小白兔第一次左拐的角度是90∘。 3.在△ABC 中，若a²+b²=25，a²-b²=7，c=5则最长边上的高为_____． 【答案】 【分析】解方程𝑎²+𝑏²=25, 𝑎²−𝑏²=7可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高. 【详解】解：∵𝑎²+𝑏²=25, 𝑎²−𝑏²=7, 将两个方程相加得：2𝑎²=32， ∵𝑎>0, ∴𝑎=4代入得：4²+𝑏²=25, ∵𝑏>0, ∴𝑏=3, ∵𝑎=3, b=4, c=5满足勾股定理逆定理， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形， 如下图，∠𝐴𝐶𝐵=90∘, 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵, 𝑆△ABC=⋅𝐴𝐶⋅𝐵𝐶=⋅𝐴𝐵⋅𝐶𝐷,即： ⋅3⋅4=⋅5⋅𝐶𝐷,解得： 𝐶𝐷= 4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．点E是边BC上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB’，以点C、E、B’为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为___________． 【答案】3或6 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形。根据题意分两种情况：① B在AD上，∠𝐵𝐸𝐶=90∘，四边形ABEB是正方形，BE=AB；② B在AC上，∠𝐸𝐵𝐶=90∘，用勾股定理，解 𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐶，即可得 BE 的长。 【详解】解：根据题意分以下两种情况： ① 如图1，B在AD上，∠𝐵𝐸𝐶=90∘， ∵ 四边形 ABCD 是长方形， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=90∘， 由翻折的性质，可得 AB=AB，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵=90∘， ∴ 四边形 ABEB 是正方形， ∴ BE=AB=6cm； ② 如图2，B在AC上，∠𝐸𝐵𝐶=90∘， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠𝐵=90∘ ， 由翻折的性质，可得 𝐴𝐵′=𝐴𝐵 , ∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐵=90∘ , 𝐸𝐵′=𝐸𝐵, ∴∠𝐶𝐵𝐸=90∘, ∵∠𝐵=90∘ , AB=6cm, BC=8cm, ∴𝐴𝐶²=6²+8²=100, ∴AC=10 cm ∴𝐵𝐶=10−6=4cm, 设 𝐵𝐸=𝑥cm, 则 EC=(8-x)cm, 𝐸𝐵′=𝑥cm, 在 𝑅𝑡△𝐶𝐵𝐸 中, 𝐸𝐶²−𝐵𝐸²=𝐵𝐶², ∴(8−𝑥)²−𝑥²=4², ∴𝑥=3, 故答案为：3或6. 5.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可． 【答案】见解析。 【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可。 【详解】如图所示：图1 图2 图3 6.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（       ） A．30º B．45º　　　　　　Ｃ．60º D．75º 【答案】B 【分析】连结EF，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE，EF，AF的长度，继而可得出∠EAF的度数。【详解】如图，连接EF。 根据勾股定理，得AE²=EF²=5,AF²=10. 因为5+5=10， 所以AE²+EF²=AF². 所以△AEF是等腰直角三角形， 所以∠EAF=45°. 故选B. 7.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（       ） A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D． 【答案】D 【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得 𝐴𝑀=𝐴𝑃，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM. 【详解】解：∵AB=3，AC=4，BC=5， ∴𝐴𝐵²+𝐴𝐶²=𝐵𝐶²， ∴△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，∠𝐴=90∘， 又∵𝑃𝐸⊥𝐴𝐵，𝑃𝐹⊥𝐴𝐶， ∴四边形AEPF为矩形， ∵𝑀为EF中点， ∴M也是AP中点，即 𝐴𝑀=𝐴𝑃， 故当𝐴𝑃⊥𝐵𝐶时，AP有最小值，此时AM最小。 由 𝑆△𝐴𝐵𝐶=×𝐴𝐵×𝐴𝐶=×𝐵𝐶×𝐴𝑃，可得 𝐴𝑃=， 𝐴𝑀=𝐴𝑃=；故选：D. 8.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（     ）米． A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 【答案】D 【分析】本题考查查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键过点D作DE⊥AB于E，得到CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE，进而得到BE=AB=AE=1.6米，由勾股定理的得AE，进而得到BE=-AE=1.6米，即可得出的答案。 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E， 如图所示： CD=BE，DE=BC=1.2米， 在Rt△ADE中，AD=1.5米， 由勾股定理得AE²=AD²-DE²=(1.5)²-(1.2)²=0.81（米）， ∴AE=0.9 ∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米）， ∴CD=BE=1.6米。 故选：D。 9.三角形的三边长a、b、c满足(a+b)²-c²=2ab，则此三角形是（       ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足𝑎²+𝑏²=𝑐²，则三角形ABC是直角三角形。 【详解】∵(𝑎+𝑏)²−𝑐²=2𝑎𝑏, ∴𝑎²+2𝑎𝑏+𝑏²−𝑐²=2𝑎𝑏, ∴𝑎²+𝑏²=𝑐², ∴此三角形是直角三角形，故选A. 10.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数.观察下表（a<b<c）： （1）试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论； （2）写出当a=17时，求b，c的值. 【答案】(1) 共同点：①各组数均满足a²+b²=c²；②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小的数的平方等于另两个连续整数的和，结论：m，n，n-1就构成一组勾股数。证明见解析： (2) b=144，c=145。 【分析】(1) 根据题中所给数据总结共同点即可： (2) 根据 (1) 总结的规律，即可求出当a=17时，b，c值 【详解】(1) 共同点：①各组数均满足a²+b²=c²；②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小的数的平方等于另两个连续整数的和，如3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25，⋯。由以上共同点可以得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m²拆分成两个连续的正整数之和，即m²=n+(n+1)，则m，n，n+1就构成一组勾股数。 证明：因为m²=n+(n+1)（m为大于1的奇数）， 所以m²+n²=2n+1+n²=(n+1)²， 所以m，n，n+1是一组勾股数。 (2) 由 (1) 中结论可知，当a=17时， 因为17²=289=144+145， 所以b=144，c=145。 【强化训练】 1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=3CM，AD=9CM,将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（     ） A．5cm² B．6cm² C．8cm² D．10cm² 【答案】B 【分析】设 AE=xcm，则 ED=BE=9-x(cm)，根据勾股定理可求得 AE，DE的长，从而不难求得 △𝐴𝐵𝐸 的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力。 【详解】解：设 AE=xcm，由折叠可知：ED=BE=9-x(cm)， ∵ 在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸 中，3²+𝑥²=(9−𝑥)² ∴𝑥=4， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝐴𝐸⋅𝐴𝐵=×3×4=6(𝑐𝑚²) 故选：B。 2.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90º，BC=9cm，AB=15cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（       ） A．1cm B．3cm C．5cm D．6cm 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键，由勾股定理可求出AC=12cm，根据折容的性质可得出AE=AB=12cm，进而可直接由求解。 【详解】解：∵∠C=90°，BC=9cm，AB=15cm, ∴AC²=AB²-BC²=15²-9²=144, ∴AC=12 由折置可得AE=AB=15cm, ∴CE=AE-AC=15-12=3cm, 故选B. 3.如图摆放的三个正方形，S表示面积，则S＝（       ）     A．10 B．500 C．300 D．30 【答案】D 【详解】如图，由题意可知，BD=BE,∠DAB=∠ABE=∠BCE=90°, ∴∠ADB+∠ABD=90°,∠ABD+∠CBE=90°, ∴∠ADB=∠CBE, ∴△ABD≌△CEB, ∴AB=CE, ∴在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD², ∴BD²=AD²+CE², ∴S=BD², S₁=CE², S₂=AD², ∴S=S₁+S₂=10+20=30. 故选D. 4.如图，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是__________三角形． 【答案】直角 【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出𝐴𝐵²、𝐴𝐶²和𝐵𝐶²，再根据勾股定理的逆定理即可作答。 【详解】由图可知，𝐴𝐵²=1²+2²=5，𝐵C²=2²+4²=20，𝐴𝐶²=3²+4²=25。 ∴𝐴𝐵²+𝐵𝐶²=𝐴𝐶²， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形， 故答案为：直角。 5.如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE=______． 【答案】45∘ 【分析】连接 AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：△𝐴𝐷𝐶=90∘，△𝐴𝐶𝐷=45∘，最后根据平角的定义可得结论。 【详解】观察图形可知：△𝐵𝐹𝐶，△𝐶𝐺𝐸 是等腰直角三角形， ∴∠𝐵𝐶𝐹=45∘，∠𝐸𝐶𝐺=45∘， ∵𝐶𝐷²=3²+1²=10，𝐴𝐷²=3²+1²=10，𝐴𝐶²=3²+2²=20， ∵𝐶𝐷²+𝐴𝐷²=𝐴𝐶²， ∴∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∠𝐴𝐶𝐷=45∘， ∵∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐵𝐶𝐹+∠𝐸𝐶𝐺+∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸=180∘ ∵∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐷𝐶𝐸=180∘−45∘−45∘−45∘=45∘故答案为：45∘ 6.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=13，CD=12，AD=4，且∠A=90º，则四边形ABCD的面积是__________． 【答案】36 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解，连接BD，知四边形的面积是△𝐴𝐷𝐵和△𝐵𝐶𝐷的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到△𝐵𝐶𝐷是一个直角三角形，则四边形面积可求。 【详解】解：连接BD.在Rt△ABD中 𝐵𝐷²=𝐴𝐵²+𝐴𝐷²=3²+4²=25， ∴BD=5 ∵5²+12²=13²，即𝐵𝐷²+𝐶𝐷²=𝐵𝐶²， ∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形， ∴四边形的面积=𝑆△𝐴𝐷𝐵+𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐵+𝐵𝐷⋅𝐶𝐷=×3×4+×5×12=36。故答案为：36. 7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______． 【答案】2 【分析】此题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足𝑎²+𝑏²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。根据勾股定理逆定理列方程计算逆定理：如果三角形的三边长a,b，满足𝑎²+ 𝑏²=c²。 【详解】解：(𝑚+1)²+(𝑚+2)²=(𝑚+3)²， 解得：m=±2， 当m=-2时，m+1<0，不合题意舍去， 则m=2. 故答案为：2. 8.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请求出： （1）当a=19时，b，c的值； （2）当a=2n+1时，b，c的值. 【答案】(1)b=180,c=181; (2)b=2n²+2n,c=2n²+2n+1. 【分析】题目明确告诉我们：“观察下列勾股数”，就是说这些数据一定都是勾股数，即满足a²+b²=c².再进一步观察猜想其规律，可以发现第二个数总是比第三个数小1，从而可以利用第二个数将第三个数表示出来，即c=b+1；由a的值和规律c=b+1，利用a²+b²=c²，即可列出关于b的方程，由方程的解可得到第 (1)、(2) 两题中b、c的值。可以放观察猜想其规律。 【详解】(1) 通过观察可知，c=b+1. (1) 通过观察可知，解得=b+1, 所以19²+b²=(b+1)²,解得b=180, 因此c=b+1=181. (2) 根据题意，得 (2n+1)²+b²=c²,即(2n+1)²+b²=(b+1)²,因此c=b+1=181. 根据b=1 得(2n+1)²+b²=c²,即(2n+1)²+b²=(b+1)²,解得b=2n²+2n, c=2n²+2n+1. 9.已知a，b，c为三角形ABC的三边，且a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，试确定三角形ABC的形状．并说明理由． 【答案】△ABC是直角三角形，理由见解析 【分析】根据完全平方公式因式分解得出a=5,b=12,c=13，根据勾股定理的逆定理即可求解。 【详解】解：△ABC是直角三角形，理由如下， ∵a,b,c为三角形ABC的三边，且a²+b²+c²+338=10a+24b+26c, ∴a²-10a+25+b²-24b+144+c²-13c+169=0, 即(a-5)²+(b-12)²+(c-13)=0, ∴a-5=0,b-12=0,c-13=0, ∴a=5,b=12,c=13, ∴a²+b²=5²+12²=169,c²=169,即a²+b²=c², ∴△ABC是直角三角形。 10.有一根长7dm的木棒，要放入长、宽、高分别是5dm，4dm，3dm的木箱中（如图），能放进去吗? 【答案】能放进去，理由见解析 【分析】本题考查了几何体中勾股定理计算。连接AC，AC'，利用勾股定理，计算𝐴𝐶²=5²+4²=41，𝐴𝐶′²=𝐴𝐶²+𝐶𝐶′²=41+32=50，比较大小，判断即可。 【详解】如图，连接AC，AC'，根据题意， 得𝐴𝐶²=5²+4²=41，𝐴𝐶′²=𝐴𝐶²+𝐶𝐶′²=41+32=50， 72=49<50，能放进去， 答：能放进去。 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $